Принципы и виды математического моделирования

ОММ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Целью курса моделирование подъемно-транспортных систем является обучение основам моделирования подъемно-транспортных машин (ПТМ), что включает в себя составление математических моделей ПТМ, программную реализацию моделей на ЭВМ, а также получение, обработку и анализ результатов моделирования.

Для самостоятельного ознакомления с перечисленными вопросами рекомендуется следующая литература: Брауде В. И., Тер-Мхитаров М. С. «Системные методы расчета грузоподъемных машин», Игнатьев Н. Б., Ильевский Б. З., Клауз Л. П. «Моделирование системы машин», Рачков Е. В., Силиков Ю. В. «Подъемно - транспортные машины и механизмы», а также справочники и учебные пособия по численным методам вычислительной математики и использованию математического редактора MathCad.

ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ, ВИДЫ МОДЕЛЕЙ

1.1 Основные определения

Моделирование - это теоретико-экспериментальный метод познавательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов - моделей.

Моделирование – это замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом или другим объектом (моделью) и изучение свойств оригинала путем исследования свойств модели.

В зависимости от способа реализации все модели можно разделить на 4 группы: физические, математические, предметно-математические и комбинированные [, ].

Физическая модель – реальное воплощение тех свойств оригинала, которые интересует исследователя. Физические модели называют еще макетами, поэтому физическое моделирование называется макетированием.

Математическая модель – это формализованное описание системы (или процесса) с помощью некоторого абстрактного языка (математически), например, в виде графов, уравнений, алгоритмов, математических соответствий и пр.

Предметно-математические модели являются аналоговыми, т.е. при этом для моделирования используется принцип одинакового математического описания процессов, реального и протекающего в модели.

Комбинированные модели представляют собой сочетание математической или предметно-математической и физической модели. Они используются тогда, когда математическое описание одного из элементов исследуемой системы неизвестно или затруднительно, а также по условиям моделирования необходимо ввести в качестве элемента физическую модель (например, тренажер).

Математическое моделирование – это замещение оригинала математической моделью и исследование свойств оригинала на данной модели.

Системой называется объединение нескольких объектов (элементов), взаимосвязанных между собой, образующее определенную целостность.

Элемент - это относительно самостоятельная часть системы, рассматриваемая на данном уровне анализа как единое целое, предназначенная для реализацию некоторой функции.

Система обладает следующими, т.н. «системными» свойствами:

1. структурой, т.е. строго определенным порядком объединения элементов в группы;

2. целенаправленностью или функциональностью, т.е. наличием цели, для которой создана система;

3. эффективностью, способностью достигать цели с наименьшими затратами ресурсов;

4. устойчивостью, способностью сохранять характеристики своих свойств неизменными в определенных пределах при изменении внешних условий.

В настоящее время в технике для исследования работы машинных комплексов и машин используется понятие «человеко-машинной системы» (ЧМС), т.е. смешанной системы, составной частью которой наряду с техническими объектами является человек-оператор [, ]. Кроме того, ЧМС взаимодействует с окружающей средой. Таким образом, для моделирования ПТС необходимо рассматривать систему Человек-Машина-Среда, которая может быть отображена следующим графом (Рис. 1).

Р
ис. 1 Граф системы Человек-Машина-Среда.

Стрелками на графе изображены потоки энергии, вещества и информации, которыми обмениваются элементы системы.

Процессы, протекающие в технических системах, образованы совокупностью простейших операций. Операции – преобразования входных физических величин в выходные в низкоуровневом элементе системы (Рис. 2).

В каждом элементе системы (E_i) происходит преобразование входных воздействий (X_i) в выходные (Y_i), причем выходные воздействия одного элемента могут являться входными следующего. Соединение элементов в структурную схему по характеру передачи воздействий происходит последовательно или параллельно.

Рис. 2 Структурная схема системы.

Подъемно-транспортными системами (ПТС), изучаемыми в рамках данного курса, будем называть системы, включающими в себя человека, окружающую среду и подъемно-транспортные машины (ПТМ).

