Задача 1. Решение нелинейного уравнения

Введение

Основная задача данных методических указаний – помочь студентам-заочникам в выполнении контрольной и лабораторных работ, а также при подготовке к зачету. В методических указаниях даны пояснения к выполнению лабораторных работ, варианты заданий, общие методологические правила выполнения контрольной работы.

Студентам при выполнении контрольной и лабораторных работ нужно:

· решить нелинейное равнение;

· решить систему линейных алгебраических уравнений;

· вычислить определенный интеграл;

· решить дифференциальное уравнение;

· решить задачу регрессии.

Все необходимые сведения для решения задач в контрольной работе и выполнения лабораторных работ, даны в п. 2, 3 данных указаний.

Задание на контрольную работу

Данная контрольная работа содержит 5 задач. Вариант каждой задачи выбирается в соответствии с личным учебным шифром (номером зачетной книжки).

 

Задача 1. Решение нелинейного уравнения

Решить нелинейное уравнение методом Ньютона с точностью 0, 001 (табл. 1). Построить график функции .

Таблица 1

Вариант	Функция f(x)	Вариант	Функция f(x)
1.	,	6.
2.	,	7.
3.	,	8.
4.		9.
5.		10.

Задача 2. Решение систем линей­ных алгебраических урав­нений

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (табл. 2).

Таблица 2

Вари­ант	Система уравнений	Вари­ант	Система уравнений
1.	2x1 + Зx2 – x3 + x4 = –3 Зx1 – x2 + 2x3 + 4x4 = 8 x1 + x2 + Зx3 – 2x4 = 6 –x1 + 2x2 + Зx3 + 5x4 = 3	2.	x1 + 2x2 – Зx3 + x4 = –9 3x1 – 4x2 +2x3 – 2x4 = 15 2x1 + 2x2 + Зx3 + Зx4 = 0 5x1 – x2 – 2x3 – 5x4 = 12
3.	x1 + 2x2 – Зx3 + 2x4 = 3 2x1 + Зx2 +x3 –x4 = 6 3x1 – x2 – 2x3 – x4 = 9 4x1 + Зx2 – 5x3 – 2x4 = 1	4.	2x1 + 3x2 – x3 + x4 = –4 3x1 – x2 + 2x3 + 4x4 = 9 x1 + x2 + Зx3 – 2x4 = 3 3x1 + 2x2 + x3 + 5x4 = 5
5.	x1 + x2 – x3 + x4 = 3 2x1 – x2 – x3 – x4 = –1 Зx1 + 2x2 – 6x3 + 2x4 = 0 x1 – 2x2 + 4x4 = 2	6.	x1 + 2x2 – x3 + x4 = 1 Зx1 – x2 + 2x3 + x4 = –1 2x1 – 2x2 + 3x3 = 5 2x1 + 3x2 – 2x3 + x4 = –3
7.	x1 – 2x3 + Зx4 = –4 x2 – Зx3 + 4x4 = –5 3x1 + 2x2 –5x4 = 12 4x1 + 3x2 – 5x3 = 5	8.	x1 – 3x2 + 5x3 – 7x4 = 12 3x1 – 5x2 + 7x3 – x4 = 0 5x1 – 7x2 + x3 – 3x4 = 4 7x1 – x2 + 3x3 – 5x4 = 16
9.	2x1 + Зx2 – Зx3 + 4x4 = 7 2x1 + x2 – x3 + 2x4 = 5 6x1 + 2x2 + x3 = 4 2x1 + Зx2 – 5x4 = –11	10.	x1 + x2 – x3 + x4 = –4 2x1 – x2 + Зx3 – 2x4 = 1 x1 – x3 + 2x4 = 6 3x1 – x2 + x3 – x4 = 0

 

 

Задача 3. Вычисление определенных интегралов

Вычислить определенный интеграл методом Симпсона.

Отрезок интегрирования [a, b] разбить на десять частей (табл. 3).

 

Таблица 3

Вариант	Функция f(x)	a	b	Вариант	Функция f(x)	a	b
1.				6.
2.				7.		1, 2	2, 2
3.				8.		0, 5	1, 5
4.				9.
5.				10.

