Элементные вектора и матрицы. Элементные вклады в систему МКЭ

Преобразуем интегральное тождество (2.19)

(3.2)

на МКЭ-сетке, заменяя интегралы суммой интегралов по элементам и используя разложения функций по базису (3.1) внутри каждого элемента

(3.3)

Здесь ‑ элементные вектора. Начнем с первого интеграла в (3.2).

(3.4)

Здесь квадратная матрица размерности (число узлов элемента ) называется элементной матрицей масс. Отметим некоторые её свойства. Во-первых, по построению она симметрична. Во-вторых, в общем случае она будет заполненной (примеры будут рассмотрены ниже), но если воспользоваться квадратурной формулой численного интегрирования по узлам вида

то в силу свойства базисных функций получаем диагональную матрицу масс , все диагональные элементы которой равны площади (объему) элемента .

Перейдем к преобразованию интеграла

(3.5)

Здесь квадратная симметричная матрица размерности называется элементной матрицей жесткости.

Интеграл по границе вычисляется следующим образом.

(3.6)

Принципиальное отличие коэффициентов от элементов матрицы масс (3.4) в том, что интегрирование в (3.6) ведется не по площади элемента , а лишь по той части его границы, которая лежит на границе области . При этом из-за свойства среди всех коэффициентов будут отличны от нуля лишь те, для которых одновременно и . Например, для линейного треугольного элемента, показанного на рис. 3.3, элементная матрица будет иметь следующую структуру

(3.7)

Рис. 3.3. К подсчету интеграла по границе

Перейдем к преобразованиям интегралов в правой части интегрального тождества (3.2). В первом из них обозначим , тогда, точно так же, как (3.3) получаем

, (3.8)

где ‑ матрица масс, определенная в (3.4), а вектор называется вектором сил или нагрузок.

Наконец, интеграл по границе вычисляется так:

(3.9)

Для примера на рис. 3.3 вектор равен .

Итак, интегральное тождество (3.2) можно переписать в виде суммы элементных вкладов:

(3.10)

Лекция 4. Расширенные и глобальные вектора и матрицы.
Сборка системы МКЭ

Вектора и матрицы в интегральном тождестве (3.10) определены на каждом конечном элементе и имеют размерности и по числу узлов в элементе. Для произвольного элементного вектора определим расширенный элементный вектор длиной (по числу узлов МКЭ-сетки), у которого отличны от нуля только компонент . Например, для элемента 28 сетки, показанной на рис. 3.2, (это записано в строке 28) таблицы связности. Поэтому компоненты элементного вектора образуют ненулевые компоненты расширенного элементного вектора

Аналогично для произвольной элементной матрицы размерности определим расширенную элементную матрицу размерностью , у которой отличны от нуля только компонентов, равных и расположенных в позициях . Для нашего треугольника это элементы

По существу, расширенные элементные вектора и матрицы получаются из элементных векторов и матриц рассылкой их элементов на нужные позиции в соответствии с глобальной нумерацией узлов элемента, определенной таблицей связности.

Замечательное свойство расширенных векторов и матриц определяется расположением в них нулей и выражается следующими равенствами

Используя эти свойства, можно переписать интегральное тождество (3.10) в терминах расширенных векторов и матриц:

(4.1)

Определим, далее, глобальные вектора и матрицы как сумму расширенных элементных векторов и матриц:

В этих терминах можно переписать равенство (4.1) в виде

Поскольку глобальный вектор в последнем равенстве может выбираться произвольно, то это значит, что выражение в фигурных скобках должно равняться нулю. Так мы приходим к глобальной системе уравнений МКЭ

(4.2)

или

(4.3)

Матрица этой системы складывается из глобальных матриц масс , жесткости и матрицы , порожденной граничными условиями 3-го рода. Каждая из этих матриц, в свою очередь, представляет собой сумму вкладов от соответствующих элементных матриц. Структура правой части уравнения (4.3) аналогична в том смысле, что также представляет собой сумму вкладов от всех элементных векторов. Такая структура системы уравнений МКЭ определяет алгоритм поэлементной сборки ее матрицы и правой части. Вначале все элементы глобальной матрицы и глобального вектора правой части обнуляются, затем в цикле по конечным элементам вычисляются элементные матрицы и вектора и добавляются к соответствующим элементам и . Это соответствие определено в таблице 2, где для каждого элемента указаны глобальные номера его узлов. Непосредственно из алгоритма сборки видно, что матрица будет разреженной: в ее -ую строку, соответствующую -му узлу сетки, очевидно, попадут вклады от элементов, инцидентных данному узлу (список таких элементов содержится в таблице 4). При этом номера столбцов -ой строки, куда попадут эти вклады, совпадает со множеством глобальных номеров узлов инцидентных -му узлу сетки элементов. Эти номера и перечислены в -ой строке таблицы 3. Аналогично производится поэлементная сборка вектора правой части системы уравнений МКЭ.

