СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛУ)

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида   ,   где ai j, hi (i = 1¸ m, j = 1¸ n) - произвольные действительные числа, ai j – коэффициент при неизвестном хj в i-м уравнении системы, hi – свободный член в этом уравнении.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ	Матрица , полученная из матрицы А приписыванием столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ	Упорядоченная система чисел называется решением системы линейных уравнений, если каждое из уравнений системы обращается в верное равенство после подстановки вместо переменных х1, х2, …, хn соответственно чисел с1, с2, …, сn.

 

Если существует хотя бы одно решение системы, то она называется совместной, в противном случае – несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение; если система имеет более одного решения – неопределенной.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Две системы называются эквивалентными или равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

 

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Определитель   матрицы А системы называется определителем системы. Если определитель системы равен нулю, то система называется вырожденной, если определитель не равен нулю – невырожденной.

 

Формулы Крамера используются при решении невырожденных систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных.

Формулы Крамера имеют вид

 

,

где D - определитель системы, D _j – определитель, полученный из определителя D заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

 

Решение типового примера

 

Решить систему

Решение.

Составим расширенную матрицу системы и убедимся, что данная система невырожденная, для чего найдем определитель системы:

, значит система невырожденная.

Найдем определители

; ;

.

По формулам Крамера найдем решение системы

Ответ: (1; – 1; 2).

 

Решение систем линейных уравнений по методу Гаусса

 

Метод Гаусса используется при решении произвольных систем линейных уравнений: как невырожденных, так и вырожденных; систем, в которых число неизвестных как совпадает, так и не совпадает с числом уравнений.

При решении систем линейных уравнений этим методом используют элементарные преобразования систем линейных уравнений.

 

Элементарные преобразования

Систем линейных уравнений (ЭП СЛУ)

1. Перестановка местами двух уравнений системы.
2. Умножение некоторого уравнения системы на число, отличное от нуля.
3. Прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число.

 

С помощью элементарных преобразований расширенную матрицу системы А^* приводят к виду верхней трапециевидной. Затем записывают по полученной матрице новую систему, эквивалентную данной и находят решение системы.

 

Решение типового примера

 

Решить систему .

Решение.

Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециидальному виду:

.

Восстановим по последней матрице систему (обратный ход метода Гаусса): . Найдем решение новой системы .

Ответ: (1; – 1; 2).

 

Матричный способ решения системы

 

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

 

 

В матричной форме эта система линейных уравнений запишется в виде:

- матричная запись решения системы линейных уравнений.

В матричной форме решаются невырожденные системы линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений.

 

Решение типового примера

 

Решить систему .

Решение.

Составим матрицу системы и убедимся, что система невырожденная, то есть найдем определитель матрицы . Найдем матрицу А^{– 1}, обратную матрице А.

 

. Запишем матричное равенство:

 

.

 

Ответ: (1; –1; 2).

Практика

Решить систему линейных уравнений:

 

1. По формулам Крамера.

2. Методом Гаусса.

3. Матричным методом.

 

 

2.1.		2.16.
2.2.		2.17.
2.3.		2.18.
2.4.		2.19.
2.5.		2.20.
2.6.		2.21.
2.7.		2.22.
2.8.		2.23.
2.9.		2.24.
2.10.		2.25.
2.11.		2.26.
2.12.		2.27.
2.13.		2.28.
2.14.		2.29.
2.15.		2.30.

 

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться:

Популярное:

1. I) Получение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы, по возмущению относительно выходной величины, по задающему воздействию относительно рассогласования .
2. I. РАЗВИТИИ ЛЕКСИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЯЗЫКА У ДЕТЕЙ С ОБЩИМ НЕДОРАЗВИТИЕМ РЕЧИ
3. II. О ФИЛОСОФСКОМ АНАЛИЗЕ СИСТЕМЫ МАКАРЕНКО
4. V) Построение переходного процесса исходной замкнутой системы и определение ее прямых показателей качества
5. А. Разомкнутые системы скалярного частотного управления асинхронными двигателями .
6. АВИАЦИОННЫЕ ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ
7. Автоматизированные информационно управляющие системы сортировочных станций
8. Автоматизированные системы диспетчерского управления
9. Автоматическая телефонная станция квазиэлектронной системы «КВАНТ»
10. Агрегатные комплексы и системы технических средств автоматизации ГСП
11. Алгебраическая сумма всех электрических зарядов любой замкнутой системы остается неизменной (какие бы процессы ни происходили внутри этой системы).
12. Алгоритм упорядочивания системы.