 

Задача 4. Решение дифференциальных уравнений

Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения на отрезке [а, b] с начальным условием и шагом интегрирования h методом Рунге-Кутта (табл. 4). Построить график полученной кривой.

Таблица 4

Вариант	Функция f(x, y)	а	b	y0	h
1.				0, 7	0, 1
2.		2, 6	4, 6	1, 8	0, 2
3.		-1		0, 2	0, 2
4.				1, 2	0, 1
5.			0, 5	0, 3	0, 05
6.				0, 9	0, 1
7.		0, 6	2, 6	3, 4	0, 2
8.		1, 5		2, 1	0, 05
9.		2, 1	3, 1	2, 5	0, 1
10.				1, 7	0, 2

 

 

Задача 5. Задачи регрессии

Методом наименьших квадратов построить линейную функцию для табличных данных (табл. 5). Нарисовать график полученной функции и показать исходные данные.

Таблица 5

Значения x	-4	-3	-2	-1
Вариант	Значения y
1.	-3, 32	-3, 64	-3, 57	3, 54	2, 75	4, 02	5, 24	5, 79	7, 48	13, 49
2.	-3, 51	-1, 68	1, 1	-2, 2	3, 81	4, 79	2, 51	5, 7	8, 84	11, 72
3.	-4, 66	-3, 5	0, 7	-2, 39	-0, 06	2, 47	5, 74	4, 83	6, 18	8, 51
4.	-7, 49	-4, 4	-0, 28	-0, 82	-1, 15	4, 38	7, 26	7, 31	7, 92	9, 6
5.	-3, 25	-2, 07	-2, 23	-1, 24	4, 9	2, 92	8, 25	5, 15	6, 53	11, 23
6.	-5, 35	-1, 5	-0, 86	0, 27	0, 49	3, 63	7, 78	6, 27	8, 33	13, 07
7.	-2, 36	-5, 62	-3, 53	-1, 64	-0, 66	5, 24	7, 89	7, 87	7, 83	10, 96
8.	-5, 44	-1, 57	-0, 23	-0, 46	-0, 29	5, 86	8, 07	5, 01	6, 28	7, 55
9.	-7, 13	-1, 88	-1, 06	-0, 17	2? 65	1, 2	2, 71	6, 19	6, 59	8, 38
10.	-4, 94	-2, 25	0, 67	-1, 57	2, 49	2, 7	6, 26	5, 88	9, 44	10, 1

Численные методы решения задач

Решение нелинейных уравнений

Математические модели реальных объектов, как правило, описываются нелинейными уравнениями. Нахождение корней нелинейных уравнений - одна из древнейших математических проблем, которая не потеряла своей остроты и в наши дни: она часто встречается в самых разнообразных областях науки и техники.

Постановка задачи

Требуется найти такие значения аргумента x, для которых справедливо уравнение

(1)
где функция дифференцируема. При этом уравнение (1) может быть алгебраическим или трансцендентным*.

Корень x уравнения (1) геометрически представляет собой абсциссу точки пересечения (рис. 1а), точки касания (рис. 1б) или другой общей точки (рис. 1в) графика функции и оси х.

 

Рис. 1

 

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни уравнения (1) в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Примером такого решения является нахождение корней квадратного уравнения, известного из школьного курса алгебры.

В дальнейшем будут рассматриваться только уравнения, которые, как правило, не имеют аналитических формул для вычисления корней уравнения. Для них приходится пользоваться итерационными методами нахождения решения, которые состоят из двух этапов:

1. Отыскание приближенного значения корня (отделение корня), т.е. нахождение такого конечного промежутка, внутри которого имеется единственное решение данного уравнения (1). Отделение корней можно осуществить аналитическим (находя критические точки функции) и графическим (путем построения графика функции) способами.

Для отделения корней применяют следующий критерий: если на отрезке [a; b] функция непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то этот отрезок содержит один и только один корень уравнения (1). Достаточным признаком монотонности функции на некотором отрезке является сохранение знака ее производной на этом отрезке (если , то функция возрастает; если , функция убывает).

2. Уточнение приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

В практических задачах решением называют любое значение аргумента x отличающееся по модулю от точного значения корня x не более чем на малую величину e.