ПТМ – это машины, предназначенные для перемещения груза на относительно небольшие расстояния без его переработки. ПТМ применяются для облегчения, ускорения, повышения эффективности перегрузочных работ.

ОБЪЕКТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Система ЧМС

Итак, в качестве объекта моделирования выбрана система человек-ПТМ-окружающая среда.

Исследуя взаимосвязи между элементами ПТС (Рис. 3) целесообразно выделить несколько типов связей, которые представляют интерес с точки зрения моделирования ПТС. Это управляющие воздействия, информация, поступающая к оператору, воздействия окружающей среды на ПТМ.

Рис. 3 ПТС.

1 - управляющие воздействия, 2 – воздействия работающей ПТМ на человека-оператора и информация, 3 – воздействия ПТМ на окружающую среду, 4 – внешние воздействия среды на ПТМ, 5 – воздействия окружающей среды на человека-оператора и информация.

Рассмотрим вершины графа по отдельности.

Наиболее сложна, с точки зрения моделирования, задача моделирования деятельности человека-оператора. Изучение роли человека оператора осуществляется методами инженерной психологии. Некоторые вопросы инженерной психологии можно найти в работах [] и []. Для моделирования работы ПТМ необходимо задать управляющие воздействия оператора. Задание управляющих воздействий в модели осуществляется следующими способами:

1. математической обработкой экспериментальных данных (массивы характеристик управляющих воздействий за некоторый промежуток работы ПТМ);

2. включением человека-оператора в модель;

3. математическими зависимостями, выражающими связь между управляющими воздействиями, характеристиками оператора и воздействиями на него, полученные путем обработки статистической информации об эксплуатации данного типа машин.

В окружающей среде можно выделить две составляющих: технологическую и природную.

Технологическая среда представляет собой специально организованные условия, необходимые для выполнения ПТМ своих функций.

В воздействиях природной среды можно выделить энергетические и информационные. В первую группу входят силовые, кинематические, температурные, радиационные и биологические воздействия. Кинематические воздействия – это изменения кинематических связей, накладываемых средой на ПТМ. К температурным относятся воздействия температуры воздуха, к радиационным – действие солнечной радиации, к биологическим – воздействия биосферы на ПТМ: грибковые образования, действия насекомых, животных и птиц. Основной интерес в рамках курса представляют силовые воздействия, среди которых можно выделить следующие типы:

· гравитационные, нагрузки от веса элементов машины и груза;

· ветровые, нагрузки, вызванные давлением ветра на элементы ПТМ;

· нагрузки от снега и обледенения;

· нагрузки, вызванные качкой (для плавучих ПТМ);

· экстремальные, нагрузки, вызванные экстремальными ситуациями: землетрясениями, наводнениями, ударами и т.д.

Информация может поступать непосредственно к оператору (зрительная, акустическая) или, опосредованно, через приборы и датчики ПТМ.

Номенклатура ПТМ весьма разнообразна [, , , , ]. Они подразделяются по способу действия на два больших класса:

- грузоподъемные машины (ГПМ), машины циклического действия, в которых происходит последовательное повторение движений элементов машины для перемещения груза, называемое циклом;

- машины непрерывного транспорта (МНТ), ПТМ, обеспечивающие непрерывное перемещение грузов без остановки машины для их захвата и выгрузки.

Последние могут работать в полуавтоматическом и автоматическом режиме, что значительно упрощает моделирование управляющих воздействий.

По способу создания движущей силы МНТ бывают механическими, установками трубопроводного транспорта и гравитационными – спускными самотечными устройствами.

По типу движения ГПМ подразделяются на три группы:

- перемещающие груз в вертикальном и горизонтальном направлении (краны и перегружатели);

- перемещающие груз в вертикальном или близком к нему направлении (подъемники: лифты и вагоноопрокидыватели);

- перемещающие груз в горизонтальном или близком к нему наклонном направлении (погрузчики и т.д.).

Объект моделирования – ПТМ

ПТМ – система, состоящая из множества элементов. Это множество можно разбить на четыре группы. К ним относятся элементы металлоконструкции, приводы или механизмы, электрооборудование и прочее и вспомогательное оборудование (Рис. 8). В вою очередь, полученные группы содержат подгруппы, состоящие из подгрупп более низкого уровня, и т.д. Степень детализации зависит от целей разработчика.

Рис. 8 Структурная схема ПТМ (мостового крана)

Элементы металлоконструкции ПТМ – это балки, фермы, колонны. Они обладают объемом и массой, которая распределяется по объему элемента по некоторому закону (Рис. 9).

а) стрела портального крана б) мост мостового крана

Рис. 9 Металлоконструкции ПТМ.

Однако чаще всего они рассматриваются как стержневые системы, масса которых может быть как распределена по длине, так и сосредоточена в нескольких точках или точке, как правило, центре масс элемента. При этом инерционными характеристиками элементов модели являются приведенная масса или приведенный момент инерции. Приведение последних производится на основании равенства кинетических энергий реального элемента и элемента с приведенной массой и осуществляется по следующим зависимостям

или , (13)

где m_i и J_i – инерционные характеристики элементов конструкции, и – скорости движения элементов конструкции в поступательном и вращательном движении, соответственно, и - скорости движения элемента с приведенной массой в поступательном и вращательном движении, соответственно.

Также элементы металлоконструкции обладают упругостью, т.е. способностью восстанавливать форму после снятия нагрузки, вызвавшей изменение формы элемента. Реальные элементы металлоконструкции обладают линейной упругостью по осям X, Y, Z и изгибной или крутильной упругостью в плоскостях XOY, XOZ, YOZ. Упругость элементов металлоконструкции характеризуется коэффициентом жесткости, угловым или линейным, в зависимости от вида деформации. Как правило, при моделировании учитывается тот тип упругости элемента, который соответствует наибольшей его деформации. При замене оригинала элементом модели последний характеризуется коэффициентом жесткости, определенным на основании равенства потенциальных энергий реального и моделируемого объектов по зависимостям

или , (14)

где c_i и – жесткостные характеристики элементов конструкции, x_i и – деформации элементов конструкции в поступательном и вращательном движении, соответственно, x_пр и - деформации элемента с приведенным коэффициентом жесткости в поступательном и вращательном движении, соответственно.

При работе ПТМ элементы ее металлоконструкции совершают сложное пространственное движение. Учет упругости элементов кроме переносного и относительного движения элементов конструкции, соответствующих выполнению основных рабочих движений, предполагает рассмотрение упругих колебаний, возникающих в элементах конструкции из-за взаимодействия сил упругости и сил инерции.

Рассмотрим, к примеру, портальный кран (Рис. 10).

Рис. 10 Портальные перегрузочные краны.

Работая, кран совершает следующие движения: поворот, подъем/опускание груза и изменение вылета. Также возможно перемещение крана вдоль штабеля груза по крановым путям. Для увеличения рабочей площади, которую может обработать кран, применяются т.н. стрелы с рабочим изменением вылета. Качание стрелы происходит в интервале от минимального до максимального вылета. При этом обрабатываемая краном площадь увеличивается, но центры тяжести стреловой системы и груза поднимаются на некоторую величину, что требует дополнительных затрат энергии. Уменьшение или исключение этих затрат достигается при помощи уравновешивания веса груза и собственного веса стрелового устройства. Для уравновешивания веса груза используются специальные устройства, называющиеся уравновешенными стрелами. Уравновешивание веса груза состоит в обеспечении близкой к горизонтали траектории перемещения груза при изменении вылета стрелы. Для чего используются четырехзвенные стреловые системы, называемые шарнирно-сочлененные устройства (ШСУ). ШСУ бывают с прямым и профилированным хоботами, с гибкой и жесткой оттяжками. ШСУ с прямым хоботом и жесткой оттяжкой (Рис. 10) представляет собой шарнирный четырехзвенник Чебышева, предназначенный для преобразования вращательного движения входного звена в поступательное выходного. На большей части своей траектории конец выходного звена четырехзвенника перемещается по пологой кривой линии, близкой к горизонтали. Выполнение краном рабочих движений приводит к появлению раскачивания груза на канатах в плоскости вылета и из плоскости вылета стрелы. Если ограничиться плоскостью вылета и не учитывать упругость элементов стреловой системы, ее можно представить следующей расчетной схемой (Рис. 11), где реальные элементы металлоконструкции заменены двухопорными балками с сосредоточенными в центрах тяжести элементов массами.

