Производные основных элементарных функций

 

1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.
12.	12.
13.	13.
14.	14.

 

Задачи 31-40

Найти производные заданных функций:

 

При вычислении производных нужно пользоваться приведенной выше таблицей производных.

Решение.

Воспользуемся формулами:

Где

Тогда

 

 

Воспользуемся формулами:

где

Тогда

 

в)

Данную функцию можно записать в виде степенной функции:

 

, где

И, следовательно

 

Заметим, что

 

Значит,

Тогда

Данную функцию можно записать как: , где

Тогда

Для отыскания последней производной применим формулу:

Значит,

 

Воспользуемся формулами:

Задачи 41 -50

 

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

Решение. Исследование будем проводить по следующей схеме:

1. Область определения функции.

В нашем примере это множество всех действительных чисел, то есть

2. Четность и нечетность функции:

Видим, что и , значит, функция

свойствами четности или нечетности не обладает.

Делаем вывод, что график функции не будет симметричен ни относительно оси , ни относи­тельно начала координат.

3.Периодичность функции.

Данная функция не является периодической, как многочлен.

4.Непрерывность функции.

На всей области определения данная функция является непре­рывной как многочлен.

5.Поведение функции на концах области определения.

Концами области определения являются «-∞ » и « », так как .

Найдем пределы функции при

Таким образом, знак бесконечности определяется знаком старшего члена . Это означает, что слева график функции уходит неограни­ченно вниз, а справа - неограниченно вверх

6. Интервалы монотонности и точки экстремумов.

Найдем точки «подозрительные» на экстремум. Согласно необхо­димого условия экстремума: в точках

экстремума производная равна нулю или не существует.

Находим производную: . Она существует при лю­бых х. Решим уравнение :

; ;

; .

Тогда можно записать: .

Точки х=2 и х=4 являются критическими. Они делят область оп­ределения на интервалы монотонности функции (интервалы возрас­тания и убывания). Изобразим их на числовой оси (рис.6).

Это интер­валы (-∞; 2); (2; 4); (4; +∞ ).

	+	-	+

Рис.6

 

Поведение функции на каждом интервале определяется знаком производной : если < 0, то функция убывает, если > 0, то функ­ция возрастает.

Для определения знака производной на каждом интервале доста­точно взять любое значение х из этого интервала и подставить в про­изводную = 3(х-2)(х-4).

а) На интервале (-∞; 2), возьмем любое х, например х=0, и под­ставим в производную .Получили , следовательно функция возрастает на интервале (-∞; 2).

б) На интервале (2; 4) возьмем х=3, подставим в выражение для , получим (3)=3(3-2)(3-4)< 0, следовательно, на интервале(2; 4) функ­ция убывает.

в) На интервале (4; +∞ ) возьмем х=5, видим, что (5)= 3(5-2)(5-4)> 0, следовательно, на интервале (4; +∞ ) функция возрастает.

Знаки производной проставлены на рис. 6 около каждого ин­тервала.

Замечаем, что при переходе через точку х=2 производная меняет знак, с (+) на (-). Это означает, что в точке х=2 функция имеет мак­симум (на основании достаточного условия существования экстрему­ма). Найдем значение у при х=2:

.

Значит, точка максимума (2; 4).

При переходе через точку х=4 производная меняет знак с (-) на (+). Это означает, что при х=4 функция имеет минимум:

.

Точка минимума (4; 0).

7. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Это исследование проводится с помощью второй производной

Найдем точки, подозрительные на перегиб, используя необходи­мое условие перегиба: в точках перегиба вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Так как , то существует при любых х. Приравняем вторую производную к нулю и найдем корни уравнения

6х -18=0. Отсюда х=3 - точка, подозрительная на перегиб.

Точка х=3 делит область определения (-∞; +∞ ) на интервалы: (-∞; 3) и (3; +∞ ) (рис.7).

	-	+
		x

Рис. 7

Определим знаки второй производной на этих интервалах.

Если на интервале > 0, то график вогнутый, если < 0, то гра­фик выпуклый (на основании достаточного условия выпуклости и вогнутости).

а) На интервале (-∞; 3) возьмем, например, х=1, подставим во вторую производную у" =6(х-3), получим , значит, при график функции выпуклый.

