Общая постановка и решение задачи ДА

Требуется оценить влияние фактора x на фоне случайных причин, когда дисперсия воспроизводимости эксперимента известна. При варьировании фактора x на N качественных уровнях получим ряд значений показателя качества y₁, y₂, …, y_N, рассеяние которых характеризуется выборочной дисперсией . Если отличие от незначимо, то разброс наблюдений связан только со случайными причинами и не зависит от влияния фактора x. Если же отличие значимо, то разброс наблюдений вызван не только случайными причинами, но и влиянием фактора x.

Когда дисперсия воспроизводимости неизвестна, то проводится n дублирующих опытов при каждом из возможных уровней фактора x. После этого находится оценка генеральной дисперсии воспроизводимости .

Различают однофакторный, двухфакторный и многофакторный ДА. Рассмотрим подробно сущность ДА при действии на показатель качества изделия одного фактора.

Однофакторный ДА

Результаты эксперимента представлены в виде табл. 10.

Таблица 10

Матрица однофакторного ДА

Номер q-го уровня фактора х	Дублирующие (повторные) опыты (j=1, 2, …, n)
		…	j	…	n
	y11	y12		y1j		y1n
	y21	y22		y2j		y2n
…
q	yq1	yq2		yqj		yqn
…
N	yN1	yN2		yNj		yNn

 

Из данных таблицы 10 находим:

1) средние арифметические из n повторных опытов для каждого q-го уровня фактора х

2) общее среднеарифметическое всех наблюдений (по всем N уровням при их повторении n раз)

В соответствии с сущностью ДА разложим сумму квадратов отклонений наблюдений от общего среднего арифметического на две составляющие суммы, одна из которых характеризует влияние фактора случайности, а вторая – фактора x:

как сумма отклонений q-ой серии повторных опытов от среднего той же серии.

В выражении для U:

– сумма квадратов отклонений внутри серии повторных опытов. Характеризует действие фактора случайности;

– сумма квадратов отклонений между сериями повторных опытов. Характеризует действие фактора х.

Далее вычисляются:

- несмещенная общая оценка дисперсии воспроизводимости эксперимента по всем наблюдениям:

с числом степеней свободы ;

- выборочная дисперсия внутри серий с числом степеней свободы ;

- выборочная дисперсия между сериями с числом степеней свободы .

Проверка значимости влияния фактора х на показатель качества y производится с помощью критерия Фишера:

- вычисляется ;

- находится ;

- сравнивается F_рас и F_таб. Если F_рас> F_таб, то с вероятностью влияние фактора х считается значимым.

Пример. В результате семикратного измерения удельной емкости образцов анодной алюминиевой фольги для электролитических конденсаторов с использованием экспресс – способа (способ измерения 1) и на измерительной установке (способ измерения 2) получены следующие значения (табл. 11).

Таблица 11

Отклонение удельной емкости образцов анодной алюминиевой фольги

Способ измерения	Удельная емкость образцов (y), μ Ф/дм2
	9, 12	9, 30	8, 20	10, 50	9, 80	8, 50	10, 20
	8, 34	8, 58	8, 18	8, 42	8, 66	8, 26	8, 50

Считая, что образцы фольги принадлежат одному рулону, заформованному на одной установке при постоянных технологических режимах, требуется оценить влияние способов на результаты измерения.

q=1, 2; N=2; j=1, 2, …, 7; n=7.

Вычисляем среднее арифметическое и общее среднее арифметическое :

Находим суммы квадратов:

Вычислим дисперсии:

Тогда:

Так как F_рас> F_таб, то с вероятностью 0, 95 влияние способа измерения признается значимым.

При двухфакторном ДА оценивается влияние на показатель качества y не только каждого из факторов x₁ и x₂, но и их взаимодействия x₁ x₂. Математический аппарат двухфакторного и многофакторного ДА рассмотрен в [4].

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Назовите аксиомы метода экспертных оценок.

2. От чего зависит выбор величины наименьшей допустимой численности экспертов?

3. Алгоритм метода экспертных оценок.

4. В чем сущность метода начальных моментов?

5. Алгоритм метода начальных моментов.

6. Каковы основы и допущения дисперсионного анализа?

7. Общая постановка и решение задачи дисперсионного анализа.

8. В чем сущность однофакторного дисперсионного анализа?

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ - метод научного познания, при котором исследуемый объект заменяется другим (более простым), называемый моделью, изучение которой дает возможность получить новую информацию об исходном объекте.

В зависимости от способа воплощения изучаемого объекта в модель различают физическое (ФМ) и математическое (ММ) моделирование.

ФМ - макетирование; сохраняет физическую природу.

ММ - упрощенное отображение наиболее существенных свойств реального объекта, выраженное в математической форме.