В общем случае итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х₀. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х₁, х₂, ..., х_к, ... Если эти значения с ростом k стремятся к истинному значению корня

,
то говорят, что итерационный процесс сходится.

Метод Ньютона

В основе метода Ньютона (метода касательных) лежит разложение функции f(x) в ряд Тейлора:

Члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются, используется соотношение и предполагается, что при . Отсюда получается итерационная формула

, (2)

 

Графическое представление метода показано на рис. 2. В точке (х₀, f(х₀)) проводят касательную к графику функции f(x) и точку пересечения ее с осью х принимают за новое приближение x₁. Для него строят новую касательную, находят точку х₂ и т.д. до тех пор, пока значение не станет достаточно близко к корню x.

Счет прекращается, когда выполняется условие

. (3)

 

Рис. 2

 

Метод Ньютона обладает квадратичной скоростью сходимости для.достаточно гладких функций f(x). Быстрота его сходимости в большой степени зависит от выбора начального приближения х₀. Метод обеспечивает быструю сходимость, если выполняется неравенство

, (4)
поэтому чаще всего в качестве начального приближения выбирают тот конец интервала [а; b], на котором знаки f и f ’’ совпадают ( условие Фурье ).

Достоинством этого метода является его быстрая сходимость, а недостатком то, что помимо надо вычислять и , поэтому метод применим, если вычисление производной f ' не сложнее, чем вычисление функции f.

 

Пример 2.1. Найти корень уравнения

(5)

на отрезке [0; 2] с точностью e = 0, 01 методом Ньютона.

 

 

Решение

Из уравнения (5) имеем . Вычисляя производные, получаем , . Проверим выполнение условия Фурье (4) на границах заданного интервала [0; 2]. Примем , тогда

, .

Таким образом, имеем и условие (4) не выполняется. Принимая х = 2, получим

, .

Условие (4) выполнено, поэтому в качестве , выбираем . Выполним первую итерацию по формуле (2):

.

Проверим выполнение условия (3):

.

Поскольку условие не выполняется, то делаем следующую итерацию:

,
при этом

.

Условие (3) не выполнено, поэтому делаем еще одну итерацию:

,
т.к.

,
то счет прекраща­ется.

Таким образом, нам потребовалось 3 итерации для нахождения корня х = 1, 172 с точностью f(х)=0, 003.

Постановка задачи

В общем случае система линейных алгебраических уравнений
имеет вид

(6)

 

Требуется найти неизвестные , удовлетворяющие системе уравнений (6).

В матричной форме СЛАУ (6) записывается в виде

,
где

 

; - вещественная матрица данной системы (6);

; - вектор неизвестных;

; - вектор свободных членов.

 

Матрица А системы (6) является квадратной. Определитель
матрицы

называется определителем системы.

Необходимым и достаточным условием того, что система (6) имеет единственное решение, является условие, что ее определитель д не равен нулю. Если D = 0, то решений может быть или бесконечное множество, если уравнения системы линейно зависимы, или не существовать ни одного, если уравнения противоречивы.

Эффективность способов решения СЛАУ во многом зависит от структуры и свойств матрицы А: размерности я, обусловленности, симметричности, заполненности (т.е. соотношения между числом нулевых и ненулевых элементов), специфики расположения ненулевых элементов в матрице и др.

Все существующие численные методы решения СЛАУ делятся на прямые и итерационные. Прямые методы дают точное решение задачи за конечное число операций, если все они выполняются без погрешностей округления. Эти методы сравнительно просты и наиболее универсальны, т.е. пригодны для решения широкого класса линейных систем. К прямым методам относятся методы исключения (Гаусса, Гаусса-Жордана и др.), декомпозиции и др. Итерационные методы позволяют находить приближенное решение СЛАУ путем построения последовательности приближений (итераций), начиная с некоторого начального приближения. К этому классу относятся методы простых итераций, Зейделя и множество других. Их достоинством является то, что они обладают свойством самоисправления ошибок в ходе вычислений. Недостатком является то, что они не всегда сходятся. Алгоритмы решения линейных систем с использованием итерационных методов обычно более сложные по сравнению с прямыми методами. Объем вычислений заранее определить трудно. Чаще всего итерационные методы применяются к большим системам уравнений с разреженными или слабозаполненными матрицами.

