ТЕМА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В РАЗНЫХ ФОРМАХ ЗАПИСИ

Стр 1 из 5Следующая ⇒

Заочное отделение

Вариант 1

1. Решить квадратное уравнение:

х² + 2х + 5 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

5х – 2у + (х + у)i = 4 + 5i.

3. Выполнить действия:

b. (1 - i)³;

c. i⁴⁰ – i²¹.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 2

1. Решить квадратное уравнение:

х² + 2х + 4 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

5хi – 2+ 4у = 9i + 2x + 3yi.

3. Выполнить действия:

b. (1 + i)³;

c. i³ – i¹⁰⁰.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 3

1. Решить квадратное уравнение:

х²-6х + 18 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

9 + 2хi+4уi= 10i + 5x – 6y.

3. Выполнить действия:

b. (1 - i)⁴;

c. i¹³ – i³³.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 4

1. Решить квадратное уравнение:

х²-4х + 5 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

2хi+3уi+ 17 = 3x + 2y + 18i.

3. Выполнить действия:

b. (1 - i)⁴;

c. i¹⁷ – i³⁸.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 5

1. Решить квадратное уравнение:

х² + 6х + 10 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

4х+5у – 9 + 7 (3х-у)i = 10x + 14yi.

3. Выполнить действия:

b. (3 - 4i)³;

c. i¹⁵ – i³⁷.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 6

1. Решить квадратное уравнение:

х²-10х + 41 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

3 + 4хi+5уi=12i + 5x – 2y.

3. Выполнить действия:

b. (2 + 5i)³;

c. i²³ – i¹¹¹.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 7

1. Решить квадратное уравнение:

2х²- 2х + 5 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

х(2 + i) –у (1-i ) = 1 + 3i.

3. Выполнить действия:

b. (1 + 7i)³;

c. i⁴⁵ – i¹¹.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 8

1. Решить квадратное уравнение:

25х²- 20х + 13 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

х(1 + i) + y(2 – 3i) = 3i + 1.

3. Выполнить действия:

b. (1 - 5i)³;

c. i⁵⁸ – i⁵¹.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 9

1. Решить квадратное уравнение:

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

9 + 2ix+4iy = 10i+5x-6y.

3. Выполнить действия:

b. (3 - 2i)³;

c. i¹⁵ – i⁵⁷.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости

Вариант 10

1. Решить квадратное уравнение:

х²-6х + 18 = 0.

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел

2хi+3уi+ 17= 3x + 2y + 18.

3. Выполнить действия:

b. (1 - 2i)⁴;

c. i²³ – i³⁵.

4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ

1. Решите во множестве комплексных чисел уравнение .

Решение:

Так как , тогда корни находятся по формуле

( ).

Отсюда, , .

Ответ: .

Решите уравнение

Решение:

По формуле , находим:

2. При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут равными?

Решение:

Комплексные числа и будут равными, если выполняются условия:

Ответ: ; .

3. Вычислите ; ; ; .

Решение:

С помощью формулы:

легко получаем:

;

Ответ: ; ; ; .

4. Выполнить все действия над комплексными числами и .

Решение

5. Выполните указанные действия: .

Решение

Вычислим значение дроби .

Следовательно,

Ответ: .

6. Изобразите на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

Решение

Данным комплексным числам соответствуют точки комплексной плоскости.

Покажем их.

7. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

Решение

Так как тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид , тогда:

а) В комплексном числе : .

Тогда

Поэтому

б) , где ,

в) , где ,

г) , где ,

д) , где ,

е) .

ж) , а , то .

Поэтому

Ответ: ; 4; ; ; ; ; .

Действия с матрицами

1) Суммой двух матриц одинаковой размерности, называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых.

2) По определению, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы.

3) Произведение матриц определяется следующим образом. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если

то произведением матрицA и B, называется матрица

элементы которой вычисляются по формуле

c_ij= a_i1 b_1j + a_i2 b_2j+... +a_in b_nj, i = 1, ..., m, j = 1, ..., k.

Произведение матриц A и B обозначается AB, т. е. C = AB.

Пусть даны матрицы и .

· =

Получаем матрицуС, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соотв. элемент j-го столбца матрицы В.

ПроизведениеА · Вопределено, если s= m (число столбцов А равно числу строк В). Если , то произведениеА · В найти нельзя.

Определители

Определители (детерминанты) рассматриваются только для квадратных матриц.

Определитель n-го порядка это число, записываемое в виде таблицы

и может быть вычислено по элементам этой таблицы в соответствии с указанными ниже правилами.

Минором M_ij элемента a_ij называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из определителя n-гопорядка вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическое дополнениеA_ij элемента a_ij определяется равенством:

A_ij=(-1)ⁱ⁺^jM_ij.