Рис. 11 Расчетная схема стреловой системы.

На схеме представлены основные элементы стреловой системы: хобот, стрела, оттяжка, противовес, соединенный со стрелой тягой, и груз, подвешенный на канатах. На схеме обозначены: l1 - длина канатной подвески, размеры l2 и l3 - хобота, l4 - стрелы, l5 - оттяжки, l6 - тяги противовеса, l7, l8 и l9 -противовеса, l10 и l11 - положение точки крепления оттяжки, m1, m1, m1, m1 и m1 - массы груза, хобота, стрелы, оттяжки и противовеса, соответственно, l12, l13 и l14 - положения центров масс хобота, оттяжки и стрелы, соответственно. При изменении вылета происходит вращение перечисленных элементов около шарниров, обозначенных буквами O с индексами. Поскольку модель жесткая, т.е. все элементы абсолютно жесткие, то положения всех элементов, а, значит, и их скорости являются функциями вылета (скорости изменения вылета) или угла наклона стрелы (скорости изменения угла наклона стрелы).

Таким образом, при составлении расчетной схемы для жесткой модели стреловой системы нет необходимости рассматривать все элементы ШСУ по отдельности и можно ограничиться двухмассовой расчетной схемой с двумя обобщенными координатами (Рис. 12).

Рис. 12 Расчетная схема стреловой системы

На схеме обозначены следующие обобщенные координаты модели: ag - угол отклонения грузовых канатов от вертикали, as - угол наклона стрелы к горизонтали; приведенные массы: mg - масса груза и грузозахватного устройства, ms - приведенная к точке крепления тяги масса элементов стрелового устройства.

Массу m2 найдем по зависимости (13). Движение масс системы, изображенной на схеме (Рис. 11), является сложным. Для записи выражения для кинетической энергии целесообразно воспользоваться следующим алгоритмом. Сначала определим декартовы координаты масс системы, приняв за начало координат в каждом случае наиболее удобную точку. Затем, дифференцируя по времени полученные координаты, найдем проекции скоростей масс на оси координат и, далее, квадраты абсолютных скоростей масс.

1) Для массы

Для массы

или упрощая

Второе слагаемое выражения характеризует кинетическую энергию массы при качании относительно точки , оставшиеся относительно точки и т.д.

Тогда выражение для кинетической энергии масс системы можно записать в виде

а для приведенной массы

, где . Отсюда найдем приведенную массу.

В тех случаях, когда при моделировании необходимо учесть колебательные процессы, протекающие в элементах металлоконструкции, количество степеней свободы и обобщенных координат, а также дискретных масс существенно увеличивается.

Рис. 13 Виды стержней.

В случаях сложного движения () необходимо учитывать

Воздействия приводов складываются из воздействий двигателей и тормозов механизмов.

При моделировании допускается воздействия тормозов механизмов рассматривать в виде прямоугольных импульсов, т.е. считаем, что момент тормоза прикладывается мгновенно и по величине равен нормативному значению.

Воздействия механизмов задаются с помощью механических характеристик двигателей с учетом передаточного отношения механизма.

Основной характеристикой двигателя является механическая характеристика, функциональная зависимость, выражающая связь между скоростью двигателя и моментом, который он создает.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Моделирование. Определения, виды моделирования.

2. Модель. Определения, виды моделей.

3. Математические модели. Определения, виды математических моделей.

4. Системы, свойства систем, структура системы.

5. Человеко-машинные системы (ЧМС), подъемно-транспортные машины (ПТМ), подъемно-транспортные системы (ПТС).

6. Принципы математического моделирования.

7. Свойства математических моделей.

8. Последовательность этапов математического моделирования.

9. Концептуальная модель (расчетная схема).

