Бесконечно малые функции, основные теоремы о бесконечно малых функциях

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→ a или при x→ ∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Теорема. Если функция представима при в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины то .

Обратно, если , то , где – бесконечно малая при .

Доказательство.

Докажем первую часть утверждения. Из равенства следует . Но так как – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется – окрестность точки , при всех из которой, значения удовлетворяют соотношению . Тогда . А это и значит, что .
Если , то при любом для всех из некоторой – окрестность точки будет . Но если обозначим , то , а это значит, что – бесконечно малая.

Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.

Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть , где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε > 0 найдется δ > 0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|< δ , выполняется |f(x)|< ε.

Итак, зафиксируем произвольное число ε > 0. Так как по условию теоремы α (x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ ₁> 0, что при |x – a|< δ ₁ имеем |α (x)|< ε /2. Аналогично, так как β (x) – бесконечно малая, то найдется такое δ ₂> 0, что при |x – a|< δ ₂ имеем | β (x)|< ε /2.

Возьмем δ =min{ δ ₁, δ ₂}.Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α (x)|< ε /2 и | β (x)|< ε /2. Следовательно, в этой окрестности будет

|f(x)|=| α (x)+β (x)| ≤ |α (x)| + | β (x)| < ε /2 + ε /2= ε, т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→ a (или при x→ ∞ ) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤ M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→ a, то для произвольного ε > 0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α (x)|< ε /M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | α f|< ε /M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→ ∞ доказательство проводится аналогично.

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α (x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция. Доказательство. Пусть . Тогда есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

Сравнение бесконечно малых функций

Для определения бесконечно малых и бесконечно больших функций воспользуемся, так называемым сравнением функций. Пусть у нас есть две функции p(x) и q(x), которые стремятся к А при аргументе x стремящемся к А. И будем рассматривать предел их отношения при аргументе x, стремящемся к некоторому числу A. Тогда возможны следующие варианты:

1) , т.е. предел отношения функций существует и он равен нулю, в этом случае говорят, что p(x) бесконечно малая функция более высокого порядка и принято обозначать p(x) = 0(q(x)) (это цифра 0).

2) , т.е. предел отношения функций существует и он равен С - некоторой константе, в этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно малые функции одного порядка и принято обозначать p(x) = O(q(x)) (это буква О).

3) Если данный предел: не существует, в этом случае мы ничего не можем сказать о сравниваемых функциях и поэтому говорят, что функции не сравнимы.

4) , т.е. предел отношения функций существует и он равен бесконечности, в этом случае говорят, что q(x) бесконечно малая функция более высокого порядка и принято обозначать q(x) = o(p(x)) (это буква о).