Правило формирования уравнений

По размеченному графу состояний системы можно сформулировать правило формулирования системы дифференциальных уравнений Колмогорова.

В левой части – производная от вероятности рассматриваемого состояния во времени.

В правой части – слагаемых столько, сколько дуг графа связано с рассматриваемым состоянием. При этом каждое слагаемое равно произведению плотности вероятности переходов, которая соответствует данной дуге графа, на вероятность того состояния, из которого выходит дуга. Если стрелка направлена из рассматриваемого состояния, то берется знак " –", иначе " +".

Для эргодических Марковских цепей существует стационарный режим при t® , при этом вероятности состояний стремятся к установившимся значениям (своим предельным вероятностям), которые постоянны и не зависят от начального состояния системы. Производная от них равна 0, поэтому система дифференциальных уравнений преобразовывается в систему линейных алгебраических уравнений.

Как и для дискретных Марковских цепей, предельные вероятности характеризуют среднюю долю времени, в течение которого система находилась в данном состоянии при достаточно долгом наблюдении за ней.

Типовые графы состояний системы

При описании процесса функционирования информационных систем встречаются типовые структуры графов.

Структуру блуждания можно показать на примере процесса гибели и размножения.

Процесс гибели и размножения

Непрерывная Марковская цепь – представляет собой цепь гибели и размножения, если ее граф состояний представляет собой цепочку, в которой каждое из состояний S₂, ..., S_n-1 связано с соседним прямой и обратной связью.

 

= -l₁₂P₁(t) + l₂₁P₂(t)

= l_{i-1, i}P_i-1(t)+l_{i+1, i}P_i+1(t)–(l_{i, i-1}+l_{i, i+1})P_i(t), i=2, n-1 (6.25)

.....

= l_{n-1, n}P_n-1(t) - l_{n, n-1}P_n(t)

В установившемся процессе

 

= 0. (6.26)

 

Циклический процесс

 

 

 

Непрерывная Марковская цепь называется циклическим процессом, если состояния связаны между собой в кольцо с односторонними переходами. Для этого случая система дифференциальных уравнений имеет вид:

= -l₁₂P₁(t) + l_n1P_n(t)

.....

= l_{i-1, i}P_i-1(t) - l_{i, i+1}P_i(t), i=2, n-1 (6.27)

.....

= l_{n-1, n}P_n(t) l_n1P_n(t)

 

Для стационарного процесса имеем систему алгебраических уравнений:

(6.28)

 

P₂= P₁, P₃= P₂= P₁ Þ P_i= P₁, P_n= P₁ (6.29)

 

P1=[1+l₁₂( + +...+ )]^-1(из условия нормировки) (6.30)

 

t_i=1/l_{i, i+1} – среднее время пребывания системы в i-ом состоянии

P_i=t_i/ . (6.31)

Таким образом, предельные стационарные вероятности всех состояний этой системы, которая описывается циклическим графом, можно определить по заданным интенсивностям переходов в различные состояния системы.

Пример. Рассмотрим систему обработки информации:

 

ИВС – источник входных слов, которые подлежат обработке в СВУ (специализированном вычислительном устройстве);

КПИ – канал передачи информации;

Б – буфер.

Пусть время передачи сигнала по КПИ представляет собой случайную величину, подчиненную показательному закону распределения с параметром l₁ – время передачи сообщения. Время обработки информации в СВУ – l₂.

Необходимо построить расчетную модель системы. Система может принимать n+3 возможных состояний.

S_-1 – в накопителе нет данных, СВУ простаивает, по КПУ идет заявка (работает);

S₀ – в Б нет данных, СВУ и КПИ – в режиме работы;

S_i – в Б имеется i сигналов, СВУ и КПИ – в режиме работы;

S_n – Б занят полностью, СВУ и КПИ – в режиме работы;

S_n+1 – буфер занят, СВУ работает, КПИ заблокирован.

Цепь Маркова имеет вид

 

Если ввести обозначение r = , то предельные вероятности состояний системы будут:

P_-1 = P_i = rⁱ⁺¹P_-1, i = 1, n+1. (6.32)

Значения вероятностей позволяют определить основные характеристики системы: среднюю долю времени, в течение которого КПИ находился в состоянии простоя, и т.д.

P_n+1= P₁= . (6.33)

Не Марковские случайные процессы, сводящиеся к Марковским

Реальные процессы часто обладают последействием и поэтому не являются Марковскими. Иногда для исследования этих процессов удается использовать методы цепей Маркова. При этом для сведения не Марковских процессов к Марковским используют 2 метода:

– метод разложения случайного процесса на фазы (метод псевдосостояний);

– метод вложенных цепей Маркова.

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. V. ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ РЕЧИ У ДЕТЕЙ
2. Анализ активов и источников их формирования
3. Анализ наличия, состава и динамики источников формирования капитала предприятия
4. Анализ психолого-педагогической литературы по проблеме формирования коммуникативных умений у детей старшего дошкольного возраста
5. Анализ равновесия между активами предприятия и источниками их формирования. Оценка финансовой устойчивости предприятия
6. Анализ состава и структуры имущества организации и источников его формирования
7. Анализ уравнений двухгироскопного компаса
8. Аудит классификации, формирования доходов и расходов организации, правильности их признания в бухгалтерском учете
9. Аудит учета и формирования финансовых результатов
10. Аудит учета, формирования и использования резервного и добавочного капитала
11. Аудит учредительных документов и формирования уставного капитала
12. Аудит формирования и учета уставного (складочного) капитала