ММ представляется полиномами, уравнениями, неравенствами, алгоритмическими правилами и т.п.

В общем случае физические модели по сравнению с математическими дают более достоверные сведения об объекте, но проигрывают последним по стоимости и скорости получения информации.

Поэтому ФМ и ММ не следует противопоставлять. Необходимо определить их разумное сочетание и использовать для решения практических задач.

 

4.1. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

 

ММ технологического процесса (ТП) - получение аналитической зависимости

y = f ( x₁, x₂, ..., x_i, ..., x_k ),

где y - показатель качества изделия;

x_i - переменная, определяющая величину у.

Источники информации для построения ММ представлены на рис.2.

Рис.2. Информационная основа ММ

В зависимости от информации, используемой при построении ММ, различают физико-химические модели (теоретические) и статистические (эмпирические) модели. В первом случае за основу берутся физико-химические закономерности моделируемого ТП (например, уравнения баланса, кинетические уравнения и т.п.). Построение теоретических моделей сопряжено с проведением обширных и длительных исследований, поскольку при этом необходимо выяснить природу физико-химических явлений и процессов, протекающих в изготавливаемом изделии, и описать их математически.

Модели представляются в виде систем уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных).

При этом описание точное и возможна экстраполяция в точки факторного пространства, в которых невозможно непосредственное наблюдение процессов, происходящих в изделии.

Статистические модели строятся в результате обработки экспериментальных данных, полученных при исследовании ТП и по данным эксплуатации готовых изделий.

Статистические модели имеют относительно простую структуру; обычно они представляются в виде полиномов. Область их применения чаще всего ограничивается окрестностью факторного пространства, где проведены эксперименты. Построение таких моделей можно выполнить ценой сравнительно небольших затрат времени и стоимости.

Для ММ ТП производства электронных средств (ЭС) чаще применяются статистические модели. Получение статистических моделей возможно на основе двух подходов:

- пассивного эксперимента;

- активного эксперимента.

В первом случае ММ строится на основе пассивного эксперимента по результатам контроля отдельных операций и всего ТП в целом. Экспериментатор не вмешивается в ход ТП, а лишь проводит измерение факторов x_i и показателей качества ЭС.

В основу второго подхода заложен активный эксперимент, где исследователь целенаправленно по заданному плану эксперимента варьирует факторы x_i в определенных интервалах. Экспериментатор активно вмешивается в ход ТП.

Сравнение двух подходов показывает, что активный эксперимент позволяет:

1. cократить объем экспериментов и затраты на их проведение в среднем на 25...30%;

2. получить ММ, имеющую физическое объяснение.

4.2. ПАССИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ММ

 

4.2.1. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

 

Пусть имеется только один фактор х, определяющий y.

х - неслучайная величина;

y - случайная величина, принимающая значения в некотором интервале.

y = f(х).

Эта зависимость ищется в виде .

Реально модель имеет вид (8), которая показывает, как в среднем изменяется величина y при изменении величины х в заданном диапазоне. Здесь b₀ и b₁ являются оценками теоретических коэффициентов β ₀ и β ₁.

Уравнение (8) - уравнение регрессии y по х. Графическое изображение (8) – кривая регрессии.

Коэффициенты уравнения b₀ и b₁ находятся по экспериментальным данным методом наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить несмещенные, состоятельные и эффективные оценки.

Имеем экспериментальные данные:

X	x1	x2	…	xi	…	xn
Y	y1	y2	…	y1	…	yn

 

Суть МНК: минимизируется сумма квадратов отклонений измеренных значений y_i от значений , вычисленных по уравнению регрессии (рис. 3).

 

Рис.3. Линейное уравнение регрессии

 

МНК:

Выполнение условия (9) обеспечивается так:

по коэффициентам b₀ и b₁ уравнения (8) определяются частные производные функции u и приравниваются к нулю. В результате образуется система нормальных уравнений, число которых равно числу неизвестных коэффициентов.

Для (9) имеем:

1)

 

2)

Получили систему

Решив ее, найдем b₀ и b₁.

На основе регрессионного анализа можно получить уравнение регрессии вида

В этом случае система нормальных уравнений имеет вид:

Решается на ЭВМ с использованием стандартной программы.

Мы рассмотрели построение линейных относительно х уравнений регрессии. Но на практике приходится иметь дело и с нелинейными зависимостями . При определении коэффициентов таких функций иногда удается путем замены переменных привести ее к виду , т.е. линейному виду. Такая процедура называется выравниванием эмпирической формулы. Далее b₀ и b₁ находятся МНК, а затем производится их пересчет к а и b.

 

Нелинейные зависимости

1. Степенная функция . Применяется логарифмическое преобразование: Замена переменных: ; Получим , где

2. Показательная функция Логарифмическое преобразование: Замена переменных: . Получим где

3. Функция вида Преобразование: Замена переменных: Получим где

Более подробно о регрессионном анализе см. в [4].

 

 

Пример. Построить математическую модель по следующим экспериментальным данным

X
Y

 

 

Для нахождения коэффициентов b₀ и b₁ уравнения регрессии используем систему уравнений при n=5:

Подставив значения x_i и y_i в систему, имеем:

Решив систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим:

Искомая математическая модель имеет вид:

 

4.2.2. МЕТОД ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ

 

При построении математических моделей характерным является то, что вся информация о показателе качества ЭС (как текущая, так и полученная в прошлом) имеет одинаковую ценность и используется в расчетах с одинаковым весом.

При анализе реальных технологических процессов исследователь оперирует исходными данными о показателе качества ЭС, определяемыми условиями протекания процесса (показатели сырья и полуфабрикатов, технологические режимы, параметры технологического оборудования и др.) и изменения данных условий с течением времени. Так как эти изменения носят в основном необратимый характер, то наибольшую ценность при решении задач оценки и прогнозирования состояния технологического процесса, а соответственно и показателя качества ЭС, имеют текущие данные. Данные, полученные в прошлом, могут быть либо совсем исключены из рассмотрения, либо использованы при расчетах с меньшим весом по сравнению с текущими. В данном случае необходимо, чтобы математическая модель позволяла как можно точнее аналитически описывать текущие данные о показателе качества ЭС и совсем не обязательно, чтобы она также хорошо описывала данные, полученные в прошлом.

Такие типы моделей можно получить на основе метода экспоненциального сглаживания. Сущность его заключается в том, что временной ряд измеренных значений показателя качества ЭС сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой вес, придаваемый наблюдениям над показателем качества, подчинен экспоненциальному закону, причем более поздним наблюдениям придается больший вес по сравнению с ранними.

Пусть имеется временной ряд наблюдений показателя качества ЭС y_t (t=1, 2, …, m).

Экспоненциальной средней k-го порядка (k=1, 2, …, n) для ряда y_t является выражение

где α – параметр сглаживания («вес»);

i – число периодов отставания от текущего периода времени t.

Для вычисления значения α используется выражение [5]

Исследования показывают, что практически диапазон значений α ограничивается величиной 0, 1 – 0, 3.

Брауном [5] выведена рекуррентная формула для определения экспоненциальной средней k-го порядка в момент времени t для ряда y_t в виде:

Из формулы (11) экспоненциальную среднюю первого порядка, т.е. среднюю, получаемую непосредственно при сглаживании данных наблюдений (первичное сглаживание), можно представить в виде:

или

Из выражения (12) следует, что экспоненциальная средняя для момента времени t представляет собой линейную комбинацию всех наблюдений от y₁ до y_t, вес которых возрастает по геометрической прогрессии со временем. В этом выражении является величиной, характеризующей некоторые начальные условия и относящейся к периоду, предшествующему имеющемуся ряду динамики y_t. Если есть соответствующие данные, то в качестве начального условия принимается среднее значение наблюдений, относящихся к прошлому; в противном случае в качестве y₀ принимается первое наблюдение, т.е. y₁.

Построение математической модели для прогнозирования показателя качества ЭС y на основе метода экспоненциального сглаживания покажем на линейной модели вида:

На основе теоремы Брауна-Майера система уравнений, связывающих оценки коэффициентов β ₀ и β ₁ модели (13) с экспоненциальными средними и , имеет вид:

Решив ее относительно b₀ и b₁, получим:

Тогда прогнозируемое значение y по модели (13) равно:

где l – интервал прогноза, l=1, 2, …, L.

Ошибка прогноза при этом равна:

где σ _ε – средняя квадратичная ошибка, вычисленная для отклонений от линейного тренда.

Аналогичным образом вычисляются оценки коэффициентов и ошибка прогноза для моделей более высокого порядка. Формулы расчетов для квадратичной модели приведены в [5].

Рассмотрим применение метода экспоненциального сглаживания на конкретном примере.

Пример. На стадии производства (при испытаниях на долговечность) электронных приборов – вычитающих потенциалоскопов, был получен следующий временной ряд изменения тока катода прибора: 745; 770; 725; 740; 710; 681; 662, т.е.

Замеры производились от 0 до 300 ч. через каждые 50ч.

Тренд ряда (18) можно аппроксимировать линейной моделью

полученной методом наименьших квадратов, при этом вычисленное среднее квадратическое отклонение от линейной модели .

Вычислим прогноз величины I_k на момент времени Т_пр=350 ч (прогноз на 50 ч), используя данные ряды (18), методом экспоненциального сглаживания.

