Теоремы о разложении вектора

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Любой вектор на плоскости можно разложить в линейную комбинацию двух неколлинеарных векторов и при том только единственным образом

Любой вектор в пространстве можно разложить в линейную комбинацию трех некомпланарных векторов и при том только единственным образом

Где, i, j, k- единичные векторы (орты)

► Координаты вектора – это числа, стоящие перед ортами в разложении вектора по ортам

► Чтобы найти координаты вектора, надо из координат конца вычесть координаты начала

Действия над векторами в координатной форме

1. Чтобы сложить или вычесть два вектора в координатной форме, надо соответствующие координаты сложить или вычесть

2. Чтобы умножить вектор в координатной форме на число, надо каждую координату умножить на это число

3. Векторы равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие координаты

4. Вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны

5. Длина вектора в координатной форме равна квадратному корню из суммы квадратов его координат

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Скалярное произведение двух векторов, заданных в координатной форме равно сумме произведений соответствующих координат

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение длин этих векторов

Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов называется вектор c, который

1. перпендикулярен двум данным

2. образует с ними правую тройку

3. с длиной, равной произведению длин данных векторов на синус угла между ними

Обозначение:

Векторное произведение двух векторов заданных в координатной форме равно определителю третьего порядка, в первой строке которого стоят орты, во второй строке стоят координаты первого вектора, а в третьей строке – координаты второго вектора

Векторный квадрат вектора равен нулю

Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, а половина модуля векторного произведения равна площади треугольника

Cмешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение векторного произведения двух первых векторов на третий вектор

Обозначение:

Свойства смешанного произведения векторов

1. Смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю

2. Смешанное произведение векторов в координатной форме равно определителю третьего порядка, в строках которого записаны координаты соответствующих векторов

3. Модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах

4. Объем тетраэдра равен модулю смешанного произведения векторов деленному на 6

5. Если смешанное произведение векторов положительно, то эти вектора образуют правую тройку. Если смешанное произведение векторов отрицательно, то эти вектора образуют левую тройку

Аналитическая геометрия на плоскости.

— Линия на плоскости – это множество точек, которые обладают некоторым, только им присущим, геометрическим свойством

— Линия на плоскости задается уравнением с двумя координатами

— Уравнением линии в прямоугольной системе координат является уравнение с двумя переменными х и у, которому удовлетворяют координаты каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Простейшие задачи:

— Расстояние между двумя точками

— Деление отрезка в заданном отношении

— Если С – середина отрезка АВ, то ее координаты равны полусумме соответствующих координат концов отрезка

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