Тема 1. Введение в математический анализ

Тема 1. Введение в математический анализ

Комплексные числа. Действия над ними.

Комплексным числом z называется выражение вида z = x + iy, где х и у – действительные числа, а i - так называемая мнимая единица, i² = -1.

Действия над комплексными числами

Сравнение

означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение

Вычитание

Умножение

Деление

Абсолютная величина числа и ее свойства.

Абсолю́ тная величина́ или мо́ дуль числа — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа . Обозначается: .

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа

Область определения: .
Область значений: .
Функция чётная.
Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке функция претерпевает излом.

Комплексные числа

Область определения: вся комплексная плоскость.
Область значений: .
Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Основные элементарные функции, обратные функции и их графики.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

алгебраические:

степенная;
рациональная.

трансцендентные:

показательная и логарифмическая;
тригонометрические и обратные тригонометрические.

Обра́ тная фу́ нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Записывается в следующем виде: х = ɣ (y) = f^-1 (y)

Графики взаимно обратных функций у= f(х) и у = ɣ (х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Вставить рисунок, стр. 124, рис. 103

Предел функции

Преде́ л фу́ нкции ( предельное значение функции ) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Пределы функции слева и справа называются односторонними.

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел функции при х → ∞

Число А называется пределом функции f(х) при х → ∞, если для любого положительного числа ɛ существует такое число М=М(ɛ ) > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |x| > М выполняется неравенство |f(x)-A|< ɛ.

Функция у= f(x) называется бесконечно большой при х → х₀, если для любого числа М > 0 существует число δ = δ (М) > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |x-x₀| < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M.

Бесконечно малые функции. Ограниченные функции. Теоремы о сумме и произведении б.м., произведении б.м. на ограниченную, ограниченных функциях, имеющих предел.

Функция у=f(x) называется бесконечно малой при х → х₀ если

Функция у = f(x) называется ограниченной , если областьее значений является ограниченным множеством. Иными словами, функция у = f(x), xX, ограничена, если существует число г> 0 такое, что |f(x)|< r для всех хХ.

Теоремы:

Точная формулировка

Условия:

или ;
и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
в проколотой окрестности ;
существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

Тема 1. Введение в математический анализ

12 3	Поделиться: