ВЫБОР НАИБОЛЕЕ СУЩЕСТВЕННЫХ ФАКТОРОВ ОБЪЕКТА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

При построении математических моделей в технологии производства электронных средств первостепенным является вопрос выбора факторов, определяющих величину показателя качества. Очевидным является, что не все факторы являются одинаково важными и задача заключается в упорядочении в ряд всех исследуемых факторов по степени значимости (информативности) и выборе из них оптимального количества для получения аналитической зависимости

y = f (x₁, x₂, …, x_i, …, x_k),

где y – показатель качества электронного средства;

x_i (i = 1, 2, …, k) – факторы, определяющие величину y.

Рассмотрим основные методы выбора факторов для математического моделирования показателей качества электронных средств.

3.1. МЕТОД ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК

Экспертный метод отличается от статистических тем, что здесь «датчиком» информации служат эксперты (компетентные специалисты). Для ограничения возможности проявления субъективизма при экспертизе и соответственно повышения ее эффективности предлагается следующая аксиоматика метода.

Аксиома 1. Объектом экспертизы служат задачи, которые на данном этапе исследования не могут быть разрешены соответствующими теоретическими или экспериментальными методами.

Аксиома 2. Цель экспертизы формулируется в ясной и четкой форме, не допускающей различных толкований.

Аксиома 3. К экспертизе должны привлекаться специалисты различных научных школ и технических направлений при безусловном исключении лиц, субъективно заинтересованных в одностороннем решении вопроса.

Аксиома 4. Перед проведением экспертизы эксперту необходимо предоставить всю имеющуюся априорную информацию об объекте.

Аксиома 5. Ответы экспертов рассматриваются как результаты независимых опытов. Поэтому при проведении экспертизы должны быть исключены возможности общения экспертов между собой в той мере, в какой это может повлиять на независимость опытов.

Аксиома 6. Резко выделяющиеся результаты (грубые ошибки) должны быть исключены из множества полученных ответов экспертов.

Алгоритм метода

1. Выбор экспертов. Ввиду влияния на ответы экспертов множества случайных причин, результат экспертизы отдельного эксперта по конкретному фактору a_ji(1 ≤ a_ji≤ M; j=1, 2, …, F, F – число экспертов; i=1, 2, …, M – общее число исследуемых факторов) является случайной величиной, колеблющейся около среднего значения m_i

Тогда наименьшая допустимая численность экспертов F_min в зависимости от вероятности правильного решения задачи P и допустимой погрешности результата экспертизы находится из табл.2.

Таблица 2

Наименьшая допустимая численность экспертов F_min

∆ P	0, 1	0, 15	0, 2	0, 25	0, 3	0, 35	0, 4	0, 5
0, 99
0, 97
0, 95
0, 9
0, 85
0, 8
0, 75

На практике обычно задаются величиной P = 0, 95, а значение ∆ выбирается из условия ∆ ≤ 0, 35.

2. Опрос экспертов. Эксперт наиболее важному фактору ставит ранг 1, второму по важности фактору – 2 и т.д. Наименее важный фактор имеет ранг M. Таким образом происходит ранжировка факторов по натуральному ряду от 1 до M. Когда эксперт считает, что 2 или более факторов имеют одинаковую степень важности, то он им ставит «связанный» ранг, равный среднему значению мест, которые они поделили между собой.

Условием правильной ранжировки для j-го эксперта «связанных» рангов является выполнение равенства:

Например, если факторы x₁ и x₅ при ранжировании по натуральному ряду от 1 до M поделили между собой 3 и 4 места, то им обоим приписывается «связанный» ранг (3 + 4) / 2 = 3, 5.

3. Построение матрицы рангов. Результаты опроса F экспертов представляется матрицей рангов с элементами a_ji, имеющей число строк равное числу экспертов и число столбцов равное числу факторов (табл.3).

