Непрерывно стохастические модели (Q-схемы)

 

Непрерывно стохастические модели строятся для систем массового обслуживания (СМО).

СМО – математические модели, которые используются при формализации процесса функционирования систем. В этих системах ключевым элементом является процесс обслуживания (процессы различной природы – экономические, природные). Общее для них – потоки заявок на обслуживание, и завершение обслуживания заявки происходит в случайные моменты времени (носят стохастический характер).

Для описания СМО используется 2 способа:

– аналитический – общая теория очередей;

– имитационный.

Базовым элементом СМО является прибор обслуживания, который имеет следующие компоненты:

Это можно изобразить в виде некоторого i-го прибора обслуживания П_i.

yi

Ki

Ui

Hi

Пi

 

1. Накопитель заявок Н_i, в котором может находиться одновременно некоторое количество заявок;

2. , , где - емкость i-го накопителя.

3. Канал обслуживания K_i.

Поток событий – последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Однородный поток событий характеризуется только моментами поступления этих событий и задается последовательностью {t_n}={0£ t₁£ …£ t_n£ …}, где t_n – момент поступления n-го события – неотрицательное вещественное число.

Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности промежутков между n-м и (n-1)-м событиями {t_n}, которая однозначно связана с последовательностью вызывающих моментов {t_n}, где t_n=t_n – t_n-1, n³ 1, t₀=0, т.е. t₁=t₁.

Поток неоднородных событий – последовательность {t_n, f_n}, где t_n – вызывающие моменты; f_n – набор признаков события.

Пусть имеется поток, в котором события разделены интервалами времени t₁, t₂, …, являющимися случайными величинами и интервалы t₁, t₂, … независимые между собой. Тогда поток событий называется потоком с ограниченным последействием.

Ординарный поток событий – поток, в котором вероятность того, что на малый интервал времени Dt, примыкающий к моменту времени t, попадает больше одного события P_{> 1}(t, Dt), пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал времени Dt попадает ровно одно событие P₁(t, Dt), т.е. P₁(t, Dt)> > P_{> 1}(t, Dt).

Если для любого интервала Dt событие P₀(t, Dt)+P₁(t, Dt)+P_{> 1}(t, Dt)=1 как сумма вероятностей событий, образующих полную группу и несовместных, то P₀(t, Dt)+P₁(t, Dt)»1, P_{> 1}(t, Dt)=0(Dt), где 0(Dt) – величина, порядок малости которой выше чем Dt, т.е. .

Стационарный поток событий – поток, для которого вероятности появления того или иного числа событий на интервале времени t зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени взят этот участок.

Рассмотрим на оси времени ординарный поток событий, наступающих на интервале времени Dt, примыкающем к моменту времени t. Тогда 0× P₀(t, Dt)+1× P₁(t, Dt)=P₁(t, Dt).

Тогда среднее число событий, наступающих на участке времени Dt в единицу времени [P₁(t, Dt)]/Dt.

Интенсивность (плотность) ординарного потока событий –

.

 

Интенсивность может быть любой неотрицательной функцией времени, имеющей размерность, обратную размерности времени.

Для стационарного потока его интенсивность не зависит от времени и представляет собой постоянное значение, равное среднему числу событий, наступающих в единицу времени l(t)=l=const.

На каждый элемент прибора обслуживания поступают заявки. Подмножество входных заявок W_i, задаваемое как интервалы времени между появлениями заявок, образует множество W неуправляемых переменных и U_i – поток обслуживания (интервалы времени между началом и концом обслуживания заявок). Заявки, обслуженные каналом k_i и заявки, покинувшие канал n_i, образуют выходной поток y_i, которые описываются как моменты времени выхода заявок из прибора. Процесс функционирования прибора П_i представляется как процесс изменения состояния его элементов во времени. Переход в новое состояние П_i означает либо изменение количества заявок, которые в нем находятся, либо изменение выходного потока y_i, то есть вектор состояния прибора имеет вид

 

(t) = ( , ), (5.6)

 

где – состояние накопителя (0 – свободен, 1– занят),

– состояние канала (0, 1, 2, ... ).

