Кинематика, задачи кинематики

Кинематика, задачи кинематики

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами, определяющими это движение.

В ней устанавливаются: 1) классификация движения, 2) основные кинематические величины, характеризующие эти движения, и зависимости между ними (расстояния, скорости, ускорения).

Система отсчета

Непрерывное изменение положения тела А в пространстве с течением времени по отношению к другому телу В называется движением тела А относительно тела В.

С телом, относительно которого будем изучать движение другого тела или точки, свяжем систему координатных осей и назовем ее системой отсчета (движущаяся, условно неподвижная).

Пространство, неизменно связанно с системой отсчета, будем рассматривать как трехмерное, для которого справедлива геометрия Евклида. Время будем считать универсальным, то есть протекающим во всех системах отсчета одинаково. За единицу времени принимается 1 секунда. (Время – скалярная непрерывно изменяющаяся величина).

Кинематика точки.

1.1 Способы задания движения.

Представим (.) М, которая движется в системе отсчета охуz (рис. 1).

Рис.1

При движении она проходит через различные точки пространства. Множество точек пространства, через которые последовательно проходит точка, называется траекторией движущейся точки.

Если траектория (.) прямая линия, движение точки называется прямолинейным, если траектория (.) кривая, то криволинейным.

Траектория – суть непрерывная линия.

Условимся называть (.) пространства системы отсчета охоу, через которую в данный момент проходит точка, положение движущейся точки в этой системе отсчета в данный момент времени.

Задать движение (.) – это значит указать способ, при помощи которого можно определить положение ее в пространстве в любой момент времени.

Существует 3 способа задания движения точки:

Векторный, координатный, естественный.

Рассмотрим эти способы.

А) Векторный способ задания движения (.) состоит в том, что положение движущейся (.) в пространстве в каждый момент времени определяется радиусом-вектором r, проведенным как правило, из начала координат в данную точку (рис. 1).

Этот радиус вектор в общем случае движения (.) изменяется, как по величине, так и по направлению и является функцией времени.

r = r(t) [м] (1.1)

Равенство (1.1) называется уравнением движения (.) в векторном виде.

Функция r(t) предлагается дважды дифференцируема во времени.

Б) Координатный способ задания движения (.) состоит в том, что положение движущейся (.) в пространстве в каждый момент времени определяется ее координатами (рис. 1). Координаты (.) с течением времени меняются, предлагаются дважды дифференцируемые функции времени.

x= х(t)

y=y(t) (1.2.)

z=z(t)

Равенство (1.2) называется уравнением движения (.) в декартовых координатах.

= х+ y+ z

Вспоминая определение траектории (.), заключаем, что уравнения (1.2) представляют собой так же уравнения траекторий (.) в паралитическом виде, в котором параметром является t. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, надо из уравнений (1.2) исключить время t.

Пример. Движение задано уравнениями:

x=аsin kt+d

y=вcos kt+c, где: а, в, с, d-соnst.

Найти уравнение траектории в непараметрическом виде.

Решение.

Замечаем, что движение происходит в плоскости оху

Находим =sin kt ds =dx +dy +dz

=cos kt ds= dt

+ =1 S= dt

Траекторией является эллипс с центром, координаты которого х=-d, у=-с и полуоси а, в.

Замечание. Движение (.)можно задать и в других координатных осях, например полярных, цилиндрических, сферических.

В) Естественный способ задания движения (.) состоит в том, что линия, по которой движется (.) заранее задана, причем ее рассматривают как криволинейную координатную ось, устанавливая на ней начало отсчета и положительное направление на обычной координатной оси. Положение (.) М на этой линии определяется криволинейной координатной,

S= OМ=S(t) (1.3)

Которая предполагается дважды дифференцируемой функции времени t.

Равенство (1, 3) называется уравнением движения (.) в естественном виде или уравнением движения (.) по траектории.

Следует различать понятия пути П, проходимого (.) и криволинейной координатной S. Криволинейная координата указывает, где находится (.) в данный момент времени; путь П- расстояние, проходимое (.) по траектории за определенный промежуток времени. Криволинейная координата м.б. + и -, т.е. является алгебраической величиной. Путь же (.) – неотрицательная величина.

Основными кин. Величинами, характеризующими движение (.), является ее скорость υ и ускорение

Скорость точки.

Движение (.) есть непрерывное изменение положения ее в пространстве с течением времени.

М₀

R₁₂

r₀ r₁ r₂M₂

О V_ср12

Y Рис. 2

Последовательные перемещения (.), изображаемые как направленные отрезки, соединяющие любое ее положение с любым последующим, подчиняются правилам сложения векторов. Следовательно, перемещение (.) является векторной величиной.

