Уравнение Шрёдингера в общем виде.

Для начала, запишем исходное уравнение Шрёдингера в общем виде:

Это уравнение даёт описание электрона в квантовой механике. Здесь h> 0 – постоянная Планка и m – масса. Величина имеет физический смысл плотности вероятности, то есть есть вероятность того, что электрон находится в окрестности точки в момент времени t.

Уравнение Шрёдингера с некоторыми фиксированными физическими величинами.

Для упрощения поиска решения уравнения Шрёдингера, положим h=1, m= .

Тогда уравнение Шрёдингера примет вид:

(или – в одномерном случае.

(или - в n-мерном случае.

Задача Коши для уравнения Шрёдингера.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения Шрёдингера:

Для решения задачи (1), (2), очень важную роль будет играть преобразование Фурье, поэтому, для того, чтобы идти дальше, мы должны его применить.

4) Задача Коши для уравнения Шрёдингера после преобразования Фурье.

После применения преобразования Фурье, мы получим задачу Коши для уравнения Шрёдингера в следующем виде:

Упрощение уравнения (1') из задачи (1'), (2').

Упрощение уравнения (1') из задачи (1'), (2'), получим уравнение вида:

(3')

6) Вид решения уравнения (3') как функция

Для уравнения (3'), проделав определённые процедуры, мы получили решение , принимающее вид:

= (

7) Применение обратного преобразования Фурье к функции

Для того, чтобы получить решение задачи (1), (2), применим обратное преобразование Фурье к функции Получаем:

u(x, t) = ⁕ K, где K – интегральное ядро, K= .

8) Полученное решение

В итоге получаем решение, которое будет иметь вид:

u(x, t) = , (4)

где supp .

Фундаментальное решение уравнения Шрёдингера.

Фундаментальное решение уравнения Шрёдингера будет примет вид:

, где , .

10) Разложение функции u.

Найдя и g, мы получили, что функция u может быть разложена как:

u=g⁕ .

Также стоит отметить, что формула (4) имеет смысл для любого времени t > 0 и даже t < 0. Однако при t=0 гладкость решений пропадает.

Окончательный вид уравнения Шрёдингера с решением.

В итоге, окончательным видом уравнения Шрёдингера с решением будет служить система уравнений:

В частности, уравнение Шрёдингера является обратимым во времени, в то время как уравнение теплопроводности таковым не является.

Теорема о бесконечной гладкости решений уравнения Шрёдингера с начальными условиями.

Для того, чтобы исследовать полученное решение уравнения Шрёдингера на бесконечную гладкость, нам понадобится следующая теорема:

Теорема: Если , , то решение , .

Доказательство теоремы о бесконечной гладкости решений уравнения Шрёдингера с начальными условиями.

Теперь, чтобы убедиться в справедливости теоремы, докажем её.

Доказательство: Рассмотрим систему:

и рассмотрим функцию : supp g ⊂ , где – шар радиуса 1.

При этом, функция g может не иметь производных (классических).

Следовательно, классическое решение , где .

Таким образом,

= 0. (5)

Сделаем замену n=2k в формуле (4) и, поскольку и , где (нам понадобится случай ), подставим это вместо t в формулу (4).

Получим:

g(x) .

Получаем уравнение Шрёдингера (6) для t > 0 с начальными условиями (7):

решение которого представлено в виде:

u(x, t) = . (8)

☐

Проверка доказательства теоремы о бесконечной гладкости решений уравнения Шрёдингера с начальными условиями.

Для проверки, в формуле (8) положим t=0 (по начальному условию), получим:

( ).

Из формулы (5) следует, что = 0, ч.т.д.

Заключение

Мне удалось разобраться в теме уравнений математической физики «Нахождение решения уравнения Шрёдингера».

Научиться искать решения уравнений в частных производных с помощью преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье.

Понять важность данного материала в сфере математических и физических наук.

Изучить материал в целях общего развития и пополнения собственных знаний.

Список источников

1. Википедия — https: //ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A8%D1%80%D1%91%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D1%80%D0%B0

2. В. С. Владимиров — ”Уравнения математической физики”, 1981

3. Gregory Eskin — ”Lectures on Linear Partial Differential equations”

4. L.C. Evans — ”Partial Differential Equations, SECOND EDITION”

⇐ Предыдущая 12