![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Теорема о дифференцируемости функций ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Для того, чтобы функция Доказательство Необходимость. Пусть Деля на и переходя к пределу
Достаточность. Пусть в точке
Это, по определению, означает, что
где
Но
что и требовалось доказать. < Выражение для дифференциала Итак, мы получили, что для дифференцируемой функции
Но если взять Отсюда следует, что то есть производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Заметьте, что Геометрический смысл дифференциала
Правила дифференцирования Пользуясь формулой 1. Действительно
2. Имеем
3. Имеем
4. Имеем
5. Имеем
В качестве приложения понятия дифференциала выведем формулу для производной от функций, заданных параметрически. Параметрическое задание функции заключается в том, что и
Значение параметра Имеем
Отсюда производная от
Сокращая на
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть имеется функция
Аналогично, производная от второй производной называется третьей производной
Аналогично определяются производные более высоких порядков. Отметим только, что производные более высоких порядков отмечаются не штрихами (их было бы слишком много) а цифрами, заключенными в скобки - Итак, производная n-го порядка определяется как производная от производной (n-1)-го порядка
Основные формулы, касающиеся производных высших порядков, следующие: 1. 2. 3. Первые две формулы очевидны. Докажем лишь третью формулу, носящую название формулы Лейбница. При ее доказательстве следует только иметь в виду, что, по определению, производной нулевого порядка считается сама функция, то есть Доказательство проведем по индукции. При
то есть для Прежде, чем делать шаг по индукции, докажем одно вспомогательное соотношение:
А теперь - шаг по индукции. Пусть формула Лейбница верна для некоторого п, то есть
Для краткости записи аргументы у функций опущены. А теперь имеем:
то есть формула Лейбница верна и для Аналогично этому, дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала, то есть
Выведем формулу для
При дальнейшем преобразовании следует иметь в виду, что
Скобки у
Отсюда
Аналогично, дифференциал третьего порядка определяется как дифференциал от второго дифференциала
Имеем так что
В общем случае
Легко показывается по индукции, что
Формула Тейлора. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-03; Просмотров: 548; Нарушение авторского права страницы