Производная сложной, производная обратной функции.

Теорема 20.5 Если функция u=φ (х) имеет производную u'_х в точке х, а функция у=ƒ (u) имеет производную у'_u в соответствующей точке u=φ (х), то сложная функция у=ƒ (φ (х)) имеет производную у'_х в точке х, которая находится по формуле у'_х=у'_u-u'_х.

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

 

Теорема 20.6. Если функция у=ƒ (х) строго монотонна на интервале (a; b) и имеет неравную нулю производную ƒ '(х) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х=φ (у) также имеет производную φ '(у) в соответствующей точке, определяемую равенством

ф'(у) = 1 или х' _у= 1

f'(x) у'_х

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

 

Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков.

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:

Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.

Отсюда видно, что искомая производная равна

 

Производная у'= f' (х) функции у= f(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция f' (х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у ''. Итак, у '' = (у')'

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'''. Итак,

у''' = (у '')'.

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:

у ^(п) = (у^(п-1))'

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у^v или у⁽⁵⁾ – производная пятого порядка).

 

6. Дифференциал и его свойства, геометрический смысл и применение.

 

Дифференциалом функции у=ƒ (х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ (х)):

dy=ƒ '(х)•∆ х.

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка.

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

dy=ƒ '(х)dх

Дифференциал функции у=ƒ (х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆ х.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

 

7. Параметрическое задание функции. Производная от параметрически заданной функции.

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

 

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ (х). По правилу дифференцирования обратной функции

 

Функцию у=ƒ (х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ (х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

 

Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

Уравнения на стр. 180

Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

Пусть функция у=ƒ (х) задана параметрическими уравнениями

 

Как известно, первая производная у'х находится по формуле (23.1)

 

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что

 

 

Аналогично получаем

Уравнения на стр. 184

123	Поделиться:

Популярное:

1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
2. БИЛЕТ 30. ЯЗЫК ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ. СОДЕРЖАТЕЛЬНОСТЬ ЯЗЫКОВОГО УРОВНЯ ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ФОРМЫ. ЯЗЫК ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И РЕЧЬ ХУДОЖЕСТВЕННАЯ.
3. Вещи в мире произведения, их изображения и функции.
4. Виртуальные функции. Полиморфизм
5. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции
6. Вопрос 2. Ощущения и восприятие: сущность и функции. Значение ощущений в познавательной деятельности человека. Теории восприятия.
7. Вопрос 33. Язык художественной литературы. Основные функции. Содержательность языкового уровня художественной формы. Речь художественная.
8. Гликозаминогликаны и протеогликаны. Строение и функции. Роль гиалуроновой кислоты в организации межклеточного матрикса.
9. Деньги: сущность, этапы развития и функции.
10. Динамические модели коммуникации с обратной связью.
11. Желудок: источники развития, строение, функции.
12. Изучение влияния обратной связи на усилительные свойства неинвертирующего ОУ.