Признак скрещивающихся прямых.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

рис. 13

= K K

=> a и b - скрещивающиеся прямые.

АГ.40. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

В координатах

ФМП.3. ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ

функции нескольких переменных - приращение, приобретаемое функцией, когда все аргументы получают (вообще говоря, ненулевые) приращения. Точнее, пусть функция f определена в окрестности точки

n-мерного пространства переменных х ₁, ..., х _п. Приращение

функции f в точке x⁽⁰⁾, где

наз. полным приращением, если оно рассматривается как функция n всевозможных приращений Dx₁, ..., Dx_n аргументов х ₁, ..., х _п, подчиненных только условию, что точка x⁽⁰⁾+Dx принадлежит области определения функции f. Наряду с П. п. функции рассматриваются частные приращения Dx_kf функции f в точке х ⁽⁰⁾ по переменной х _k, т. е. такие приращения Df, для к-рых Dx_уj=0, j=1, 2, ..., k-1, k+1, ..., п, k - фиксировано (k=1, 2, ..., п).

ФМП.4. О: Частным приращением функции z = (х, у) по х называется разность частным приращением по

О: Частной производной по х от функции z = (x, у) называется предел отношения частного приращения к приращению Ах при стремлении последнего к нулю:

Другие обозначения: Аналогично и для перемен-

ной у.

Заметив, что определяется при неизменном у, а — при неизменном х, можно сформулировать правило: частная производная по х от функции z = (х, у) есть обычная производная по х, вычисленная в предположении, что у = const. Аналогично для вычисления частной производной по у надо считать х = const. Таким образом, правила вычисления частных производных те же, что и в случае функции одной переменной.

ФМП.5. Непрерывность функций. Определение непрерывности функции

Функция , называется непрерывной в точке , если выполняется одно из эквивалентных условий:

1) ; (1)

2) для произвольной последовательности (x_n) значений , сходящейся при n → ∞ к точке x₀, соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции сходится при n → ∞ к f(x₀);

3) или f(x) - f(x₀) → 0 при x - x₀ → 0;

4) такое, что или, что то же самое,

f: ]x₀ - δ , x₀ + δ [ → ]f(x₀) - ε , f(x₀) + ε [.

Из определения непрерывности функции f в точке x₀ следует, что

Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a, b[, то функция f называется непрерывной на этом интервале.

ФМП.6. В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:

График функции z = x² + xy + y². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz.

Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y= 1

Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где d_xf — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции f в точке по координате x_k равна производной по направлению , где единица стоит на k-ом месте.

ЛА 76) Сист. ур-ний наз-ся крамеровской, если число уравнений равно числу неизвестных.

ЛА 77-78) Сист. наз-ся совместной, если у нее есть хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

ЛА 79-80) Совместная сист. наз-ся определенной, если у нее только одно решение, и неопределенной в противном случае.

ЛА 81) …определитель крамеровской системы был отличен от нуля

ЛА 169) Для того чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен рангу расширенной матрицы = .

ЛА 170) Если определитель крамеровской системы отличен от нуля, то система определена, и ее решение может быть найдено по формулам

ЛА 171) 1. Найдем решение крамеровской системы уравнений матричным способом; 2.. Запишем систему в матричном виде ; 3.Вычислим определитель системы, используя его свойства: 4. Затем записывает обратную матрицу А-1; 5. Поэтому

ЛА 172) Однородная система линейных уравнений AX = 0. Однородная система всегда совместна, поскольку имеет, по крайней мере, одно решение

ЛА 173) Если хотя бы один из определителей , , не равен нулю, то все решения системы (1) будут определяться по формулам , , , где t - произвольное число. Каждое отдельное решение получается при каком-либо определенном значении t.

ЛА 174) Совокупность решений однород. системы наз-ся фундаментальной системой решений, если: 1) линейно независимы; 2) любое решение системы является линейной комбинацией решений .

АГ118. Общее уравнение плоскости имеет вид…

Уравнение плоскости вида называется общим уравнением плоскости.

АГ119. Если плоскость a описывается уравнением Ax+D=0, то...

ПР 10. Что такое бесконечно малая величина и каковы ее основные свойства?

ПР 11. Какая величина называется бесконечно большой? Какова ее связь

с бесконечно малой?

ПР12.К акое предельное соотношение называется первым замечательны пределом? Под первым замечательным пределом понимается предельное соотношение

ПР 13 Какое предельное соотношение называется вторым замечательным пределом?

