Линейные цепи периодического несинусоидального тока.

Линейные цепи периодического несинусоидального тока.

Пусть есть такая цепь и в ней действуют несин-е u и i, т.к. цепь линейная в ней можно использовать принцип суперпозиции (наложения). Суть метода: периодическая, но несин-я функция (i, u, e, J) раскладывается в ряд Фурье, т.е. представляется суммой чистых синусоид с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Затем цепь рассчитывается комплексным методом для каждой чистой синусоиды (гармоники). Окончательный результат с помощью принципа суперпозиции получается суммированием результатов расчета для этих чистых синусоид.

Разложение в ряд Фурье.

В дальнейшем периодическую несинусоидальную функцию (i, u, e, J) будем обозначать f(t). Большинство f(t) используемых в электротехнике разлагается в ряд Фурье. Чтобы f(t) раскладывалась, она должна удовлетворять условиям Дирихле:

1. Интервал времени, на котором f(t) определена может быть разбит на конечное число интервалов, на каждом из которых f(t) непрерывна и монотонна.

2. Если есть точки разрыва f(t), то она должна принимать конечные значения слева и справа от точки разрыва, т.е. точка должна быть первого рода.

Пусть f(t) имеет период Т (0-Т), 1и 2 условию Дирихле удовлетворяют, можно разложить:

Первая форма записи тригонометрического ряда Фурье:

a₀ – постоянная составляющая

- основная гармоника

Большинство силовых приборов расчитано для работы на этой гармонике. Она имеет амплитуду а₁ и изменяется с частотой (f=50Гц),

Ѱ ₁ – начальная фаза первой гармоники

– вторая гармоника, изменяющаяся с частотой вдвое больше, чем частота первой гармоники.

Все гармоники, кроме первой (основной), называются высшими гармониками.

n – номер гармоники, причем чем больше n, тем выше частота этой гармоники и, как правило, меньше ее амплитуда.

Поэтому чем выше номер гармоники, тем меньше её действие на цепь. Т.к. высшие гармоники, как правило, носят паразитный характер, в первую очередь стремятся подавить гармоники с малым n (малого порядка).

Вторая форма записи ряда Фурье: в ней используются и синусы и косинусы

Выражения (1) и (2) равнозначны. Чтобы перейти от 1 форме ко 2, рассчитать коэффициенты b_k и c_k, используют формулы (3):

Если f(t) нужно перейти от формы (2) к форме (1), используют формулы (4):

b_k и c_k можем найти аналитически по формулам Эйлера, т.е. когда f(t) задана в виде формулы. Постоянная составляющая определяется интегрирование f(t) на периоде от 0 до Т.

^*Чтобы не брать интегралы можно использовать таблицы в справочнике по высшей математике.

Если f(t) получается экспериментально ( в виде осциллограммы), то можно использовать приближенные формулы, в которых, в отличие от формул Эйлера, интегралы заменяются на суммы.

1. Период Т разбиваем на ряд временных (равных) интервалов Δ t. (в нашем случае их 6).

2. Затем рассчитываем период кривой Т = р Δ t

3. Определяем ординаты граничных точек кривой f_n, n = 1, 2, 3, 4, 5, 6

4. Коэффициенты ряда (2) рассчитываем по формулам:

На практике f(t) может обладать каким –л. видом асимметрии. В этом случае разложение в ряд Фурье упрощается: пропадают некоторые члены в формуле (2)

1. f(t) симметрична относительно оси абсцисс: f(t) = -f(t+T/2) – нечетная функция. В этом случае в (2) пропадает постоянная составляющая а₀ = 0 и все четные гармоники. a₀= 0; b₂_k = 0; c₂_k = 0.

Есть только нечетные гармоники; Этот случай характерен для кривой ЭДС генератора.

2. Симметрия относительно оси ординат f(t) = f(-t). На практике встречается при двух полупериодном выпрямлении. Формула (2) при двух полупериодном выпрямлении будет выглядеть:

3. Симметрия относительно начала координат f(t) = -f(-t), a₀ = 0. Это график нечетной функции, поэтому в формуле (2) не будет cos-x членов, т.е. с₁=с₂=с₃=…= 0

Если периодическая неsin-я функция обладает симметрией типа 1 и 3 или приобретает симметрию такого типа при соответствующем сдвиге по оси t, то f(t) характеризуется тремя коэффициентами:

1. Коэффициент формы K_ф = F/F_ср, F – действующее значение f(t); F_ср – действующее среднее значение f(t) за полупериод.