При Z_i^k=L_i^k накопитель полностью заполнен, где L_i^H – емкость накопителя H_i.

В зависимости от количества каналов различают многоканальные и одноканальные приборы.

Параллельное соединение каналов – многоканальная Q-схема.

Последовательное соединение приборов и их элементов образуют многофазный прибор обслуживания.

Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы.

В разомкнутых Q-схемах выходной поток заявок не может снова поступать на какой-то элемент Q-схемы (система без обратной связи).

В замкнутых Q-схемах часть выходного потока может поступать на какие-либо элементы системы.

Различают:

– Q-схемы с ожиданием (где , то есть емкость накопителя не ограничена, и очередь заявок не ограничивается).

– Q-схемы с потерями (где , то есть накопитель в системе отсутствует, а имеется канал обслуживания).

Для описания функционирования системы необходимо задать алгоритм ее функционирования, который определяет набор правил поведения заявок в различных неоднозначных ситуациях.

В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы ожидания заявок в накопителе Нi и обслуживания заявок каналом Кi каждого элементарного обслуживающего прибора Пi Q–схемы.

У каждого потока заявок могут быть определены приоритеты. Различают статические (назначаются заранее и не зависят от состояния Q-схемы) и динамические (возникают в результате функционирования Q-схемы в зависимости от возникающих ситуаций) приоритеты.

Выделяют относительные (означает, что при поступлении заявки с более высоким приоритетом, эта заявка ожидает конца обслуживания предыдущей и затем поступает на обслуживание вне очереди) и абсолютные (означает, что заявка с таким приоритетом прерывает процесс обслуживания предыдущей заявки и обслуживается в канале. Предыдущая заявка в этом случае может покинуть систему или быть помещена в какой-либо накопитель) приоритеты.

Таким образом, различают следующие приборы обслуживания:

– одноканальные и многоканальные;

– однофазные и многофазные;

– с повторными вызовами и без них;

– с различными потоками заявок;

– с различными законами распределения.

Для обозначения различных очередей используют латинские буквы, разделенные вертикальными или наклонными чертами, которые обозначают набор условий:

 

А½ В½ m½ n½ C,

где А – указывает на распределение интервалов между последовательными моментами поступления заявок на обслуживание;

В – закон распределения длительности заявок на обслуживание;

m – канальность системы (число обслуживающих каналов);

n – количество мест в очереди (емкость в накопителе);

С – дисциплина очереди (LIFO, FIFO).

Буквой М обозначается простейший поток заявок с показательным распределением. Е – поток Эрланга (Пуассоновское распределение). 1 Эрланг – одна транзакция в единицу времени.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. F. МОДЕЛИ ОБУСЛАВЛИВАНИЯ АДДИКЦИИ
2. IDEF1X - методология моделирования данных, основанная на семантике, т.е. на трактовке данных в контексте их взаимосвязи с другими данными.
3. OLAP-технология и многомерные модели данных
4. VI Моделирование рынка и составление прогноза выпуска автомобилей
5. Автоматическая локомотивная сигнализация непрерывного типа
6. АВТОРСКИЕ МОДЕЛИ ПСИХОЛОГИЧЕСКОЙ СЛУЖБЫ
7. АВТОРСКИЕ МОДЕЛИ ПСИХОЛОГИЧЕСКОЙ СЛУЖБЫ, ИЛИ КАК ОБРЕСТИ СВОЕ ЛИЦО
8. Алгоритм построения математической модели.
9. Анализ объекта моделирования
10. Анализ результатов моделирования
11. Анализ степени влияния непрерывно изменяющихся факторов
12. Аудиторская проверка организации системы бухгалтерского учета и отчетности и соблюдения принципа непрерывности деятельности