АГ 52.Направляющие косинусы вектора а удовлетворяют условию

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Направление, определяемое радиус-вектором, удобно описывать с помощью, так называемых, направляющих косинусов. Пусть радиус-вектор составляет с осями координат , и углы, соответственно, и (рисунок 8). Тогда его направляющими косинусами будут:

, ,

Рис. 8. Направляющие косинусы.

Отсюда, очевидно, вытекают следующие свойства направляющих косинусов: .

Направляющие косинусы пропорциональны соответствующим координатам:

а в случае, когда вектор нормирован, значения его координат равны соответствующим направляющим косинусам.

АГ 58.Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторыСкалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, то есть когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны).

НФ1.Дайте определение непрерывности функции у=f(х) в точке х_0.

Пусть -предельная точка множества . Говорят, что функция непрерывна в точке , если Функция , непрерывная в каждой точке множества , называется непрерывной на множестве .

НФ2.Когда мы говорим, что в точке х₀функция у=f(х) терпит разрыв

Если она в этой точке либо неопределенна либо определена, но не является непрерывной.

НФ3.Приведите классификацию точек разрыва.

1) точкой устранимого разрыва, если существует , но либо функция в точке не определена, либо (если положить то функция станет непрерывной в точке , т.е. разрыв будет устранен);

2) точкой разрыва I рода, если существуют и конечны и , но

3)точкой разрыва II рода, если она не является точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода.

НФ4.Какими свойствами обладают непрерывные на отрезке функции?

Теорема 1 (Первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке ( ) функция ограничена:  такое, что

Определение 1. Пусть Говорят, что функция принимает в точке наибольшее, или максимальное значение, если

Говорят, что функция принимает в точке наименьшее, или минимальное значение, если

Теорема 2 (Вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная отрезке ( ) функция принимает в некоторых точках отрезка наибольшее и наименьшее значение.

Вторая теорема Вейерштрасса - это теорема существования, и неудивительно поэтому, что оно используется при доказательстве разного рода утверждений о существовании.

Пример 1. Из квадратного листа бумаги со стороной см. будем делать открытые сверху коробки, вырезая для этого по углам листа равные квадраты и сгибая получившуюся крестовину. Докажите, что среди всех таких коробок есть коробка наибольшей вместимости.

Решение. Формализуем данную задачу – переведем ее на язык математики. Коробка наибольшей вместимости - это коробка наибольшего объема. Объем коробки, полученной описанным образом, равен , где –сторона вырезаемого квадрата— положительное число, меньшее . Поэтому надо доказать, что функция рассматриваемая на интервале , принимает в некоторой точке этого интервала наибольшее значение. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция в некоторой точке этого отрезка принимает наибольшее значение. Так как , то , и тем самым При этом для будем иметь , а тогда

т.е. в точке функция принимает наибольшее значение. Следовательно, коробка наибольшей вместимости существует и получается при вырезании по углам листа квадратов со стороной см.

Теорема 3 (Коши о промежуточном значении). Пусть непрерывная на отрезке функция, и – ее наибольшее и наименьшее значения, соответственно. Тогда

т.е. каждое число, заключенное между и есть значение функции в некоторой точке отрезка .

НФ5.Какая теорема обеспечивает непрерывность обратных функций?

Пусть возрастающая или убывающая функция f непрерывна на отрезке [ab], тогда обратная функция f^-1так же непрерывна.

АГ 61. Какими свойствами обладает скалярное произведение геометрических векторов?

1) если неравные нулю векторы и составляют острый угол, то ;

2) если неравные нулю векторы и составляют тупой угол, то ;

3) если , то .

АГ 64. Напишите уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

АГ 65. Если точка лежит на оси ОХ, то ее ордината равна 0

⇐ Предыдущая 1 23