Таблица 3

Матрица рангов факторов

Эксперт	Фактор
		…	i	…	M
	a₁₁	a₁₂		a_1i		a_1M
	a₂₁	a₂₂		a_2i		a_2M
…
j	a_j1	a_j2		a_ji		a_jM
…
F	а_F1	а_F2		a_Fi		a_FM

4. Обработка результатов экспертизы:

- грубые ошибки экспертов исключаются из рассмотрения на основе критерия Романовского;

- определяется сумма рангов h_i по каждому параметру

- оценивается степень согласованности мнений экспертов с помощью коэффициента конкордации W (0≤ W≤ 1, W=1 при абсолютном совпадении ответов всех экспертов) по формуле:

при отсутствии « связанных» рангов;

при наличии «связанных» рангов;

где ;

, t_j – число одинаковых рангов в j – строке матрицы;

- оценивается значимость коэффициента конкордации по критерию χ ². Расчетное значение χ ² равно:

при отсутствии «связанных» рангов;

при наличии «связанных» рангов.

Коэффициент конкордации W считается статистически значимым, если , где ;

- при статистической значимости W производится ранжировка факторов по величине h_i. Фактор, имеющий минимальное значение h_min, считается наиболее важным, а фактор с h_max – наименее важным;

- определяются коэффициенты весомости факторов β _i по формуле

- факторы располагаются в ряд в порядке убывания их коэффициентов весомости, т.е. в порядке убывания их важности.

Рассмотренный метод экспертных оценок имеет недостаток – влияние субъективизма на результат экспертизы. Вместе с тем, объективно признается, что при решении многих задач экспертный метод является единственным и эффективным при современном состоянии знаний об объекте эксперимента.

Пример. За основные электрические параметры электронных приборов – вычитающих потенциалоскопов приняты коэффициент перезаряда, коэффициент подавления и динамический диапазон. Проверка основных параметров осуществляется визуально, присущий при этом субъективизм ограничивает применение данных параметров в качестве информативных для оценки стабильности технологического процесса и отбраковки некачественных потенциалоскопов, а также при прогнозировании их показателей качества в процессе эксплуатации.

Проведенный анализ отказов приборов на стадиях производства, хранения и эксплуатации показал, что наиболее ненадежным узлом потенциалоскопов является катодно-модуляторная часть и основная доля отказов (до 90%) вызвана потерей эмиссионных свойств катода. Для выбора наиболее информативных параметров, характеризующих качество и долговечность изготавливаемых приборов, был предложен ряд электрофизических параметров, не предусмотренных техническими условиями, но характеризующих эмиссионные свойства катода.

В их число были включены следующие восемь параметров:

А – электронное изображение катода при напряжении накала 3 В;

Б – коэффициент качества катода;

В – ток катода при напряжении модулятора равном 0 В;

Г – остаточная величина тока катода;

Д – напряжение модулятора при токе коллектора равном 40 μ А;

Е – запирающее напряжение модулятора;

Ж – ток коллектора при напряжении модулятора равном -10 В;

З – время спада тока коллектора с 40 до 32 μ А при отключении напряжения накала.

Вследствие отсутствия достаточных статистических данных, полученных по результатам испытаний, для выбора из указанных параметров наиболее информативных был использован метод экспертных оценок.

Для проведения экспертизы были привлечены девять специалистов (Р=0, 95; ∆ ~0, 33), представляющих два технических направления:

- специалисты, занятые в сфере производства приборов (группа I);

- специалисты по эксплуатации приборов (группа II).

Результат опроса 9 экспертов представлен нормализованной матрицей рангов параметров в виде табл.4.

Таблица 4

Матрица рангов параметров

Эксперт	Параметры
А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З
Группа I
					5, 5		5, 5
				1, 5				1, 5
			5, 5	1, 5			5, 5	1, 5
	3, 5	3, 5	5, 5	1, 5			5, 5	1, 5
Группа II						6, 5		6, 5
	2, 5			2, 5
					7, 5	7, 5
	2, 5	2, 5

В строках табл.4 записаны нормализованные ранги j-го эксперта (j=1, 2, …, F; F=9) по i-му параметру (i=1, 2, …, M; M=8). Нормализация рангов осуществляется при наличии «связанных» рангов.

Например, девятый эксперт произвел следующую ранжировку параметров:

Параметр А Б В Г Д Е Ж З

Ранжировка 2 2 4 1 5 5 5 3

Параметры А и Б при ранжировании по натуральному ряду М=1(1)8 поделили между собой 2 и 3 места. Значит им приписывается ранг . Параметры Д, Е, Ж поделили между собой 6, 7, 8 места; им приписывается ранг . Таким образом получим правильную ранжировку для девятого эксперта в виде:

Параметр А Б В Г Д Е Ж З

Ранжировка 2, 5 2, 5 5 1 7 7 7 4

Аналогичным способом получены ранжировки параметров 1-8 экспертами в табл.4.

После обработки данных табл.4 были получены следующие результаты (расчеты производились по формулам пункта 4 алгоритма метода); они представлены в табл.5.

Таблица 5

Сумма рангов и коэффициент весомости параметров

Параметр h, β	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З
h_i	27, 5				61, 5	69, 5		20, 5
β _i	0, 74	0, 71	0, 43	0, 94	0, 27	0, 16	0, 4	0, 84

Вычислены:

W=0, 88;

=55, 5.

Табличное значение статистики χ ² для степеней свободы v=7 и уровня значимости α =0, 01 равно 18, 475. Так как , то с вероятностью 0, 99 можно утверждать, что результаты расчетов не противоречат предположению о согласованности специалистов относительно информативности параметров, степень которой определяется коэффициентом конкордации W=0, 88.

Учитывая, что ранжирование параметров проведено экспертами, представляющими две группы специалистов, можно оценить степень согласованности их между собой, используя коэффициент ранговой корреляции Спирмэна ρ [3]

где S(d²) – сумма квадратов разности сопоставляемых пар в ранжировках;

М – число сопоставляемых пар в ранжировках, равное числу параметров.

Величина ρ может принимать значения в диапазоне от -1 до +1; при отсутствии связи между группами эта величина равна 0.

В случае наличия « связанных» рангов:

где

;

t, u – число одинаковых рангов в первой (Z) и второй (Y) ранжировках.

При M> 10 для оценки значимости коэффициента ранговой корреляции используется нормальный закон распределения частот появления каждого значения величины ρ и применяется соотношение [3]:

где α - вероятность, что .

Коэффициент ρ считается значимым, если расчетное значение суммы квадратов разностей меньше табличного , полученного при заданных уровнях значимости α и М.

Если M≤ 10, то распределение частот отличается от нормального закона распределения, и этим пренебречь нельзя. В этом случае используются специальные таблицы распределения частот, подсчитанные для каждого M≤ 10 [3].

Проведя отдельно ранжирование параметров по их информативности для групп I и II (по данным табл.4) и учтя результаты, полученные для всех экспертов совместно (табл.5), приходим к результатам, представленным в табл.6.

Таблица 6

Сводные результаты экспертизы

Вид ранжировки	Параметры	W при α =0, 01
А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З
X (F=9)								0, 88
Z (F_I=5)								0, 92
Y (F_II=4)								0, 95

Коэффициент ранговой корреляции для ранжированных рядов Z и Y (табл.6) равен ρ _ZY=0, 905. Задаваясь уровнем значимости α =0, 01, при М=8 из [3] находим, что =18. Так как ( )=8< , коэффициент ρ _ZY=0, 905 можно считать значимым и гипотезу о наличии связи между ранжировками справедливой.

Аналогично можно вычислить коэффициенты для ранжированных рядов (ZX) и (YX). Получим ρ _ZX=0, 952, ρ _YX=0, 976, значимые при α =0, 01.

На основе рассчитанных коэффициентов весомости β _i (табл.5) и при установлении статистической значимости коэффициента конкордации проводится анализ результатов для выбора наиболее информативных параметров. Для этого вычисляется средний коэффициент весомости и выбираются все параметры, значения β _i которых превосходят по величине β _ср.

В данном случае β _ср=0, 562 и наиболее информативными параметрами будут: Г, З, А, Б.

3.2. МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ МОМЕНТОВ

Мерой нестабильности фактора, определяющего показатель качества электронного средства, является значимое расхождение его среднего значения m или дисперсии S²(или обоих этих показателей совместно) от базовых величин . Поэтому, если получить количественную характеристику , показывающую степень значимости расхождения средних значений m и m_б с учетом S² и , то ее можно использовать для выбора информативных факторов, т. к. известно, что нестабильные факторы несут больше информации об объекте эксперимента, чем стабильные.

В качестве основы получения величины β предлагается t – критерий Стьюдента. Математический аппарат данного критерия рассмотрен в параграфе 2.5 пособия при проверке гипотезы о равенстве средних m₁ и m₂.