б) На интервале (3; +∞ ) берем, например, х=5, подставим в , получим (5) = 6(5-3)> 0, значит, при х? (3; +∞ ) график функции вогнутый.

Знаки проставлены на рис. 7 около каждого интервала.

Так как при переходе через точку х=3 вторая производная у" ме­няет знак, то график меняет выпуклость на вогнутость, то есть при х=3 график функции имеет перегиб.

.

Точка перегиба (3; 2).

8.Точки пересечения графика с осями координат. С осью Оу: полагаем х=0 и, подставляя это значение в данную функцию у, находим у =-16; получим точку (0; -16). С осью Ох: полагаем у=0, находим х из уравнения

х³-9х²+24х-16=0. (*)

Кубическое уравнение имеет хотя бы один действительный ко­рень, попробуем найти его подбором.

Корни уравнения являются делителями свободного члена 16. Следовательно, попробуем подставлять в уравнение (*) числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16.

При х=1: получаем 1-9+24-16=0, следовательно, х₁=1 является корнем уравнения (*). Тогда многочлен х³-9х²+24х-16 делится на (х-1) без остатка.

 

После деления в частном получится многочлен второй степени:

_ х³-9х²+24х-16 | х-1.

х³-х² |х²-8х+16

_-8х²+24х-16

-8х²+8х

_16х-16

16х-16

Каждое слагаемое частного получается делением старшего члена делимого на старший член делителя: х³: х = х² (х² записываем в частное); умножаем (х-1) на х² и вычитаем из делимого. С остатком поступаем аналогично: -8х²: х = -8х (записываем в частное), умножаем (х-1) на (-8х) и вычитаем из остатка и т.д.

Итак, х³-9х²+24х-16 = (х-1)(х²-8х+16). Для отыскания остальных корней х₂ и х₃ решим уравнение х²-8х+16 =0, откуда получим .

Окончательно: х³-9х²+24х-16 = (х-1)(х-4)².

Уравнение (*) принимает вид: (х-1)(х-4)(х-4)=0, откуда х, =1; х₂=4; х₃=4.

Таким образом, график функции пересекает ось ОХ в точках (1; 0) и (4; 0).

9. Дополнительные точки. Для более точного построения графика можно найти несколько дополнительных точек. Например, найдем у при х=5:

. Получим точку К(5; 4).

Выпишем результаты исследования функции у = х³-9х²+24х-16.

1. Область определения (-∞; +∞ ).

2

3. Функция возрастает при

Функция убывает при .

4.Точка max А (2; 4), точка min В (4; 0).

5. При - график выпуклый,

при - график вогнутый.

6.Точка перегиба С(3; 2)

7.Точки пересечения с осями координат: (1; 0), (4; 0), (0; -16).

8.Дополнительная точка К (5; 4).

Строим график функции (рис.8). Прежде всего построим все ха­рактерные точки, точки пересечения с осями, точки экстремумов, точку перегиба и дополнительные точки.

Рис.8

 

В силу непрерывности функции соединим все построенные точки плавной кривой, продолжив график влево и вправо согласно поведе­нию функции на концах области определения.

 

Задачи 51-60

Вычислить приближенное значение , заменяя приращение функции дифференциалом, если n = 6,

а =60.

Решение: Нужно вычислить приближенно .

Приращение функции в точке : .

Дифференциал функции в точке : .

При малых : или

Отсюда получаем общую формулу для приближенных вычисле­ний: , где .

В нашей задаче , где .

Найдем производную функции

Приближенное равенство для функции будет иметь вид:

Здесь , в качестве выберем число 64, оно ближайшее , из которого точно извлекается корень шестой степени:

Следовательно, . Подстав­ляя в последнюю приближенную формулу , , най­дем нужный результат:

Ответ:

Задачи 61-70 относятся к теме " Функции нескольких переменных". Для решения этих задач необходимо познакомиться со следующими вопросами названной темы:

1. Определение функции двух переменных, область определения функции, геометрическое изображение функции двух переменных.

2. Определение частных производных первого порядка для функции двух переменных, их вычисление.

3. Полный дифференциал функции двух переменных.

4. Производные высших порядков для функции двух переменных.