10. Среда, как объект моделирования. Виды воздействий среды на ПТМ и человека-оператора (ЧО).

11. Человек-оператор, как объект моделирования. Виды воздействий ЧО на ПТМ и окружающую среду.

12. Способы учета ЧО при выдаче управляющих воздействий.

13. ПТМ, как объект моделирования.

14. Цели моделирования.

15. Этапы составления концептуальной модели.

16. Способы моделирования процесса осуществления управляющих воздействий.

17. Оптимальная стратегия управления. Способы выбора оптимальной стратегии.

18. Случайное событие, случайная величина, характеристики случайной величины.

19. Моделирование силовых воздействий окружающей среды на элементы ПТМ.

20. Моделирование воздействий приводов ПТМ.

21. Структура системы ПТМ.

22. Свойства элементов металлоконструкции ПТМ, учитывающиеся при моделировании.

23. Свойства элементов приводов ПТМ, учитывающиеся при моделировании.

24. Структура привода ПТМ.

25. Особенности различных типов приводов ПТМ.

26. Декомпозиция системы при составлении концептуальной модели.

27. Способы представления элементов металлоконструкции ПТМ при составлении расчетной схемы.

28. Пример составления расчетной схемы для жесткой модели мостовой тележки.

29. Пример составления расчетной схемы для упругой модели мостовой тележки.

30. Способы задания модельного времени.

31. Способы составления моделей и типы моделей в зависимости от вида информации о моделируемом объекте.

32. Регрессионные модели.

33. Планируемый факторный эксперимент (ПФЭ).

34. Факторы, виды факторов, интервалы варьирования факторов.

35. Границы применимости модели.

36. Методы оценки степени влияния количественных факторов на отклик.

37. Методы оценки степени влияния качественных факторов на отклик.

38. Свойства матрицы планирования и определение коэффициентов регрессии.

39. Метод наименьших квадратов.

40. Проверка адекватности модели.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров М.П. Подъемно-транспортные машины. - М.: Высшая школа, 1985. 520 с.

2. Артоболевский И. И. Теория машин и механизмов. - М.: Наука, 1988. 638 с.

3. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. В 2-х т. Т. 1. М.: Наука, 1966. 632 с.

4. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. В 2-х т. Т. 2. М.: Наука, 1966. 664 с.

5. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. - М.: Высшая школа, 1980. 480 с.

6. Брауде В.И., Тер-Мхитаров М.С. Системные методы расчета грузоподъемных машин. - Л.: Машиностроение, 1985. 181 с.

7. Вайнсон А.А. Подъемно - транспортные машины. - М.: Машиностроение, 1989. 431 с.

8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1962. 576 с.

9. Вибрации в технике: Справочник: В 6-ти т. Т. 6 / Под ред. К. В. Фролова. – М.: Машиностроение, 1995. 456 с.

10. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. школа, 1977. 479 с.

11. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1988. 448 с.

12. Головачев П.А., Гладунко Ю.И. Техническая эксплуатация и монтаж подъемно - транспортных машин. - М.: Транспорт, 1985. 304 с.

13. ГОСТ 26387-84 Система " человек-машина". Термины и определения.

14. Гохберг М.М. Металлические конструкции подъемно - транспортных машин. - Л.: Машиностроение, 1976. 450 с.

15. Григорьев Н.И. Нагрузки кранов. - М. - Л.: Машиностроение, 1964. 168 с.

16. Грузоподъемные машины / М.П. Александров, Л.Н. Колобов, Н.А. Лобов и др. - М.: Машиностроение, 1986. 395 с.

17. Гультяев А. К. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие. – СПб.: КОРОНА принт, 1999. – 288 с.

18. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ. - М.: Наука, 1989. 240 с.

19. Игнатьев Н. Б., Ильевский Б. З., Клауз Л. П. Моделирование системы машин. – Л.: Машиностроение, 1986. 423 с.

20. Информационно-управляющие человеко-машинные системы: Исследование, проектирование, испытание: Справочник / А. А. Адаменко, А. Т. Ашеров и др. - М.: Машиностроение, 1993. 494 с.

