Теорема о дифференцируемости функций

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная . При этом .

Доказательство

Необходимость. Пусть дифференцируема в точке . Это значит, что

Деля на

и переходя к пределу , получим

Достаточность. Пусть в точке существует производная

Это, по определению, означает, что

где - бесконечно малая величина. Отсюда следует, что

Но и поэтому

что и требовалось доказать. <

Выражение для дифференциала

Итак, мы получили, что для дифференцируемой функции . Это означает, что

Но если взять , то мы получим, что , то есть дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Поэтому окончательно

Отсюда следует, что

то есть производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Заметьте, что есть обычная дробь и с ней можно обращаться как с обычной дробью.

Геометрический смысл дифференциала

Вспомним, что

есть тангенс угла наклона касательной к оси OX. Поэтому, если провести касательную к кривой в точке

, то

будет катетом, который противолежит углу

в треугольнике, гипотенуза которого образована касательной, а другой катет есть приращение

(см. рисунок). На рисунке нарисован и отрезок

, так что видно отличие

Правила дифференцирования

Пользуясь формулой выведем несколько важных формул, касающихся дифференциалов.

1. .

Действительно

Имеем

3. .

Имеем

4. .

Имеем

5. .

Имеем

В качестве приложения понятия дифференциала выведем формулу для производной от функций, заданных параметрически.

Параметрическое задание функции заключается в том, что и и задаются как функции некоторого параметра , то есть

, .

Значение параметра определяет одновременно и и , и, тем самым, некоторую точку на плоскости. Меняя , мы двигаем точку на плоскости, и она описывает некоторую кривую, определяющую зависимость от . Параметрическое задание функции считается самым общим способом задания кривых на плоскости.

Имеем

Отсюда производная от по имеет вид

Сокращая на получим окончательно

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть имеется функция , от которой мы вычислили первую производную . Но снова является функцией и от нее можно тоже вычислить производную. Производная от первой производной то есть называется второй производной и обозначается :

Аналогично, производная от второй производной называется третьей производной

Аналогично определяются производные более высоких порядков. Отметим только, что производные более высоких порядков отмечаются не штрихами (их было бы слишком много) а цифрами, заключенными в скобки - , и т.д.

Итак, производная n-го порядка определяется как производная от производной (n-1)-го порядка

Основные формулы, касающиеся производных высших порядков, следующие:

1. .

2. .

3. .

Первые две формулы очевидны. Докажем лишь третью формулу, носящую название формулы Лейбница. При ее доказательстве следует только иметь в виду, что, по определению, производной нулевого порядка считается сама функция, то есть .

Доказательство проведем по индукции. При имеем

то есть для формула Лейбница верна.

Прежде, чем делать шаг по индукции, докажем одно вспомогательное соотношение:

А теперь - шаг по индукции. Пусть формула Лейбница верна для некоторого п, то есть

Для краткости записи аргументы у функций опущены.

А теперь имеем:

то есть формула Лейбница верна и для . <

Аналогично этому, дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала, то есть

Выведем формулу для . Имеем

При дальнейшем преобразовании следует иметь в виду, что , совпадающее с приращением аргумента , есть величина, совершенно не зависимая от , так как мы можем взять каким угодно. Поэтому по отношению к играет роль константы: