Непосредственный подсчет вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятности

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

3.1. Из слова «наугад» выбирается случайно одна буква. Какова вероятность, что эта буква «а»? Какова вероятность того, что это гласная?

3.2. В урне 100 шаров, пронумерованных от 1 до 100. Какова вероятность, что первый же извлеченный шар имеет номер четный или делящийся на 3.

3.3. Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что выпадут два герба?

3.4. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания одного из них равна 0, 2, а второго – 0, 6. Определить вероятность того, что в результате одновременного выстрела произошло одно попадание.

3.5. Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме не менее 9 очков?

3.6. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания первым, вторым и третьим стрелком равны соответственно 0, 6; 0, 5 и 0, 4.

3.7. Из пяти карточек с буквами А; Б; В; Г; Д наугад одна за другой выбирают три и располагают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово «ДВА»?

3.8. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна 0, 05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?

3.9. Телефонный номер состоит из 6 цифр (первая не равна нулю). Найти вероятность того, что все цифры четные.

3.10. В городе N находятся 15 продовольственных и 5 непродовольственных магазинов. Случайным образом для приватизации отобраны 3 магазина. Найти вероятность того, что все эти магазины непродовольственные.

3.11. На карточках написаны цифры 0; 1; 2; 3. Сколько четырехзначных чисел можно из них составить?

3.12. В урне имеется 10 белых и 12 красных шаров. Из нее наудачу извлекают 2. Какова вероятность, что они разного цвета?

3.13. Электричка состоит из 6 вагонов. Трое знакомых не договорились о вагоне, в котором поедут. Какова вероятность, что они окажутся в одном вагоне?

3.14. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность выхода из строя за смену для них, соответственно, равна 0, 75; 0, 8 и 0, 7. Найти вероятность того, что за смену выйдут из строя точно два станка.

3.15. Из колоды в 36 карт наудачу выбирают две. Какова вероятность что это: а) две дамы; б) дама и король в указанном порядке?

3.16. Вероятность попадания мячом в корзину при одном броске равна 0, 8. Какова вероятность, что при пяти независимых бросках будет не менее трех удачных?

3.17. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно?

3.18. Вероятность того, что можно выбить 10 очков на данной дистанции для данного стрелка при одном выстреле, равна 0, 1, девять очков – 0, 3. Какова вероятность того, что при трех выстрелах будет выбито более 27 очков?

3.19. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Какова вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только один вопрос экзаменационного билета?

3.20. В цепь последовательно включены три независимо работающих элемента с вероятностями отказа соответственно 0, 1; 0, 15 и 0, 2. Какова вероятность того, что по цепи ток не идет?

Примеры.

1. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Наудачу взяли два шара. Найти вероятность того, что а)оба шара оказались белыми; б) оба они разного цвета.

Решение: а) Пусть событие А – оба шара оказались белыми. Для решения задачи воспользуемся формулой классической вероятности. Число всех исходов есть число сочетаний из 10 элементов по 2, т.е. ;

число благоприятствующих исходов .

Таким образом, вероятность события А .

б) Пусть событие В – шары разного цвета. В данном случае число благоприятствующих исходов находится как произведение и искомая вероятность Р(В)=24/45=8/9.

Ответ: 1/3 и 8/9.

2. Из жетонов сложено слово ФЕВРАЛЬ. а) Жетоны перемешали и снова разместили в ряд. Какова вероятность снова получить то же слово?

б) случайным образом взяли три и разместили в ряд, какова вероятность поучить слово ЛЕВ.

Решение: а) Общее число исходов п находится как число перестановок из 6 элементов: Благоприятствующий исход – один. Искомая вероятность

б) число всех исходов в этом случае - это число размещений из 6 элементов по 3: ; т=1, следовательно, . Ответ: 1/720 и 1/120.

3. Три охотника стреляют в цель. Вероятность попадания в цель для первого охотника равна 0, 7, для второго – 0, 8, для третьего – 0, 5. Найти вероятность того, что: а) все трое попадут в цель; б) попадет хотя бы один, в) попадут ровно двое.

Решение: Обозначим: событие А – первый стрелок попал в цель;

событие В – второй стрелок попал в цель;

событие С – третий стрелок попал в цель.

а) По условию: Р(А)=0, 7; Р(В)=0, 8; Р(С)=0, 5. События независимы, поэтому по теореме о произведении вероятности независимых событий

вероятность одновременного попадания в цель всех трех охотников: .

б) - вероятность промаха первого охотника; соответственно - вероятности промаха второго и третьего охотников, тогда вероятность одновременного промаха всех трех охотников:

Событие, противоположное событию , заключается в поражении цели хотя бы одним охотником. Следовательно, искомая вероятность .

в) возможны три случая: попали два первых, третий промахнулся ;

попали второй и третий, промахнулся первый ;

попали первый и третий, промахнулся второй . Искомая вероятность есть сумма найденных вероятностей, т.е. .

Ответ: 0, 28; 0, 97 и 0, 47.

Испытания по схеме Бернулли

Вероятность появления события A в одном испытании равна p. Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно т раз

№	n	p	m	№	п	р	т
4.1		0, 2		4.11		0, 9
4.2		0, 4		4.12		0, 7
4.3		0, 5		4.13		0, 5
4.4		0, 8		4.13		0, 4
4.5		0, 7		4.14		0, 6
4.6		0, 3		4.15		0, 2
4.6		0, 6		4.16		0, 3
4.7		0, 1		4.17		0, 8
4.8		0, 3		4.18		0, 1
4.9		0, 9		4.19		0, 5
4.10		0, 3		4.20		0, 5

Пример. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают обратно перед извлечением следующего. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров 2 белых?

Решение: р=Р(Б)=20/30=2/3 –вероятность появления белого шара, которую можно считать постоянной во всех испытаниях; q=P(Ч)=1-р=1/3. Искомая вероятность может быть найдена по формуле Бернулли: .

Ответ: 8/27.

⇐ Предыдущая 12