Определитель D_n (det) находится по правилу:

а миноры M₁_k – являются определителем (n-1)-го порядка, полученным из D_n вычеркиванием 1-й строки и k-го столбца. Эта формула называется разложением по строке. Можно раскладывать по столбцу:

Определители первого, второго и третьего порядков

Определитель первого порядка .

Определитель второго порядка:

D₂= .

Определитель третьего порядка, вычисленный разложением по первой строке:

D₃= .

Правило вычисления определителя 3-го порядка равносильно правилу треугольников (правилу Саррюса):

D₃=a₁₁a₂₂a₃₃+ a₁₂a₂₃a₃₁+ a₂₁a₃₂a₁₃-(a₁₃a₂₂a₃₁+ a₁₂a₂₁a₃₃+ a₂₃a₃₂a₁₁).

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства берутся со знаком «+», а какие со знаком «–», полезно использовать следующее правило треугольников (или правило Саррюса):

Это правило позволяет легко записать формулу вычисления определителя 3-го порядка и найти его.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

2. Даны матрицы и . Найти матрицу С = .

3. Даны матрицы и Найти матрицуС = А + 2В

Вариант 2

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

2. Даны матрицы и . Найти матрицу С = .

3. Даны матрицы и найти матрицу

С = А- В

Вариант 3

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

2. Даны матрицы и .Найти матрицу С =

3. Даны матрицы и найти матрицу С = А – 2В.

Вариант 4

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

2. Даны матрицы и . Найти матрицу С =

3. Даны матрицы и найти матрицу С = 2А –В.

Вариант 5

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

2. Даны матрицы и . Найти матрицу С =

3. Даны матрицы и найти матрицу С = А – 2В.

Вариант 6

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

2. Даны матрицы и . Найти матрицу С =

3. Даны матрицы и найти матрицу С = 3А – В.

Вариант 7

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

2. Даны матрицы и . Найти матрицу С =

3. Даны матрицы и найти матрицу С = А – 2В.

Вариант 8

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

3. Даны матрицы и . Найти матрицу С =

4. Даны матрицы и найти матрицу С = А- В

Вариант 9

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

2. Даны матрицы и Найти матрицу С =

3. Даны матрицы и найти матрицу

Вариант 10

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера

2. Даны матрицы и . Найти матрицу С =

3. Даны матрицы и найти матрицу С = 3А-В.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ

1. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

Решение:

2А = , 2А + В = .

2. Найти произведение матриц А= , В =

Решение:

АВ = × = = .

3. Даны матрицы А = , В = . Найти матрицу С = A× B.

Решение:

С = AB = .

4. Дана матрица А = , найти А³.

А² = АА = = ; A³ = = .

5. Вычислить определитель матрицы А =

Решение:

= -5 + 18 + 6 = 19.

Второй способ:

6. Найти решение системы уравнений:

Решение:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x₁ = D₁/D = 1;

D₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x₂ = D₂/D = 2;

D₃ = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x₃ = D₃/D = 3.

Ответ: (1; 2; 3)

Понятие производной

Определение: Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этотпредел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

Механический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е.

Уравнение касательнойк графику функции в точке :

Уравнение нормали к графику функции в точке :

Таблица производных

Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.

Рассмотрим примеры.

Найти производные функций:

Пример 1:

Решение:

Пример2:

Решение:

Пример 3:

Решение:

Дифференциал функции

Определение: Дифференциалом функции y=y(x) называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной:

Для большей наглядности рассмотрим пример.

Пример 1: Найти дифференциал функции

Решение:

Так как , то .

Для дифференцируемой в точке х₀ функции f(x), у которой f¢ (x₀) ¹ 0, при достаточно малых ∆ х справедливо приближенное равенство

∆ f(x₀) ~ df(x₀) = f¢ (x₀)∆ x

Т.к. ∆ х = х – х₀, ∆ f(x₀) = f(x₀+ ∆ x) – f(x₀) = f(x) – f(x₀),

то f(x) ~ f(x₀) + f¢ (x₀) (x–x₀)

Например, вычислим .

Рассмотрим функцию f(x) = , х Î (0; +¥ ).

Для этой функции ~ +

Подставляем х = 3, 998 и х₀= 4

Производные высших порядков

Определение: Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: .

Определение: Производная n-ого порядка(n-я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее (n-1)-й производной: .

Рассмотрим примеры.

Пример 1: Найти производную второго порядка .

Решение:

Пример2: Найти производную второго порядка функции .

Решение:

Исследование функции

С помощью производной

Определение: Точка х₀ называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

Определение: Точка х₀ называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции

Точки перегиба

Определение: Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Определение: Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Определение: Точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная об-