21. Комаров М. С. Динамика грузоподъемных машин. - М.: Машгиз, 1962. 267 с.

22. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1984. 832 с.

23. Лобов Н. А. Динамика грузоподъемных кранов. - М.: Машиностроение, 1987. 376 с.

24. Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. - М.: Советская энциклопедия, 1988. 847 с.

25. Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия. - М.: Финансы и статистика, 1982. 319 с.

26. Налимов В. В. Теория эксперимента – М.: Наука, 1971. 207 с.

27. Научно-технический прогресс. / Словарь. – М.: Политиздат, 1987. 366 с.

28. Павлов Н. Г. Примеры расчетов кранов. - Л.: Машиностроение, 1976. 320 с.

29. Правила устройства и безопасной эксплуатации грузоподъемных кранов. - СПб.: Издательтво ДЕАН, 2004. - 272 с.

30. Рачков Е. В., Силиков Ю. В. Подъемно - транспортные машины и механизмы. - М.: Транспорт, 1989. 240 с.

31. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир, 1980. 456 с.

32. Справочник по кранам / в 2 т. Т. 1; Под общ. ред. М. М. Гохберга. - Л.: Машиностроение, 1988. 536 с.

33. Справочник по кранам / в 2 т. Т. 2; Под общ. ред. М. М. Гохберга. - Л.: Машиностроение, 1988. 559 с.

34. Шерле З. П. Каракулин Г. Г. Справочник механизатора речного порта. – М.: Транспорт, 1980. 391 с.

35. Тер-Мхитаров М.С. Оператор перегрузочных машин. – Пермь: Кн. изд-во, 1982. – 140 с.

ОММ

Введение

Оглавление | Назад | Далее | Глоссарий понятий

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако, методы моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Количественный аспект анализа экономических явлений и процессов всегда занимал большое место в работах классиков отечественной и зарубежной экономики. Например, еще в 1938 г. французский математик Курно в работе «Исследование математических принципов теории богатства» сформулировал «закон спроса». Ф. Кэнэ создал «экономическую таблицу», являющую собой попытку представить в форме математической модели процесс воспроизводства общественного продукта как единого целого.

Математическое моделирование – это теоретико-экспериментальный метод позновательно-созидательной деятельности, метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов – математических моделей.

Существующие математические методы и модели позволяют решать задачи даже и большей размерности и учитывать большое число показателей и факторов влияния, а время решения задач значительно сокращается с применением компьютера.

Математические моделирование - наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее оптимального управления организационными системами.

Предмет математического моделирования - системы организационного управления или организации, которые состоят из большого числа взаимодействующих между собой подразделений не всегда согласующихся между собой и могут быть противоположны.

Цель математического моделирования - количественное обоснование принимаемых решений по управлению организациями.

Решение, которое оказывается наиболее выгодным для всей организации называется оптимальным, а решение наиболее выгодное одному или нескольким подразделениям будет субоптимальным.

Пример 1.1.1

Рассматривая физическую систему: тело массой m, скатывающееся по наклонной плоскости с ускорением a под воздействием силы F, Ньютон получил соотношение F = mа. Это физико-математическая модель системы, или математическая модель физической системы. При

описании этой системы (построении этой модели) приняты следующие гипотезы:

1. поверхность идеальна (т. е. коэффициент трения равен нулю);

2. тело находится в вакууме (т. е. сопротивление воздуха равно нулю);

3. масса тела неизменна;

4. тело движется с одинаковым постоянным ускорением в любой точке.

Пример 1.1.2

Физиологическая система — система кровообращения человека — подчиняется некоторым законам термодинамики. Описав эту систему на физическом (термодинамическом) языке балансовых законов, получим физическую, термодинамическую модель физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке, например выписать соответствующие термодинамические уравнения, то получим математическую модель системы кровообращения. Эту модель можно назвать физиолого-физико-математической моделью или физико-математической моделью.

Информация — это абстракция.
Модель — это тот объект, та система, которая позволяет облечь эту информацию в конкретное, например компьютерное, представление, содержание.
Моделирование — тот процесс, метод, который позволяет осуществлять перенос информации от реальной системы к модели и наоборот.

