ТЕМА 3.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

 

 

Элементы содержания	Требования к знаниям и умениям
Правила дифференцирования	знать: основные правила и формулы дифференцирования уметь: применять основные правила и формулы дифференцирования при решении задач
Производная сложной функции	знать: правило нахождения производной сложной функции уметь: находить производные сложных функций
Производная функции в точке	знать: основные правила и формулы дифференцирования уметь: находить производные функций и их значения в точке
Экстремум функции	знать: правило отыскания экстремумов функции уметь: находить точки экстремумов функции и экстремумы функции
Наибольшее и наименьшее значения функции	знать: правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции уметь: находить наибольшее и наименьшее значения функции
Дифференциал функции	знать: понятие дифференциала уметь: применять дифференциал для нахождения приближенного значения функции

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Понятие производной

Определение: Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этотпредел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

Механический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е.

Уравнение касательнойк графику функции в точке :

Уравнение нормали к графику функции в точке :

Таблица производных

 

 

Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.

 

Рассмотрим примеры.

Найти производные функций:

Пример 1:

Решение:

+

Пример2:

Решение:

Пример 3:

Решение:

Дифференциал функции

 

Определение: Дифференциалом функции y=y(x) называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной:

.

 

Для большей наглядности рассмотрим пример.

 

Пример 1: Найти дифференциал функции

Решение:

Так как , то .

 

Для дифференцируемой в точке х₀ функции f(x), у которой f¢ (x₀) ¹ 0, при достаточно малых ∆ х справедливо приближенное равенство

∆ f(x₀) ~ df(x₀) = f¢ (x₀)∆ x

Т.к. ∆ х = х – х₀, ∆ f(x₀) = f(x₀ + ∆ x) – f(x₀) = f(x) – f(x₀),

то f(x) ~ f(x₀) + f¢ (x₀) (x–x₀)

Например, вычислим .

Рассмотрим функцию f(x) = , х Î (0; +¥ ).

Для этой функции ~ +

Подставляем х = 3, 998 и х₀= 4

~

 

Дифференцирование сложной функции

 

Пусть y= y(u), гдеu= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем

, или

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Производные сложных функций находятся при помощи таблицы:

 

Рассмотрим примеры.

 

Пример 1: Найти производную функции

Решение: =

Пример 2: Найти производную функции

Решение:

=

+

 

 

Производные высших порядков

Определение: Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: .

 

Определение: Производная n-ого порядка(n-я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее (n-1)-й производной: .

 

Рассмотрим примеры.

Пример 1: Найти производную второго порядка .

Решение:

 

Пример2: Найти производную второго порядка функции .

Решение:

 

Исследование функции

С помощью производной

Определение: Точка х₀ называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

.

Определение: Точка х₀ называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

.

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. ПОЧЕМУ СИСТЕМА МАКАРЕНКО НЕ РЕАЛИЗУЕТСЯ
2. I. Теоретические основы использования палочек Кюизенера как средство математического развития дошкольников.
3. II. Система обязательств позднейшего права
4. II. Соотношение — вначале самопроизвольное, затем систематическое — между положительным мышлением и всеобщим здравым смыслом
5. II.2.6. Методы математической статистики
6. IV. Тематика и перечень курсовых работ и рефератов.
7. MS Word. Работа с математическими формулами
8. VI. ОБСЛЕДОВАНИЕ БОЛЬНОГО ПО ОРГАНАМ И СИСТЕМАМ
9. VIII. Общение и система взаимоотношений
10. А. Титков УМК ЭТ Тема 08. Совершенная конкуренция и чистая монополия
11. А. Титков УМК ЭТ Тема 09. Несовершенная конкуренция.
12. Автоматизированная информационная система «Обслуживание заказов клиентов»