5. Определение локальных экстремумов для функции двух переменных.

6. Необходимое и достаточное условия экстремума для функции двух переменных.

7. Правило исследования на экстремум для функции двух переменных.

 

Задачи 61-70

Найти полный дифференциал функции двух переменных

Решение. Полный дифференциал функции двух переменных на­ходим по формуле:

где ; --частные производные данной функции z.

Частные производные находим по обычным формулам дифферен­цирования для функции одной переменной, причем находим, счи­тая «у» постоянной величиной; аналогично при отыскании счита­ем «х» постоянным:

Отсюда полный дифференциал функции:

Задачи 71-80 и 81-90 относятся к теме «Интегральное исчисле­ние». Ознакомьтесь с основными вопросами этой темы:

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица интегралов.

4. Основные методы интегрирования: непосредственное интегри­рование, интегрирование подстановкой, интегрирование по частям.

5. Интегрирование некоторых рациональных дробей.

6. Понятие определенного интеграла и его основные свойства.

7. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

8. Замена переменной и интегрирование по частям в определен­ном интеграле.

9. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

Интегрирование есть операция, обратная дифференцированию. ∫ f(x)dx = F(x)+C, где F(х)-первообразная для подынтегральной функции f(x), то есть , а С - произвольная постоянная. При интегрировании часто используют свойства неопределенного инте­грала:

Идея интегрирования заключается в том, чтобы свести данный интеграл к одному из табличных интегралов. Поэтому, приступая к решению задач, ознакомьтесь с таблицей интегралов.

1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.
12.	12.
13.	13.
14.	14.
15.	15.
16.	16.

 

Примечание: Формулы интегрирования сохраняют свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если

Tаким образом, применение основной таблицы сразу расширяется.

Например

Задачи 61 – 70

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить диффе­ренцированием.

Интегралы б), в), г), д) в ваших контрольных работах берутся методом замены переменной (подстановкой).

При этом вводится новая переменная t = φ (x), которая является функцией от х. Если новая переменная введена удачно, то в результа­те замены получаем табличные интегралы.

Некоторые рекомендации по введению новой переменной смот­рите ниже в примерах.

Напомним формулу для нахождения дифференциала функции одной переменной:

или

 

Пример 1.

Если под знаком интеграла содержится показательная функция, то за новую переменную t удобно принимать показатель степени, ес­ли под интегралом присутствует производная этого показателя с точ­ностью до постоянного множителя.

В конце возвращаемся к первоначальной переменной, подставив вместо t выражение (-x³).

Проверка . Если интеграл взят правильно, то производная от по­лученного результата равна подынтегральной функции:

что и требовалось доказать.

 

Пример 2.

Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то удобно принять ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует производная этой функции (с точностью до постоянно­го множителя).

Проверка:

Пример 3.

Часто удобно обозначать за новую переменную знаменатель дро­би подынтегральной функции.

Проверка:

Пример 4.

Проверка:

Пример 5.

Часто за новую переменную удобно взять подкоренное выраже­ние, если под интегралом присутствует также его производная с точ­ностью до постоянного множителя.

 

Проверка:

Пример 6.

Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.

Примечание. Сделайте самостоятельную проверку в примере 6-14

 

Пример 7.

Новая переменная иногда выбирается из следующих соображе­ний: в знаменателе стоит разность постоянной и квадрата некоторой функции. Эту функцию мы принимаем за новую переменную, если в числителе присутствует ее производная (с точностью до постоянного множителя).

 

Пример 8.

Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.

Пример 9.

За новую переменную иногда выбирают функцию, стоящую в основании степени, если подынтегральное выражение содержит про­изводную этой функции с точностью до постоянного множителя.

 

Пример 10.

Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.

Интеграл из пункта е) вашей контрольной работы берется мето­дом интегрирования «по частям». Этим методом интегрируются не­которые произведения, например, произведения степенной функции на логарифмическую или на показательную, или на тригонометриче­скую, или на обратные тригонометрические функции и др.

Интегрирование «по частям» производится по формуле

Чтобы воспользоваться этой формулой, следует один множитель в подынтегральном выражении обозначить за « », а оставшийся множитель вместе с принять за « ».