При изменении времени t перемещение (.) измеряется по модулю и по направлению. Мерой такого изменения перемещения (.) за каждый конечный промежуток времени является средняя скорость – среднее перемещение (.) за единицу времени, т.е.

= = = = и т. д.

Средняя скорость (.) направлена так же, как перемещение (.) за соответствующий конечный промежуток времени (рис. 2.)

а). При векторном способе задания движения (.) (рис. 3) перемещение (.) из положения, соответствующему любому моменту времени t, за промежуток времени t равно приращению радиуса – вектора, т.е.

= (t+ )- (t)

Средняя скорость (.) на этом перемещении определяется по формуле.

M V рис. 3 =

Or(t) r V_cp

r, t – конечные величины.

Предел средней скорости (.) выражает собой скорость (.) в любой момент времени t и обозначается через υ.

Предел правой части существует, т.к. функция r=r(t) дифференцируема и представляет собой производную от r по t. Следовательно,

= = (1.4.)

Т. о., мерой движения (.) является скорость (.) При векторном способе задания движения (.) она выражается первой производной по времени от радиуса-вектора (.). Скорость (.) в любой момент времени направлена по касательной к траектории (.) (рис. 3.)

б). Определение скорости (.) при координатном способе задания ее движения. При этом способе движения (.) задано уравнениями:

х=х(t), у=у(t), z=z(t) (рис. 4)

Требуется найти скорость (.).

Будем исходить из определения скорости (m) при векторном способе задания движения

Имеем: = = ( х+ у+ z)?, (1.5.)

z V_t

V рис.4

k j z

i o x y

x y

Где: , , - един. векторы коор.осей; x, y, z – координаты движущейся (.).

Проектируем вектора равенства (1.5.) на координатные оси, получим

, , (1.6)

; ; .

Т.е. проекции скорости (.) на Декарт. Координатные оси выражаются производными по времени от соответствующих координат (.)

Зная ортогональные проекции скорости (.), находим модуль скорости

= + + ;

= . (1.7)

Направление скорости м. определить посредством направляющих конусов.

соs( )= соs ( )= ; cos( )= . (1.8)

в). Определение скорости (.) при естественном способе задания движения.

Пусть движение (.) задано естественном способом. (рис. 5.)

r рис. 5

M V_ср.

∆ t

Будем исходить из определения скорости (.) при векторном способе задания ее движения. Введем в качестве промежуточной переменной дуговую координату S

= = * = S ,

где d s – элементы приращения дуговой координаты, соответствующие элементу перемещения d .(.). Вектор d Направлен по касательной к траектории в данной точке.

- единичный вектор касательной, направленный в «+» направление дуговой оси S

Lim

- единичный вектор касательной, направленный в «+» направление дуговой оси S.

Следовательно, =s (1.9.)

Проектируя вектора равенства (1.9.) на касательную к траектории в данной точке, получим

(1.10)

Т.е. проекция скорости (.) на касательную к траектории в данной точке равна производной по времени от дуговой координаты (.)

Модуль скорости (.)

= =s

Естественные оси координаты

Через ., проведем пл. Пк ║ она будет // плоскости, проведенной через и ., если мы их приложим в данной (.).

М1 r

Пк рис. 6

Если М₂ М₁, то Пк будет поворачиваться вокруг r, и займет предельное положение плоскости П.

Это предельное положение плоскости П называется плоскостью привязки траектории или соприкасающейся плоскостью к траектории в данной (.) М,

м t

n рис. 7

Пусть в точке М к траектории проведена соприкасающая плоскость П. Проведем через эту (.) нормальную плоскость N ┴ к r и определяющую

плоскость Т ┴ к плоскостям П и N

Единица вектора касательной - ….

- “ - “ - “ главными нормами - ….

- “ - “ - “ бинормали -

(чтобы получить правую систему координатных осей).

3┴ Оси направленные по касательной, главной нормали, и бинормали называется естественными осями. Естественные оси движутся вмести с (.) по траектории, но всегда взаимно ┴.

Кривизна траектории.

Докажем теорему:

Производная от единичного вектора касательной

По криволинейной координате S равна по модулю кривизне траектории в данной (.) и направлена по главной нормали в сторону вогнутости.

К-кривизна траектории.

ρ – радиус кривизны траектории в данной (.)

Ускорение точки

Скорость в общем случаи изменяется по модулю и по направлению.

Мерой изменения скорости (.) с течением времени является ускорение (.) ( )

А) Векторный способ задания движения

Движение задано

м₁v₁

∆ v

V₁ v_c_р

Найдем приращение скорости

∆ за ∆ t

Если - получим среднее ускорение (.) за этот промежуток.