Модели по их назначению бывают познавательными, прагматическими и инструментальными.

· Познавательная модель — форма организации и представления знаний, средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.

· Прагматическая модель — средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладная модель.

· Инструментальная модель — средство построения, исследования и/или использования прагматических и/или познавательных моделей. Познавательные модели отражают существующие, а прагматические — хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.

По уровню моделирования модели бывают эмпирическими, теоретическими и смешанными.

· Эмпирическая — на основе эмпирических фактов, зависимостей;

· Теоретическая — на основе математических описаний;

· Смешанная или полуэмпирическая — использующая эмпирические зависимости и математические описания.

Проблема моделирования состоит из трех задач:

1. построения модели (эта задача менее формализуема и конструктивна, в том смысле, что нет алгоритма для построения моделей);

2. исследования модели (эта задача более формализуема, имеются методы исследования различных классов моделей);

3. использования модели (конструктивная и конкретизируемая задача).

Моделирование

— это универсальный метод получения, описания и использования знаний. Оно используется в любой профессиональной деятельности.
В современной науке и технологии математическое моделирование усиливается, актуализируется проблемами, успехами других наук. Математическое моделирование реальных и нелинейных систем живой и неживой природы позволяет перекидывать мостики между нашими знаниями и реальными системами, процессами, в том числе и мыслительными.

Моделирование

- процесс построения, изучения и применения моделей.

Т.е. можно сказать, что

моделировaние

- это изучение объектa путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью и состоит в зaмене экспериментa с оригинaлом экспериментом нa модели.

Приведем наиболее важные типы моделей (моделирования) с краткими определениями, примерами.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в описании модели, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь «фотографию» системы, ее срез.

Пример 1.1.3

Закон Ньютона F = am — это статическая модель движущейся с ускорением а материальной точки массой. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

Модель динамическая, если среди параметров модели есть временной параметр, т. е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Пример 1.1.4

Модель S = gt^z/2 — динамическая модель пути при свободном падении тела. Динамическая модель типа закона Ньютона: F(t) = a(t)m(t). Еще лучшей формой динамической модели Ньютона является: F(t) = s" (t)m(t).

Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Пример 1.1.5

Если рассматривать только t - 0, 1, 2, ..., 10 (с), то модель S₁ = gt²/2, или числовая последовательность S₀ = 0, S = g/2, S₂ = 2g, S₃ = 9g/2, ..., S₁₀= 50g, может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.

Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка.

Пример 1.1.6

Модель S = gt²/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0; 100).

Модель имитационная, если она предназначена для испытания или изучения, проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели.

Пример 1.1.7

Пусть модель экономической системы производства товаров двух видов 1 и 2, в количестве х₁ и х₂ единиц соответственно, со стоимостью единиц товара a₁ и а₂ описана в виде соотношения: а₁х₁ + а₂х₂ = S, где S — общая стоимость произведенной предприятием всей продукции (видов 1 и 2 ). Можно эту модель использовать в качестве имитационной модели, по которой определять (варьировать) общую стоимость S в зависимости от тех или иных значений объемов производимых товаров.

Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная).

Пример 1.1.8

Приведенные выше физические модели — детерминированные. Если в модели S(p) = g(p)t²/2, 0 < t < 100 мы учли бы случайный параметр — порыв ветра с силой р при падении тела, например, так: S = gt²/2, 0 < t < 100, то мы получили бы стохастическую модель (уже не свободного) падения.

Модель теоретико-множественная, если представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.

Пример 1.1.9

Пусть заданы множество X = {Николай, Петр, Николаев, Петров, Елена, Екатерина, Михаил, Татьяна} и отношения: Николай — супруг Елены, Екатерина — супруга Петра, Татьяна — дочь Николая и Елены, Михаил — сын Петра и Екатерины, семьи Николая и Петра дружат друг с другом. Тогда множество X и множество перечисленных отношений Y могут служить теоретико-множественной моделью двух дружественных семей.

Модель логическая, если она представима предикатами, логическими функциями.

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