2. Коэффициент амплитуды K_a = F_m/F, F_m – максимальное значение f(t)

3. Коэффициент искажения K_и = F₁/F, F₁ – действующее значение первой основной гармоники.

Т.к. все остальные гармоники играют паразитную роль, нужно чтобы K_и стремился к 1.

По международным нормам значение Kи не должно быть меньше 0, 995. Если Ки превышает это значение необходимо использовать специальные устройства – фильтры.

Короткое замыкание

1. t=0

2. t≥ 0

3. ток через L

i’=0, т.к. затух под действием R

7. Постоянная интегрирования t < 0

;

8. Формируем решение по п.4

9. Находим U_L

10. Строим зависимости

Короткое замыкание

пп. 1-5 без изменений

6. U’_C; tà ∞ Из- за рассеяния энергии на R ток превратиться в ноль, поэтому U’_C так же будет = 0.

7. Постоянная интегрирования t < 0

U_C(_0) = U = U_C(0); t =0;

8.Формируем решение

9. Находим ток

10. Строим график

Заряд конденсатора на переменном напряжении

пп. 1-5 без изменений

6. Т.к. имеем цепь переменного тока необходимо учитывать полное сопротивление U’_C; tà ∞; Так же появится сдвиг по фазе φ, т.к. цепь активно-емкостная φ < 0 и по величине будет равно:

Тогда напряжение на конденсаторе в новом установившемся режиме будет равно:

+φ т.к. ток, протекающий через RC, опережает приложенное напряжение на φ, а этот ток, проходя С (без R) опережает напряжение на С на угол

7. Находим А?

Рассмотрим случай до коммутации t < 0 (предположим, что С до коммутации был не заряжен) U_C(_0) = 0 = U_C(0); ); t =0;

8.Формируем решение

9. Находим ток i = i'+i'’;

10. Зная время П.П., получим графики тока

Проанализируем формулу, полученную в п.9

, то i'’ равнялось бы нулю => П.П. не будет и наступает сразу установившийся режим, потому что при этом условии U на кондесаторе и энергия равны нулю в момент коммутации.

Плохой случай, когда , т.к. в это время i'’ принимает максималное значение , если параметры цепи выбраны так, что выполняется условие , то амплитуда может принимать большие значения

Переходные процессы в цепи с последовательно соединенными R, L, C.

Уравнение цепи запишется в виде:

Продеффиринцируем уравнение:

Ищем решение в виде:

Запишем уравнение для свободной составляющей:

;

Запишем х.у.

Найдем корни х.у.

Мы нашли свободную составляющую как

Тогда ток можно найти: (*)

А₁, А₂ вычисляются из условий неизменности тока на индуктивности и напряжения на конденсаторе в момент коммутации

Из (*) имеем , t=0

;

Если в цепи есть L и С, то в качестве искомой переменной можно выбрать или ток на катушке или напряжение на конденсаторе. Система уравнений, составленная по II закону Кирхгофа, сводится к дифференциальному уравнению 2-го порядка относительно выбранной искомой переменной. Решение полного диф. уравнения ищется в виде (i_L – искомая переменная):

В отличие от цепи с одним реактивным элементом в цепи с двумя элементами характер П.П. может иметь 3 формы (в зависимости от вида :

1. Апериодический характер – вещественные числа (отрицательные) В этом режиме в цепи большое R, поэтому оно сразу же отбирает большую часть энергии цепи (нагревается).

2. Критический режим-пограничный апериодический режим, т.е. апериодический р. при миним. значении R. ( – вещественные и кратные)

3. Колебательный режим ( – комплексно сопряжененные) возникает когда R предельно мало или вообще отсутствует. Этот режим нежелателен для работы эл.технического устройства, т.к. в этом режиме наблюдаются скачки тока и напряжения, которые могут значительно превышать номинальные значения (на которые рассчитана работа устройства)