ПР 14 Какие пары эквивалентных функций Вы знаете?

ЧР64 Какой ряд называется гармоническим? При каком условии он сходиться?

Ряд вида называется гармоническим. Таким образом, гармонический ряд сходится при и расходится при .

ЧР 65. Чему равна сумма бесконечной убывающей прогрессии?

ЧР66. Какое утверждение понимается под первой теоремой сравнения?

Пусть даны два положительных ряда

Если, хотя бы с некоторого места (скажем, для ), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда или – что то же – из расходимости ряда следует расходимость ряда .

ЧР67. Какое утверждение понимается под второй теоремой сравнения?

Предположим, что . Если существует предел

то при оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

ЧР 45 Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд имеет конечную сумму, то его называют сходящимся.

ЧР 29 Гармонический ряд это ряд вида…. Он сходится, когда

Ряд вида называется гармоническим. Таким образом, гармонический ряд сходится при и расходится при .

АГ 6. Упорядоченная система линейно независимых векторов, лежащих на данной прямой (в данной плоскости, в пространстве), называется базисом на этой прямой (на этой плоскости, в пространстве), если любой вектор, лежащий на данной прямой (в данной плоскости, пространстве) представим в виде линейной комбинации векторов этой линейно независимой системы.

Любая пара неколлинеарных векторов, лежащих в данной плоскости, образует базис на этой плоскости.

АГ 7. Упорядоченная система линейно независимых векторов, лежащих на данной прямой (в данной плоскости, в пространстве), называется базисом на этой прямой (на этой плоскости, в пространстве), если любой вектор, лежащий на данной прямой (в данной плоскости, пространстве) представим в виде линейной комбинации векторов этой линейно независимой системы.

Любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.

АГ 8, Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Для того чтобы найти координаты вектора с заданными началом и концом, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала: если , , то .

АГ 9.а) Построим вектор (вектор, с началом в точке и концом в точке , называется радиус-вектором точки ).

Б)

АГ 10. Нет, т.к. радианная мера угла между двумя векторами всегда заключена между и

АГ 11. Скаляр- это любое действительное число. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними.

АГ 12. мы можем вычислить расстояние между точками, базисные векторы, угол между векторами.

АГ 13. Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор который обладает следующими свойствами:

Его длина равна

Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и

Вектор направлен так, что поворот от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора (в этом случае, говорят, что тройка векторов и – правая).

АГ 14.

АГ 15. Смешанным произведением векторов называется число, определяемое следующим образом: , т.е. векторно перемножаем а и b и полученный вектор скалярно умножаем на вектор с.

АГ 16.а)когда векторы компланарны, то их смешанное произведение =0

В) Если векторы некомпланарны и тройка правая, то смешанное произведение положительно

С) Если векторы некомпланарны и тройка левая, то смешанное произведение отрицательно

АГ 17. Пусть , , .Тогда

т.е. смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, строками которой являются координаты векторов . Знак определителя определяет ориентацию тройки: " +" – правая, " –" – левая ориентация.

АГ 18. 1 Общее уравнение прямой

2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

3 Уравнение прямой в отрезках

4 Нормальное уравнение прямой

5 Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

6 Векторно-параметрическое уравнение прямой

7 Параметрические уравнения прямой

8 Каноническое уравнение прямой

9 Уравнение прямой в полярных координатах

10 Тангенциальное уравнение прямой

АГ 19. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.Прямая линия, пересекающая ось Oy в точке и образующая угол с положительным направлением оси Ox:

Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси Oy.

Уравнение прямой в отрезках

Прямая линия, пересекающая ось Ox в точке и ось Oy в точке :

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

АГ 20. 1 Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве

2 Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

3 Каноническое уравнение прямой в пространстве

4 Общее векторное уравнение прямой в пространстве

АГ 21. Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где — координаты некоторой фиксированной точки M₀, лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

АГ 23. Всякий ненулевой вектор, параллельный прямой d, будем называть направляющим вектором этой прямой.

АГ 24. . Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между любыми направляющими векторами этих прямых.

ФМП 1. Производная по направлению l функции u= f(x, y, z) вычисляется по формуле

∂ u/∂ e (M0) = ∂ u/∂ x(M0) cosα + ∂ u/∂ y(M0) cosβ + ∂ u/∂ z(M0) cosγ

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