Алгоритм построения математической модели.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

1. Выбор факторов (см. главу 3 пособия).

2. Выбор плана эксперимента.

3. Проведение эксперимента.

4. Проверка воспроизводимости эксперимента.

5. Вычисление коэффициентов модели.

6. Проверка значимости коэффициентов модели.

7. Проверка адекватности модели.

8. Анализ и синтез ТП по полученной модели.

Рассмотрим построение ММ на конкретном плане эксперимента – полном факторном эксперименте типа 2^k.

4.3.2. ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ (ПЭФ) 2^k

План эксперимента определяет расположение экспериментальных точек в k-мерном факторном пространстве, т.е. условия всех опытов, которые необходимо выполнить.

Конкретный тип плана активного эксперимента определяется порядком степени полинома (21).

Часто экспериментатору достаточно бывает получить ММ ТП в виде полинома 1 порядка (степень факторов x_i=1):

Из теории моделирования известно, что число уровней факторов при проведении эксперимента должно быть на единицу больше порядка полинома.

Для получения модели (22) достаточно каждый из факторов фиксировать на двух различных уровнях. Обозначим эти уровни через и , которые взяты относительно начального значения i-го фактора x_i₀. В качестве x_i₀ следует брать середину исследуемого диапазона значений i-го фактора. Рекомендуется изменение параметра производить в пределах 10-30% от начального значения.

В теории планирования эксперимента (с целью упрощения записи и расчетов) эти уровни кодируют:

Значит уровни +1 и -1 представляют собой границы исследуемой области.

ПФЭ 2^k – это план эксперимента, при котором осуществляются все возможные комбинации 2-х уровней k факторов. Запись: ПФЭ 2^k. Она означает, что каждый фактор фиксируется при проведении опытов на двух уровнях (+1, -1), а число исследуемых факторов (т.е. влияющих на у) равно k.

На рис.5 приведен план ПФЭ 2¹ (k=1) в геометрической форме.

Здесь • - опыт, в котором осуществляется измерение у при определенных значениях x_i

. Рис.5. План ПФЭ 2¹

План ПФЭ 2² (k=2) приведен на рис.6.

Рис.6. План ПФЭ 2²

План ПФЭ 2³ (k=3) приведен на рис.7.

Рис.7. План ПФЭ 2³

Из рис.5 - 7 видно, что в ПФЭ 2^k общее число различных опытов N равно 2^k.

N= 2^k; k=1, N=2; k=2, N=4; k=3, N=8.

Обычно план эксперимента задается в виде матрицы планирования, каждая строка в которой определяет условия проведения q-го опыта (q=1, 2,..., N), а каждый столбец х_i, значения i-ой переменной в разных опытах, т.е. в строке матрицы записываются уровни факторов, соответствующие данному опыту.

В табл.12 приведена матрица планирования ПФЭ 2³, где коды -1 и +1 при независимых факторах соответствуют их нижнему и верхнему уровням, а число опытов равно 8. В последнем столбце таблицы приведены значения показателя качества y.

Таблица 12

Матрица планирования плана ПФЭ 2³

№ опыта	x₁	x₂	x₃	y
	-1	-1	-1	y₁
	+1	-1	-1	y₂
	-1	+1	-1	y₃
	+1	+1	-1	y₄
	-1	-1	+1	y₅
	+1	-1	+1	y₆
	-1	+1	+1	y₇
	+1	+1	+1	y₈

В табл.12 символ -1 соответствует нижнему уровню переменной, а символ +1 – верхнему уровню. Посередине между верхним и нижним уровнями размещен начальный (средний) уровень: 0. Это – кодированная шкала переменных, получаемая путем преобразования

где штрих означает, что переменная имеет определенную размерность;

- текущее значение переменной;

- среднее значение переменной;

- интервал изменения переменной, ;

при

Точка с координатами x₁=0, x₂=0, …, x_k=0 называется центром плана эксперимента.

Порядок построения табл.12 прост: х₁ – меняет свое значение с -1 на +1 через каждый опыт; х₂ – через 2 опыта; х₃ – через 4 опыта.

В общем случае (при любом k) для построения матрицы планирования используется следующее правило:

1) в первой строке матрицы планирования все переменные устанавливаются на значении -1;

2) фактор х₁ меняет свое значение с -1 на +1 или с +1 на -1 после каждого опыта;

3) частота смены знака для последующей по номеру k переменной вдвое меньше, чем для предыдущей.

При выполнении эксперимента порядок проведения опытов может быть произвольный (рандомизированный).

План ПФЭ 2^kобладает следующими свойствами:

4. Рототабельность – свойство с одинаковой точностью определения у на равных расстояниях от центра независимо от направления по x_i,

где i и j номера столбцов при независимых переменных x_i в матрице планирования; q=1, 2, …, N.

Первое свойство – ортогональность (сумма почленных произведений элементов любых двух столбцов = 0). Второе свойство –симметричность (алгебраическая сумма элементов каждого столбца = 0). Третье свойство – нормировка (алгебраическая сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов).

Данные свойства ПФЭ 2^k позволяют оценить независимо друг от друга коэффициенты модели (22) и упростить процедуру вычисления их численных значений.

Если некоторый q-й опыт в матрице планирования проводится несколько раз, то в качестве y_q берется среднее значение :

где n – число повторных опытов q-го опыта.

Проведение эксперимента

Заключается в реализации матрицы планирования. Если, например, имеем матрицу ПФЭ 2³ (табл.12), то проводится 8 опытов при значениях x₁, x₂, x₃ равных -1 или +1 и контролируется показатель качества y.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 Следующая ⇒