Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Теоремы о функциях, имеющих производную
Теорема Ферма Теорема. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Если в этой точке существует производная, то она равна нулю: . Доказательство Пусть, для определенности, в точке функция достигает своего наибольшего значения. По условию теоремы эта точка внутренняя, то есть , и поэтому к этой точке можно подойти и слева и справа. Пусть мы подходим к слева. Тогда (так как - наибольшее значение); ; (так как мы подходим слева); ; . Делая предельный переход , получим . Пусть мы подходим к точке справа. Тогда (так как - наибольшее значение); ; (так как мы подходим слева); ; . Делая предельный переход , получим . Совместить два полученных неравенства можно только в одном случае: . <
Существенность ограничений В теореме Ферма по сути дела два ограничения: а) точка расположена внутри отрезка и б) . Покажем, что оба ограничения являются существенными, то есть отказ от любого из них приводит к тому, что утверждение теоремы становится неверным. а) «внутренность» точки .
б) существование производной.
Теорема Ролля Пусть функция а) определена и непрерывна на ; б) ; в) Тогда существует точка в которой . Доказательство этой теоремы следует из такой логической цепочки рассуждений: 1. Так как определена и непрерывна на , то, по первой теореме Вейерштрасса, она ограничена на , то есть существуют конечные и . 2. Если , то есть константа, то есть и поэтому . В качестве точки можно взять любую точку из . 3. Если , то, в силу условия и второй теоремы Вейерштрасса, хотя бы одно из значений или достигается во внутренней точке промежутка (см. рисунок). По теореме Ферма, в этой точке (их может быть и несколько) производная равна нулю. <
Внутри промежутка достигаются и sup и inf.
Формулы Коши и Лагранжа Теорема. Пусть функции и а) определены и непрерывны на ; б) и ; в) . Тогда существует точка такая, что . Эта формула носит название формулы Коши. Доказательство. Прежде всего отметим, что , иначе, по теореме Ролля, существовала бы точка , где , что противоречит ограничению «в». Рассмотрим функцию . Она а) определена и непрерывна на , так как и функции и непрерывны на ; б) . в) . Таким образом, для выполнены все условия теоремы Ролля. Поэтому такая, что , но тогда в этой точке , что и дает формулу Коши. <
Формула Лагранжа
Рассмотри частный случай, когда . Тогда формула Коши приобретает вид , или , где . Эта формула и называется формулой Лагранжа. В дальнейшем мы будем на нее часто ссылаться. Заметим, что точка не обязательно единственная: может быть несколько точек , удовлетворяющих формулам Коши или Лагранжа.
в которой касательная параллельна секущей, соединяющей точки и .
Дифференциал
Рассмотрим важное для дальнейшего понятие дифференциала. Напомним, что величина называется приращением функции. Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде . Определение 2. Линейная часть приращения функции, то есть называется дифференциалом функции и обозначается . Чтобы точно уяснить эти определения функции рассмотрим пример. Пусть . Тогда Заметим, что содержит слагаемое, линейное по , слагаемые с и . Так вот, только слагаемое, линейное по дает дифференциал, то есть . Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-03; Просмотров: 564; Нарушение авторского права страницы