Для того, чтобы интеграл в правой части был проще данного ин­теграла, надо правильно выбрать « » и « ».

В интегралах, берущихся по частям, обычно логарифмическую и обратные тригонометрические функции принимают за «u». Если по­дынтегральная функция содержит произведение степенной функции на показательную или тригонометрическую, то за «u» принимается степенная функция.

Пример 11.

Пример 12.

 

Пример 13.

Пример 14.

Чтобы взять последний интеграл, умножим и разделим числитель на 9, затем вчислителе прибавим иотнимем единицу, после чего ра­зобьем интеграл на два табличных:

Обязательно сделайте проверку в примерах 6-14.

 

 

Задачи 11-20

В этих задачах используется определенный интеграл, который вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

где F(x) - первообразная для f(x), то есть F'(x) = f(x);

a и b - пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрирования х.

Обратите внимание на то, что определенный интеграл - это чис­ло в отличие от неопределенного интеграла, который является множеством функций. Формула Ньютона-Лейбница связывает опреде­ленный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл (вернее, найти лишь одну первообразную, не прибавляя произвольной постоянной), а за­тем вычислить разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Например

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж.

Решение. Построим параболу и прямую.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точ­ки пересечения ее с осями координат.

Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю.

; ; ,

Тогда .

Итак, вершина параболы в точке .

Точки пересечения параболы с осью Ох: , тогда

, откуда ; , то есть точки и .

Точка пересечения с осью Оу: , тогда ; то есть точка .

Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви пара­болы направлены вверх (рис. 9).

Прямую у = х-1 строим по двум точкам:

получены точки (0; -1) и (1; 0). Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и пря­мой.

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой

,

где функции f₁(x) и f₂(x) ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть f₂(х) ≥ f₁ (х) при х Є [а; b].

В нашей задаче f₁(x) = x² -6x + 5; f₂(x) = x-l; x Є [l; 6].

Поэтому

 

 

 

Ответ: Площадь искомой криволинейной трапеции:

 

Тренировочные задания

1. Найти указанные пределы

 

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

а) а)

б) б)

в) в)

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

2. Найти производные и дифференциалы функции

 

1. 13.

2. 14.

3. 15.

4. 16.

5. 17.

6. 18.

7. 19.

8. 20.

9. 21.

10. 22.

11. 23.

12. 24.

3. Найти полные дифференциалы для данных функций

4. Найти неопределенные и определенные интегралы.

 

ПРАВИЛО ВЫБОРА ВАРИАНТА

Вариант контрольной работы определяется по таблице в зависи­мости от двух последних цифр номера шифра личного дела студента. В колонке таблицы по вертикали расположены цифры от 0 до 9, каж­дая из которых - предпоследняя цифра номера шифра. В верхней строке по горизонтали размещены так же цифры от 0 до 9, каждая из которых - последняя цифра шифра.

Пересечение вертикальной и горизонтальной линий определяет номера заданий контрольной работы. Например, по последним двум цифрам номера шифра «78» находят вариант контрольной работы на пересечении строки с цифрой 7 и столбца с цифрой 8. Для контроль­ной работы №1 это номера: 5, 11, 27, 40, 41, 58, 70, 79, 82.

 

ТАБЛИЦА ВЫБОРА ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

 

 

 

 

 

П р е д п о с л е д н я я Ц и ф р А ш и Ф Р а		Последняя цифра номера шифра

123	Поделиться:

Популярное:

1. E) Физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи и определяющая ее инерционные и гравитационные свойства.
2. Амортизация и износ основных фондов
3. Баланс основных фондов. Показатели движения состояния и использования основных фондов.
4. Бщая величина основных источников средств для формирования запасов и затрат
5. В качестве основных исторических типов культуры не рассматривается культура
6. Ведение списка основных средств
7. Взаимопревращаемость элементарных частиц
8. Виды стоимостной оценки основных фондов.
9. Вопрос 375. Первоначальные и производные, прямые и косвенные доказательства: понятие и особенности оценки.
10. Вопрос 5. Роль тары и упаковки в торгово-технологических процессах. Классификация и характеристика основных видов тары
11. Восстановление праксических и гностических функций нарушенных по субдоминантному типу
12. Выбор основных параметров гидротурбины