Итак, чтобы собрать систему уравнений МКЭ нужно

1. Триангулировать область , т.е. построить МКЭ-сетку.

2. Определить базисные функции на каждом конечном элементе.

3. Вычислить элементные вклады с помощью интегралов (3.4), (3.5), (3.6), (3.7), (3.9).

4. Выполнить поэлементную сборку глобальных векторов и матриц.

Проблемы 1 и 4 нами решены, а задачи 2 и 3 решаются с помощью т.н. базисного элемента, на котором легко и однообразно вводятся базисные функции и выполняются операции дифференцирования и интегрирования.

Базисный треугольный конечный элемент
с линейными базисными функциями

Базисный треугольник ‑ это прямоугольный равносторонний треугольник с единичными катетами. Для него вводится специальная система координат , ориентированных по катетам; нумерация его трех вершин ‑ против хода часовой стрелки, см. рис. 4.1.

Рис. 4.1. Базисный треугольник и его отображение на элемент сетки

Базисный треугольник и реальный треугольник МКЭ-сетки можно связать с помощью преобразования координат

(4.4)

Обратное преобразование, очевидно, задается формулой

(4.5)

где якобиан преобразования равен

. (4.6)

Отображение (4.4) – (4.6) задаёт взаимнооднозначное соответствие между произвольной точкой в физической плоскости и точкой внутри базисного элемента . При этом соответствие вершин треугольников выглядит так: .

Операции дифференцирования и интегрирования
на базисном и реальном треугольнике

Пусть на задана функция . Ей соответствует функция , причем соответствие определено формулами (4.4), (4.5). Справедливы формулы

, (4.7)

. (4.8)

В последнем равенстве учтено, что в случае треугольных конечных элементов якобиан преобразования не зависит от координат. С помощью формулы (4.8), в частности можно вычислить интеграл по области:

. (4.9)

Если вместо функции в (4.9) подставить единицу, получим способ вычисления площади области :

. (4.10)

Линейные базисные функции базисного треугольного элемента.

(4.11)

Вторая строчка в определении (4.11) может быть использована в качестве признака принадлежности произвольной точки базисному треугольнику . Произвольная функция со значениями может быть представлена на элементе разложением по базису:

. (4.12)

Градиенты линейных базисных функций (4.11) – это векторы

(4.13)

Обратим внимание, что градиенты линейных базисных функций не зависят от координат.

Коэффициенты элементных матриц выражаются через интегралы от базисных функций и их произведений. Поэтому вычислим следующие интегралы

а также интегралы от базисных функций и их произведений по границе.

Аналогично получаем

Интегралы от произведений.

Аналогично вычисляются интегралы

Оставшиеся интегралы от произведения разных базисных функций равны

Аналогично

Итак,

(4.14)

Теперь, используя разложение (4.12) произвольной функции по базису , легко подсчитать интеграл (4.9) этой функции по области:

(4.15)

Вторая формула (4.14) определяет матрицу масс (3.4):

(4.16)

Используя формулу (4.7), разложение (4.12) и градиенты базисных функций (4.13), выведем формулу дифференцирования произвольной функции .

(4.17)

Вспомним, что согласно (3.5) элементы матрицы жесткости определялись как

Вычислим вначале

Теперь нетрудно подсчитать элементы матрицы жесткости, попарно перемножая скалярно выписанные вектора:

(4.18)

Итак, все элементные матрицы и векторы, необходимые для сборки системы МКЭ, определены. Напомним, что в линейной алгебраической системе уравнений (4.3)

(4.19)

матрица масс собирается из элементных вкладов (4.16), матрица жесткости состоит из элементов (4.18), компоненты матрицы определены в (3.7) интегралами по границе, вектора и состоят из компонент (3.8) и (3.9). Вспомним, как это выглядело для треугольника, у которого узлы 1 и 3 граничные:

(4.20)

(4.21)

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