Методы исключения

Метод исключения Гаусса основан на приведение системы уравнений (6) к треугольному виду и является одним из наиболее часто используемых прямых методов решения СЛАУ. Процесс решения состоит из двух этапов.

1-й этап – прямой ход – система уравнений приводится к треугольному виду. Для этого на первом шаге из всех уравнений кроме первого, исключается неизвестное . На втором шаге из всех уравнений, кроме первого и второго исключается и т.д., пока не исключатся неизвестные . В итоге приходим к новой системе уравнений

 

(7)

2-й этап – обратный ход. Из полученной системы уравнений (7) последовательно, начиная с последнего уравнения, определяются неизвестные .

Если главные коэффициенты а_и в системе (б) близки к нулю, то этот метод становится непригоден для нахождения решения. В этом случае применяют метод Гаусса с выбором главного элемента. Он заключается в том, что при прямом ходе производится выбор наибольшего по модулю (главного) элемента в рассматриваемом столбце и соответствующая перестановка строк. Это исключает деление на ноль при исключении неизвестных и повышает точность вычислений при наличии ошибок округления.

Усовершенствованной разновидностью метода Гаусса является метод Гаусса-Жордана. Если в методе Гаусса преобразования затрагивают только уравнения, стоящие под главной диагональю, то в методе Гаусса-Жордана преобразуются также и уравнения, стоящие над главной диагональю. В результате последовательного исключения неизвестных исходная матрица приводится к диагональному виду.

Достоинством этого метода является облегчение получения решения – не нужен обратный ход. Недостатком является увеличение числа операций по сравнению с классическим методом Гаусса.

Алгоритмы исключения неизвестных зарекомендовали себя на практике как эффективные и надежные методы. Тем не менее, и эти алгоритмы могут не привести к решению, если система уравнений плохо обусловлена. Говорят, что линейная система уравнений (6) является плохо обусловленной, если малые изменения элементов матрицы коэффициентов А или правых частей приводят к большим изменениям в решении . В этом случае ни от какого численного метода нельзя ожидать, что он даст точное решение, а во многих случаях не следует даже и пытаться искать решение.

 

Пример 2.2. Решить методом Гаусса систему уравнений

(8)

Решение

Прямой ход. 1-й шаг.

Разделим первое уравнение системы (8) на 2:

, (9)

умножим уравнение (9) на (–3) и сложим со вторым уравнением системы (8):

.

Умножим уравнение (9) на (–4) и сложим с третьим уравнением системы (8):

.

Вычтем уравнение (9) из четвертого уравнения исходной системы (8):

.

В результате всех преобразований получили новую систему уравнений

(10)

2-й шаг.

Разделим второе уравнение полученной системы (10) на (–5):

. (11)

Умножим уравнение (11) на (–3) и сложим с третьим уравнением системы (10):

.

Умножим уравнение (11) на (–3) и сложим с четвертым уравнением системы (10):

.

В итоге получили систему уравнений

(12)

3-й шаг.

Делим третье уравнение полученной системы (12) на (–2, 9):

. (13)

Умножим уравнение (13) на 7, 4 и сложим с третьим уравнением системы (12):

.

В итоге получили систему уравнений

4-й шаг.

Делим четвертое уравнение полученной системы на 0, 826:

.

В результате всех преобразований получили треугольную систему уравнений

Обратный ход. Из этой системы уравнений последовательно находим

;

;

;

.

Проверка

 

Постановка задачи

Найти значение определенного интеграла

(14)
при условии, что концы отрезка интегрирования а и b конечны, а f(x) является непрерывной, функцией от х на всем интервале a ≤ x ≤ b.

