Линейные операции над матрицами

МАТРИЦЫ

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрицей размера m на n или m х n матрицей называется прямоугольная таблица   которая обозначается   или . Числа, составляющие эту таблицу, называются ее элементами.

 

Основные понятия и определения

 

1. Элементы составляют i -ю строку матрицы, элементы составляют j -й столбец матрицы. Элемент стоит в i -й строке, j -м столбце.

2. Если все – действительные числа, то матрица называется действительной.

 

3. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой:

.

4. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом:

.

5. Две матрицы называются равными, если они одинаковых размеров и элементы одной матрицы равны соответствующим элементам другой матрицы:

.

6. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Порядком квадратной матрицы называется число ее строк (столбцов).

7. В квадратной матрице различают главную и побочную диагонали.

8. Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

.

9. Диагональной называется матрица, у которой все элементы, находящиеся не на главной диагонали, равны нулю:

.

 

10. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е:

.

11. Матрица вида называется верхней треугольной.

12. Матрица вида называется нижней треугольной.

13. Матрица называется транспонированной матрице .

 

Линейные операции над матрицами

 

1. Сложение:

2. Умножение на число a:

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:   .

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Произведением матрицы на матрицу в указанном порядке называется матрица   каждый из элементов которой определяется по формуле .

Пример.

 

Вычислить , если , .

 

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

 

Определители матриц считаются только для квадратных матриц. Определитель матрицы есть число. Определитель матрицы обозначается ∆ или det A.

1. Определитель матрицы 1-го порядка:

Δ = .

• Δ = .
• Δ = .

 

2. Определитель матрицы 2-го порядка:

Δ = .

• Δ =
• Δ = .

 

3. Определитель матрицы 3-го порядка:

Δ =

 

Определитель 3-го порядка может быть посчитан по:

– правилу треугольников:

– правилу Саррюса:

Пример.

 

Вычислить определитель по:

− правилу треугольников:

 

− правилу Саррюса:

 

 

Свойства определителей

 

1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами со столбцами (не нарушая их порядка).
2. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то его абсолютная величина сохранится, а знак изменится на противоположный.
3. Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то его величина равна нулю.
4. Если все элементы строки (столбца) определителя содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.
5. Если определитель содержит две пропорциональные строки (столбца), то его величина равна нулю.
6. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя прибавить умноженные на одно и то же число элементы другой строки (столбца).

 

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если для матрицы А существует матрица, обозначаемая А - 1, такая что   А× А - 1 = А - 1× А = Е,   то матрица А– 1 называется обратной матрице А.

 

Из определения следует, что А и А - 1 - квадратные матрицы одинакового порядка.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, то она называется вырожденной.

Пусть дана квадратная матрица .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица С, элементами которой являются алгебраические дополнения к элементам матрицы А, причем алгебраические дополнения к строке записаны в столбец:   .

Матрица, обратная матрице А, находится по формуле

 

.

 

Пример.

Найти матрицу, обратную данной.

 

Решение.

• .

Докажем, что матрица невырожденная, для чего найдем определитель:

Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А и составим союзную матрицу С:

 

Запишем союзную матрицу . Тогда обратная матрица имеет вид: .

 

• .

Матрица А невырожденная, так как D = 10 ¹ 0. Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А и составим союзную матрицу С:

Запишем союзную матрицу . Тогда обратная матрица имеет вид

Практика

Решить систему линейных уравнений:

 

1. По формулам Крамера.

2. Методом Гаусса.

3. Матричным методом.

 

 

2.1.		2.16.
2.2.		2.17.
2.3.		2.18.
2.4.		2.19.
2.5.		2.20.
2.6.		2.21.
2.7.		2.22.
2.8.		2.23.
2.9.		2.24.
2.10.		2.25.
2.11.		2.26.
2.12.		2.27.
2.13.		2.28.
2.14.		2.29.
2.15.		2.30.

 

 

МАТРИЦЫ

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрицей размера m на n или m х n матрицей называется прямоугольная таблица   которая обозначается   или . Числа, составляющие эту таблицу, называются ее элементами.

 

Основные понятия и определения

 

1. Элементы составляют i -ю строку матрицы, элементы составляют j -й столбец матрицы. Элемент стоит в i -й строке, j -м столбце.

2. Если все – действительные числа, то матрица называется действительной.

 

3. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой:

.

4. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом:

.

5. Две матрицы называются равными, если они одинаковых размеров и элементы одной матрицы равны соответствующим элементам другой матрицы:

.

6. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Порядком квадратной матрицы называется число ее строк (столбцов).

7. В квадратной матрице различают главную и побочную диагонали.

8. Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

.

9. Диагональной называется матрица, у которой все элементы, находящиеся не на главной диагонали, равны нулю:

.

 

10. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е:

.

11. Матрица вида называется верхней треугольной.

12. Матрица вида называется нижней треугольной.

13. Матрица называется транспонированной матрице .

 

Линейные операции над матрицами

 

1. Сложение:

2. Умножение на число a:

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:   .

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Произведением матрицы на матрицу в указанном порядке называется матрица   каждый из элементов которой определяется по формуле .

Пример.

 

Вычислить , если , .

 

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

 

Определители матриц считаются только для квадратных матриц. Определитель матрицы есть число. Определитель матрицы обозначается ∆ или det A.

1. Определитель матрицы 1-го порядка:

Δ = .

• Δ = .
• Δ = .

 

2. Определитель матрицы 2-го порядка:

Δ = .

• Δ =
• Δ = .

 

3. Определитель матрицы 3-го порядка:

Δ =

 

Определитель 3-го порядка может быть посчитан по:

– правилу треугольников:

– правилу Саррюса:

Пример.

 

Вычислить определитель по:

− правилу треугольников:

 

− правилу Саррюса:

 

 

Свойства определителей

 

1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами со столбцами (не нарушая их порядка).
2. Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то его абсолютная величина сохранится, а знак изменится на противоположный.
3. Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то его величина равна нулю.
4. Если все элементы строки (столбца) определителя содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.
5. Если определитель содержит две пропорциональные строки (столбца), то его величина равна нулю.
6. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя прибавить умноженные на одно и то же число элементы другой строки (столбца).

 

12Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A. определении прав пользователя на операции с файлами и каталогами
2. I. Классификация установок, по Узнадзе.
3. III. Актуализация знаний. Проверка работы над проектом
4. IV. Работа над пройденным материалом.
5. V. Работа над пройденным материалом.
6. VI. Предупредительные надписи
7. VIII. Какую массу бихромата калия надо взять для приготовления 2 л 0,02 н. раствора, если он предназначен для изучения окислительных свойств этого вещества в кислой среде.
8. XX конкурса-фестиваля детского художественного творчества «Лучики надежды – 2017»
9. І Элементы симметрии, операции симметрии и точечные группы
10. А 47. Что из перечисленного стало последствием победы СССР над Японией в 1945 г.?
11. А кто наблюдает над всеми? Кто задает стратегию? Кто создает правила?
12. А потом он обратился к ним с увещанием в связи с тем, что они смеялись, когда кто-нибудь испускал ветры, и сказал: «Почему некоторые из вас смеются над тем, что делают и сами?»