Алгоритм метода

1. По результатам контроля показателя качества y все изделия делятся на два класса (соответствующие и несоответствующие требованиям нормативно-технической документации или по уровню качества: отличные и хорошие; отличные и удовлетворительные и т. д.).

2. Вычисляются выборочные средние значения и дисперсии каждого исследуемого фактора для 1 и 2 классов:

где x_kij – измеренное значение i-го фактора у j-го изделия, принадлежащего k-му классу; i=1, 2, …, M, M – число факторов; j = 1, 2, …, n_k, n_k – число изделий в k-м классе; k=1, 2 – номер класса.

3. Проверяется гипотеза о равенстве дисперсий для каждого i-го фактора на основе F-критерия Фишера (см. параграф 2.5 пособия).

4. Вычисляются расчетные значения t_расч исследуемых факторов по формуле (2) или (3). Выбор формулы для вычисления t_расч зависит от результатов, полученных в п.3.

5. Определяются табличные значения .

6. Отбираются факторы, для которых выполняется неравенство t_расч> t_табл.

7. Для отобранных факторов находится коэффициент весомости и осуществляется их упорядоченность по степени убывания значения β , т. е. в порядке убывания их информативности.

Пример. Одним из основных параметров электронных приборов – вычитающих потенциалоскопов – является динамический диапазон Д, величина которого зависит от качества изготовления мишени, экранной и барьерной сеток и контактного соединения вывода коллектора с аквадагом. В производственных условиях оценка динамического диапазона готовых приборов осуществляется визуально по осциллограммам. Способ измерения и выбор рабочей зоны мишени для измерения вносят в конечный результат элементы субъективизма, что не позволяет получить достоверную информацию по данному параметру в процессе контроля. Поэтому ставится задача найти дополнительные показатели качества изготовления приборов при высокой точности измерения. В дальнейшем эти показатели явятся информационной основой для статистического контроля и управления качеством потенциалоскопов на стадии производства по параметру Д.

Вследствие низкой точности результатов измерения величины Д для решения поставленной задачи нельзя применить известный метод, основанный на вычислении коэффициентов корреляции между основным параметром Д и параметрами, задающими его величину. Рассмотрим применение метода начальных моментов.

На основе анализа физических процессов работы прибора для исследования были выбраны восемь параметров, задающих величину Д:

- емкость между сигнальной пластиной и экранной сеткой x₁ (pF);

- емкость между сигнальной пластиной и барьерной сеткой x₂ (pF);

- емкость между сигнальной пластиной и коллектором x₃ (pF);

- емкость между экранной и барьерной сетками x₄ (pF);

- емкость между экранной сеткой и коллектором x₅ (pF);

- емкость между барьерной сеткой и коллектором x₆ (pF);

- ток экранной сетки x₇(μ Α );

- ток барьерной сетки x₈ (μ Α ).

Результаты измерений потенциалоскопов по перечисленным параметрам приведены в табл.7 (годные приборы) и табл.8 (негодные).

Таблица 7

Результаты измерений потенциалоскопов (годные приборы)

Номер прибора	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇	x₈
								2, 5
							2, 5	2, 5
						3, 5
								1, 5


							1, 5	1, 5
						4, 5	2, 5	1, 8
					5, 5	4, 5	1, 8
					2, 5			1, 5
			5, 5		5, 5	7, 5	1, 5	0, 2
			4, 5					1, 5

			4, 5				1, 5	1, 5
					4, 3			2, 5
			6, 8		2, 5			0, 5
			7, 5		3, 3		2, 5
			8, 3			8, 5		1, 2
					3, 5	4, 3	1, 8	0, 5
						6, 5		2, 5
					3, 6	7, 5		2, 8
						4, 7

						3, 5
								2, 5

					4, 5
			3, 5		3, 4

Таблица 8

Результаты измерений потенциалоскопов (негодные приборы)

Номер прибора	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇	x₈
			2, 3					3, 5
								7, 5


					1, 5			2, 5
					4, 5	4, 5
					3, 5			1, 2
			3, 5			4, 5
					3, 5
					2, 5	5, 5		1, 5
					1, 5
								0, 8
					1, 5	2, 5
					2, 5
					7, 5

Выборки годных и негодных приборов были взяты случайным образом из партии качественной и бракованной продукции по динамическому диапазону.