Общий подход к решению данной задачи следующий. Определенный интеграл I представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой f(x), осью х и прямыми х = а и х = b. Разбивая интервал [a, b] на множество меньших интервалов, можно приближенно найти площадь каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и, суммируя площади этих полосок, получить приближенное значение интеграла. При этом можно рассмотреть два способа разбиения исходного отрезка интегрирования:

Разбиение на интервалы производится заранее, они обычно выбираются равными. Кроме того, если вычисление интеграла предполагается производить «вручную», то интервалы выбираются так, чтобы значения х, соответствующие концам каждого интервала, было как можно легче вычислять. К этой категории методов принадлежат методы прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Местоположение и длина интервалов определяются путем анализа: сначала ставится требование достичь наивысшей точности с заданным числом интервалов, а затем в соответствии с этим определяются их границы. Примером такого подхода является метод Гаусса.

Формулы для приближенного вычисления определенного интеграла (14) вида

(15)
называются квадратурными. Постоянные являются коэффициентами ( весами ) квадратуры, – ее узлами, а правая часть равенства (15) – квадратурной суммой. Чем больше значение n, тем точнее вычисляется интеграл. Все методы различаются значениями узлов и весов . Сравнение эффективности различных методов производится по степени полинома, который данным методом интегрируется точно, без ошибки. Чем выше степень полинома, тем выше точность метода.

 

2.3.2. Формула Симпсона

Разобьем отрезок интегрирования на 2n равных частей длиной ; при этом , , , (рис. 3).

Через каждую тройку точек

проведем параболу.

 

В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами. На каждом отрезке заменим площадь под кривой f(x) на площадь такой трапеции и просуммируем их:

 

 

Можно доказать, что для каждой трапеции справедлива формула

Тогда

(16)

Эта формула называется формулой Симпсона. В ней все ординаты с четными номерами (кроме нулевой и последней) имеют коэффициент 2, а с нечетными - 4. Формула (16) точна для полиномов третьего порядка.

Абсолютная погрешность формулы (16) оценивается неравенством

.

 

Пример 2.3. Вычислить определенный интеграл

методом Симпсона. Отрезок интегрирования разбить на 10 частей.

Решение

Разбиваем отрезок интегрирования [а; b] на 10 частей. При этом . Шаг интегрирования . Подынтегральная функция . Узлы интегрирования вычисляют по формуле

, , , .

Для удобства сведем вычисление узлов интегрирования и значений функции в них в таблицу (табл. 6).

 

Таблица 6

Номер узла
		3·1 + ln 1 = 3
	1 + 0, 1 = 1, 1	3·1, 1 + ln 1, 1 = 3, 395
	1, 1 + 0, 1 = 1, 2	3·1, 2 + ln 1, 2 = 3, 782
	1, 2 + 0, 1 = 1, 3	3·1, 3 + ln 1, 3 = 4, 162
	1, 3 + 0, 1 = 1, 4	3·1, 4 + ln 1, 4 = 4, 534
	1, 4 + 0, 1 = 1, 5	3·1, 5 + ln 1, 5 = 4, 905
	1, 5 + 0, 1 = 1, 6	3·1, 6 + ln 1, 6 = 5, 27
	1, 6 + 0, 1 = 1, 7	3·1, 7 + ln 1, 7 = 5, 631
	1, 7 + 0, 1 = 1, 8	3·1, 8 + ln 1, 8 = 5, 988
	1, 8 + 0, 1 = 1, 9	3·1, 9 + ln 1, 9 = 6, 342
	1, 9 + 0, 1 = 2	3·2 + ln 2 = 6, 693

 

По формуле Симпсона (16) имеем

Постановка задачи

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка

(17)

с начальным условием

. (18)

Требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению (17) и начальному условию (18).

Хотя решение некоторых задач Коши может быть найдено аналитически, во многих случаях, в том числе для большинства задач, представляющих практический интерес, такой путь часто оказывается невозможным, например, коэффициенты или функции в дифференциальном уравнении могут содержать нелинейности или задаваться в виде таблиц экспериментальных данных. В этом случае пользуются приближенным методам решения задач Коши.

Выделяют два класса приближенных методов решения задач (17), (18): одношаговые и многошаговые. Первый класс методов требует для нахождения следующего значения неизвестной функции значение только в одной текущей точке , т.е.

,
а второй класс – в нескольких, например,

.