Q = . (имеет направление ) т.к. в сторону вогнутости кривой

Lim получим

Предельное значение а_ср при t→ 0 так же направлены внутрь вогнутости кривой.

В) Координатный способ задания движения

x=x(t), y=y(t), z=z(t)

a =

v = v_x*i+v_y*y+v_i*k, r = xi+yi+kz

проектируя на координаты оси

а_x = W_x = v_x = x

а_y = W_y = v_y = y

а_z = W_z = v_z = z

a = a_xi+a_yi+a_zk а=а_xi+a_yj+a_zk

проекция ускорения на декартовых координатах оси выражаются первыми производными от соответствующих проекций скорости ее на те же оси или вторыми производными по времени от соответствующих координат (.)

|a| =

Cos (a, i) = a_x/|a|

Cos (a, j) = a_y/|a|

Cos (a, k) = a_z/|a|

c) Естественный способ задания движения.

S = s(t) и траектория

V = v_rt, где v_t = s =

W = = (v_rr) = r + v_r = r + v_r = r + r +

Следовательно

а = r +

a_r = r – касательное ускорение

a_n = - нормальная состояние ускорения.

а = а_r + a_n

- характеризует изменение скорости по величине

- “ – “ - “ изменение скорости по направлению.

Проектируем (**) на естественной оси

W (является алгебраической величиной)

W_н W r (всегда неотрицательная

величина)

т.е. вектор ускорения всегда лежит в соприкасающей плоскости

Классификация движения (.) по ускорениям ее движения

1) (.) движется прямолинейно и равномерно и ее ускорение =0

2) ≠ 0, ≠ 0 происходит изменение направления скорости без изменения модуля.

(.) движение равномерно криволинейно

3) ≠ 0 (.) движение по прямой неравномерно

Если и совпадают, то движение ускоренное

–“ – “ не совпадают, то замедленное

4) ≠ 0, ≠ 0 (.) движется неравномерно и криволинейно.

5) Если (W )-const. – то (.) совершает равнопеременное движение.

W_t = = const

Интегрируя при начальных условиях t=0, υ =υ, S=S

V = v₀ + w_rt

S = s₀ + v₀t + w_R – может иметь + или –

Если проекция укоренения на касит. Равна 0

W_r = =0, то движение называется равномерным

V = v₀ = const

S = S₀ + vt

Кинематика твердого тела

В кинематике, как и в статике, мы будем рассматривать все тела, как абсолютное твердое, т.е. будем считать, что расстояние между двумя (m) тела остаются относительными.

Задачи кинематики твердых тел распадаются на две части:

1). Задание движения и изучения кинематике характеристик движения всего тела в целом;

2). Изучение движения каждой из (.) тела в отдельности.

Поступательное движение

Поступательным движением твердых тел называется такое при котором любая прямая, взятая в этой т. во временя движения остается параллельной своему первоначальному направлению.

Такое движение т. нетрудно представить, если вообразить, что с телом неизменно связана система координатных осей Ах₁y₁z₁оси которой во все время движения остаются прямолинейными осями системы отсчета охyz, относительно которой получается движения тела. Частным примером такого движения является движение спарника АВ при условии, если ОА=О, В

z z

A B

A p B

o x y O O₁

Кинематические свойства поступательного движения тела отражает следующая теорема.

Теорема: При поступательном движении твердых тел все точки движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждый данный момент времени равные скорости и ускорения.

Доказательство:

Пусть тело движется поступательно относительно системы отсчета охyz. Возьмем в теле 2 произвольные (.) А и В, положение которых в любой момент времени определяется радиусами-векторами …. Каждый из них является функцией времени. Положение (.) В относительно тела опредеоим радиусом –вектором ρ = .

Тогда (2.1)

Это справедливо в любой момент времени. При этом p= const (по величине и направлению). Вследствие этого, как видно из равенства (2.1.), траектория точки В получается из траектории (.) А ║ смешением всех (.) на постоянный вектор ρ.

Возьмем производную по времени от левой и правой части равенства (2.1.), получим.

. так как р = const

- скорость (.) В

- скорость (.) А

Следовательно, υ А=υ В (2.2)

Т.е скорости (.) В и А тела в каждый момент времени равны между собой.

Взяв производную от (2.2) по времени найдем

= (2.3)

Т.е ускорение (.) А и В равны между собой.

Из этой теоремы следует, что поступательное движение твердого тела вполне характеризуется какой-нибудь одной из его (.). Поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным.