Теоретические аспекты уравнения Шрёдингера

Стр 1 из 2Следующая ⇒

КУРСОВАЯ РАБОТА

На тему

« Нахождение решения уравнения Шрёдингера »

Уравнения математической физики

Выполнил

Студент группы НП-301

Студенческий билет №: 1032141909

Стуклов Д.Н.

«» 2016 г.

Руководитель

доцент кафедры
прикладной математики, к.ф.-м.н.

Боговский М.Е.

Москва 2016

Оглавление

Введение. 3

Теоретические аспекты уравнения Шрёдингера. 4

Определение уравнения Шрёдингера. 4

Методы решения уравнения Шрёдингера. 4

Практическая часть. 5

Уравнение Шрёдингера в общем виде. 5

Уравнение Шрёдингера с некоторыми фиксированными физическими величинами. 5

Задача Коши для уравнения Шрёдингера. 5

Задача Коши для уравнения Шрёдингера после преобразования Фурье. 6

Упрощение уравнения (1') из задачи (1'), (2'). 6

Вид решения уравнения (3') как функция ........

Применение обратного преобразования Фурье к функции ........ 6

Полученное решение ......... 6

Фундаментальное решение уравнения Шрёдингера. 7

Разложение функции u. 7

Окончательный вид уравнения Шрёдингера с решением.. 7

Теорема о бесконечной гладкости решений уравнения Шрёдингера с начальными условиями. 7

Доказательство теоремы о бесконечной гладкости решений уравнения Шрёдингера с начальными условиями. 8

Проверка доказательства теоремы о бесконечной гладкости решений уравнения Шрёдингера с начальными условиями. 9

Заключение. 10

Список источников. 11

Введение

Цель работы:

1) Найти решение уравнения Шрёдингера.

2) Выяснить, в каких случаях уравнение Шрёдингера имеет смысл, а в каких случаях гладкость решений пропадает.

Актуальность:

Уравнение Шрёдингера предназначено для частиц без спина, движущихся со скоростями много меньшими скорости света. В случае быстрых частиц и частиц со спином используются его обобщения (уравнение Клейна — Гордона, уравнение Паули, уравнение Дирака и др.)

Теоретические аспекты уравнения Шрёдингера

Определение уравнения Шрёдингера:

Уравнение Шрёдингера — линейное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение в пространстве (в общем случае, в конфигурационном пространстве) и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнения Гамильтона или уравнение второго закона Ньютона в классической механике или уравнения Максвелла для электромагнитных волн. Сформулировано Эрвином Шрёдингером в 1925 году, опубликовано в 1926 году. Уравнение Шрёдингера не выводится, а постулируется методом аналогии с классической оптикой, на основе обобщения экспериментальных данных[1].

Методы решения уравнения Шрёдингера:

Уравнения Шрёдингера может быть 4-мя методами:

1) Аналитический метод. Решение ищется в виде точного математического выражения. Этот метод применим лишь в немногих простейших случаях (одноэлектронные атомы, линейный осциллятор, потенциальная яма с бесконечно высокими стенками и т.п.).[17]

2) Метод возмущений. Оператор Гамильтона рассматривается как сумма двух слагаемых. Одно из них рассматривается как невозмущённый оператор, имеющий точное аналитическое решение. Другое слагаемое рассматривается как малая возмущающая добавка к нему. При стационарном возмущении решение заключается в разложении собственных значений и собственных функций в ряд по степеням малой постоянной возмущения и нахождении приближённого решения системы получаемых уравнений.[18] При нестационарном возмущении волновая функция ищется в виде линейной комбинации собственных волновых функций с коэффициентами, зависящими от времени.[19]

3) Метод Ритца. Применяется для решения стационарного уравнения Шрёдингера. Определяются экстремальные значения средней полной энергии системы при помощи варьирования параметров некоторой пробной функции.[20]

4) Метод Хартри-Фока.

Практическая часть

Уравнение Шрёдингера с некоторыми фиксированными физическими величинами.

Для упрощения поиска решения уравнения Шрёдингера, положим h=1, m= .

Тогда уравнение Шрёдингера примет вид:

(или – в одномерном случае.

(или - в n-мерном случае.

Заключение

Мне удалось разобраться в теме уравнений математической физики «Нахождение решения уравнения Шрёдингера».

Научиться искать решения уравнений в частных производных с помощью преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье.

Понять важность данного материала в сфере математических и физических наук.

Изучить материал в целях общего развития и пополнения собственных знаний.

Список источников

1. Википедия — https: //ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A8%D1%80%D1%91%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D1%80%D0%B0

2. В. С. Владимиров — ”Уравнения математической физики”, 1981

3. Gregory Eskin — ”Lectures on Linear Partial Differential equations”

4. L.C. Evans — ”Partial Differential Equations, SECOND EDITION”