Методы второго класса поэтому не обладают свойством «самостартования», т.е. ими нельзя начать решение задачи Коши, оно всегда начинается одношаговыми методами. К достоинствам многошаговых методов относят в основном меньший объем памяти компьютера, требующейся для их реализации, и возможность теоретической оценки погрешности решения. Представителем класса многошаговых методов являются методы прогноза и коррекции. К классу одношаговых методов относятся методы Эйлера, Рунге-Кута и др. Как и во многих других случаях, эти два класса методов лучше сочетать, учитывая их достоинства и недостатки.

Метод Рунге-Кутта

Идея метода Рунге-Кутта состоит в представлении разности

в виде суммы поправок с коэффициентами :

,
где , , …, . Коэффициенты находятся сравнением разложения и , по степеням h.

В сущности, этот метод объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка (метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера и др.). Наиболее распространенным из них является метод четвертого порядка точности для r = 4, ошибка при этом имеет порядок. Этот метод часто и называют методом Рунге-Кутта. Расчеты в нем проводятся по формулам

, (19)
где

, , (19a)

, .

 

Пример 2.4. Решить уравнение

с начальным условием

на отрезке [1; 3] с шагом .

Решение

Имеем , . Используя формулу (19) для нахождения значений F₁, F₂, F₃, F₄ получим значения . Для удобства сведем все вычисления в таблицу (табл. 7).

 

Таблица 7

	1, 5	1, 995	2, 084	2, 077	2, 19	1, 917
1, 2	1, 917	2, 189	2, 331	2, 326	2, 513	2, 384
1, 4	2, 384	2, 512	2, 754	2, 757	3, 077	2, 938
1, 6	2, 938	3, 078	3, 488	3, 515	4, 046	3, 642
1, 8	3, 642	4, 047	4, 684	4, 748	5, 461	4, 588
	4, 588	5, 458	6, 103	6, 135	6, 491	5, 802
2, 2	5, 802	6, 493	6, 469	6, 471	6, 157	7, 086
2, 4	7, 086	6, 167	5, 816	5, 848	5, 658	8, 258
2, 6	8, 258	5, 656	5, 75	5, 75	6, 165	9, 419
2, 8	9, 419	6, 171	6, 898	6, 967	7, 905	10, 813
	10, 813

Решение

Сведем все вычисления, необходимые для составления
нормальной системы уравнений (21), в таблицу (табл. 9).

 

 

Таблица 9

	–2	0, 5	–1
		1, 5	1, 5
Σ			16, 5

 

Тогда система нормальных уравнений (21) имеет вид

Отсюда

или

; .

Получаем зависимость

y = 0, 425х + 1, 175.

Для сравнения полученной зависимости и исходных данных

можно составить таблицу

x	–2
y	0, 5		1, 5
0, 425x+1, 175	0, 325	1, 175	1, 6	2, 025	2, 875
δ	–0, 175	0, 175	0, 1	0, 025	–0, 125

Таким образом, разность полученных на основе прямой значений и заданных в табл. 8 составляет менее 10 %.

 

 

MathCAD

⇐ Предыдущая1234

Поделиться:

Популярное:

1. III ГЛАВА. ИНТЕРЬЕР И АРХИТЕКТУРНО – ПРОЕКТИРОВОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ШКОЛЫ БУДУЩЕГО
2. Архитектурно - конструктивное решение
3. В задачах (258–266) вычислить, сколько молей веществ, подчеркнутых в уравнениях реакций, прореагировало или образовалось в результате химических превращений, если при этом выделилось 2500 кДж тепла
4. В задачах 392–420 определить электродвижущую силу элементов, написать уравнения реакций, за счет которых возникает разность потенциалов. Составить схемы элементов
5. ВАШЕ РЕШЕНИЕ ЗАНЯТЬСЯ САМОСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕМ: «КАЙЗЕН»
6. Внешние экологические эффекты. Решение а. Пигу
7. ВОПРОС 20 Понятие «управленческое решение» Классификая Управленческих решений
8. г. Крайняя необходимость и её разрешение
9. Глава 3. Решение игр в смешанных стратегиях
10. Глава 5. Те, кто отрицает Воскрешение, и опровержение их доводов
11. Глава шестая. Морган принимает решение захватить Пуэрто-Бельо, собирает флот и овладевает городом с горстью пиратов
12. График успеваемости по курсу «Решение прикладных задач»