Сначала по формуле (10) рассчитаем величину α при m=7, а по формулам, приведенным в [5], найдем начальные условия:

Затем по рекуррентной формуле (11) вычислим значения и , а из выражений (14) и (15) – значения коэффициентов b₀ и b₁:

Тогда с учетом выражения (16) получим у₈=667, 6 - 16, 7=650, 9, т.е. , при этом ошибка прогноза, вычисленная по формуле (17), равна .

Результат прогноза тока катода хорошо согласуется с экспериментальным значением , полученным после испытаний потенциалоскопа на долговечность.

При использовании для прогноза модели (19), полученной методом наименьших квадратов, имеем у₈=655, т.е. , что существенно отличается от .

Таким образом, применение метода экспоненциального сглаживания для построения модели прогнозирования качества потенциалоскопа позволило повысить точность прогноза в сравнении с методом наименьших квадратов.

Метод экспоненциального сглаживания целесообразен и эффективен при построении математических моделей в случаях, когда текущим наблюдениям над показателем качества необходимо придать больший вес по сравнению с прошлым.

 

4.2.3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

 

Одной из основных задач корреляционного анализа является нахождение статистической связи между двумя случайными величинами х и y.

Степень связи характеризуется коэффициентом парной корреляции r_xy (или r_yx).

где m_x и m_y – средние значения, например:

Sx и Sy – средние квадратические отклонения, например:

n – число пар наблюдений над x и y.

Параметры x и y считаются статистически зависимыми, если

где α – уровень принимаемого решения; α =0, 01…0, 1.

Численное значение r_xy: -1≤ r_xy ≤ 1.

– функциональная зависимость;

r_xy = 0 – независимость x и y.

Знак «-»: при увеличении x y уменьшается;

при уменьшении x y увеличивается.

Знак «+»: при увеличении x у увеличивается;

при уменьшении x y уменьшается.

Если параметры x и y статистически зависимы, то где

Пример. По экспериментальным данным, приведенным в параграфе 4.2.1 пособия, вычислить коэффициент парной корреляции r_xy, проверить статистическую зависимость параметров х и у и построить математическую модель y=b₀+b₁x, если они статистически зависимы.

Имеем:

Проверяем статистическую зависимость параметров х и у:

Так как 6, 9 > 4, 3, то параметры х и у статистически зависимы. Тогда уравнение регрессии имеет вид:

Полученная методом корреляционного анализа математическая модель полностью совпадает с моделью, построенной в параграфе 4.2.1 на основе регрессионного анализа.

 

4.2.4. ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ ММ

 

Оценку адекватности ММ производят с помощью коэффициента множественной корреляции R.

Математическая модель считается адекватной, если R > 0, 8.

Для практических целей предлагается использовать коэффициент γ :

- СКО величины у;

- СКО величины у относительно значений, полученных по уравнению регрессии;

у_i - экспериментальное значение у в i-ом опыте;

- среднее экспериментальное значение; - если нет дублирования опытов;

у_iмод - значение у в i-ом опыте, вычисленное по модели (уравнению регрессии);

m - число коэффициентов уравнения регрессии;

n – число опытов (экспериментов, измерений).

На рис.4 приведена графическая зависимость γ от R.

Рис.4.Зависимость γ от коэффициента множественной корреляции R

 

Из рис.4 следует, что уравнение регрессии имеет практический смысл, т.е. ММ адекватно описывает процесс, если γ ≥ 2.

условие адекватности ММ.

 

 

4.3. АКТИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ММ

 

4.3.1. ВИД И АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Обозначим:

y – показатель качества изготавливаемого изделия;

x₁, x₂, …, x_i, …, x_k – независимые факторы, определяющие величину y.

В теории планирования активного эксперимента зависимость представляется полиномом вида

где – неизвестные коэффициенты.

Пользуясь экспериментальными данными можно определить лишь выборочные коэффициенты b₀, b_i, …, b_ii, которые являются оценками коэффициентов и реально модель (20) имеет вид:

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Diana 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
2. I I. Цели, задачи, результаты выполнения индивидуального проекта
3. I Общая характеристика загрязнений естественного и антропогенного происхождения
4. II. Основные задачи управления персоналом.
5. II. Решить следующие ниже финансовые задачи на листе “Задачи”.
6. II. Цели, задачи и предмет деятельности
7. III ГЛАВА. ИНТЕРЬЕР И АРХИТЕКТУРНО – ПРОЕКТИРОВОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ШКОЛЫ БУДУЩЕГО
8. III. ВСЕОБЩАЯ ФОРМА СТОИМОСТИ
9. III. Задачи, решаемые организацией с помощью ИСУ и ИТУ.
10. III. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ПРИНЦИПЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ РАЙОННОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОФСОЮЗА
11. III. Экономико-управленческие задачи производственной практики
12. XIV. Обязательства, их общая историческая эволюция