Была осуществлена проверка закона распределения параметров по критерию согласия Колмогорова (см. параграф 2.5), а также проверка их статистической независимости (см. параграф 4.2.3) при α =0, 01 с использованием данных табл.7 и табл. 8. Результаты расчетов показали, что все параметры имеют нормальный закон распределения, а статистическую связь между ними можно считать незначимой.

Таким образом, предпосылки применения t-критерия Стьюдента и F-критерия Фишера в данной задаче выполняются.

В табл.9 приведены результаты расчетов величин m и s² отдельно для данных табл.7 и табл.8 по формулам (6) и (7), величин F по формуле (1), значений t по выражению (3) для параметров x_i, i=2, 3, 4, 5 и по выражению (2) для параметров x_i, i=1, 6, 7, 8, а также приведены значения t_табл. Расчеты проводились при k=1, 2; М=8; n₁=28; n₁=15.

Табличное значение при α =0, 05 и υ ₁=14, υ ₂=27 равно 2, 4. С учетом выражения (5) табличное значение t_табл для параметров x_i, i=2, 3, 4, 5 при α =0, 05 и υ ₁=41 равно 2, 02. Для параметров x_i, i=1, 6, 7, 8 число степеней свободы υ определялось по выражению (4) и составило 20; 19; 14 и 15. При α =0, 05 значения t_табл для данных параметров равны соответственно 2, 086; 2, 093; 2, 145; 2, 131.

Таблица 9

Результаты расчетов

Величина	х₁	х₂	х₃	х₄	х₅	х₆	х₇	х₈
m₁		256, 86	6, 45	105, 11	4, 84	5, 36		1, 79
m₂	71, 07	258, 93	4, 12	102, 67	3, 37	5, 2		3, 6
	45, 7	84, 13	2, 13	197, 43	2, 51	2, 15	0, 53	0, 42
	129, 61	170, 5	4, 21	339, 17	4, 3	7, 6	90, 35	5, 83
F	2, 84	2, 03	1, 98	1, 72	1, 71	3, 53	170, 47	13, 88
t	0, 6	0, 61	4, 32	0, 49	2, 6	0, 21	3, 51	2, 85
t_табл	2, 086	2, 02	2, 02	2, 02	2, 02	2, 093	2, 145	2, 131

Условию t_расч> t_табл удовлетворяют параметры x₃, x₅, x₇ и x₈. Значения величин β для них равны: β ₃=2, 14; β ₅=1, 29; β ₇=1, 64; β ₈= 1, 34 и их ряд в порядке убывания информативности имеет вид: х₃, х₇, х₈, х₅.

Таким образом, параметры х₃, х₅, х₇, х₈ имеют значимое расхождение средних значений для выборок годных и негодных приборов по динамическому диапазону и поэтому они являются наиболее информативными в системе управления качеством потенциалоскопов.

3.3. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

При оценке результатов эксперимента, когда на показатели качества электронных средств влияют качественные факторы (тип технологической установки или линии, оператор, время изготовления, партия сырья и др.), широкое применение нашел дисперсионный анализ (ДА).

Основу ДА составляет положение о том, что значимость некоторого фактора X характеризуется его вкладом в дисперсию показателя качества Y изделия. ДА заключается в разложении общей дисперсии показателя качества Y, полученной при варьировании факторов x₁, x₂, …, x_k на N уровнях, на составляющие, зависящие от:

- случайных причин;

- каждого из факторов;

- взаимодействия факторов,

и оценки статистической значимости дисперсий этих составляющих с учетом ошибки эксперимента.

ДА базируется на следующих допущениях:

1) показатель качества изделия Y, для которого требуется определить влияние независимых факторов x₁, x₂, …, x_k, представляет собой распределенную по нормальному закону случайную величину с математическим ожиданием и дисперсией ;

2) дисперсия единичного наблюдения, обусловленная случайными ошибками, постоянна во всех опытах и не зависит от факторов x₁, x₂, …, x_k, т.е. равны между собой, а их выборочные оценки однородны, что является условием воспроизводимости эксперимента.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