Операции сложения и умножения.

Мышление как предмет науки.

Предмет логики – человеческое мышление. Сам термин «мышление» является достаточно широким и не дает возможности определить специфику логики по отношению к другим наукам.

Значение логики состоит в следующем:

1) логика выступает важнейшим средством формирования убеждений (прежде всего научных). Эти убеждения опираются на доказательные процедуры своего представления и обоснования. Именно в этом плане логика применялась даже средневековыми схоластами, пытавшимися придать христианскому вероучению рациональную форму, что послужило формальной предпосылкой возникновения действительной науки, отказавшейся от теологических подходов;

2) формальная логика применяется в науке и технике. При этом техническими приложениями формальной логики являются: исчисление высказываний и исчисление предикатов. Без исчисления предикатов не могли появиться искусственные информационные языки, основа современной компьютерной техники. Традиционная формальная логика остается важнейшим логическим инструментом построения доказательств, обоснований во всех науках;

3) традиционная формальная логика остается важнейшим средством в сфере всех видов образования. Она является основой организации всех видов знания для его подачи в процессе обучения;

4) логика является важнейшим и незаменимым инструментом развития культуры. Без логики не может обойтись никакая культурная деятельность вообще, поскольку в ней присутствуют и играют принципиальную роль рациональные элементы.

Формы мышления.

Различают три основные формы мышления: понятие, суждение и умозаключение.

Понятие — это форма мышления, в которой отражаются общие и притом существенные свойства предметов явлений.

Суждение — это форма мышления, содержащая утверждение или отрицание какого-либо положения относительно предметов, явлений или их свойств. Примерами утвердительного суждения могут быть такие суждения, как «Ученик знает урок» или «Психика есть функция мозга».

Умозаключение — такая форма мышления, в процессе которой человек, сопоставляя и анализируя различные суждения, выводит из них новое суждение. Типичный пример умозаключения — доказательство геометрических теорем.

3. Понятие Форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Например: портфель, трапеция, ураганный ветер, персональный компьютер. Объем понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия.

4. Понятия принято делить на следующие виды:

1) единичные и общие,

2) собирательные и несобирательные,

3) конкретные и абстрактные,

4) положительные и отрицательные,

5) безотносительные и соотносительные.

Понятия делятся на единичные и общие в зависимости от того, мыслится в них один элемент или множество элементов. Понятие, в котором мыслится один элемент, называется единичным (например, «Москва», «Л.Н. Толстой», «Российская Федерация»). Понятие, в котором мыслится множество элементов, называется общим (например, «столица», «писатель», «федерация»).

Понятия делятся на собирательные и несобирательные. Понятия, в которых мыслятся признаки некоторой совокупности элементов, составляющих единое целое, называются собирательными. Например, «коллектив», «полк», «созвездие». Эти понятия отражают множество элементов (членов коллектива, солдат и командиров полка, звезд), однако это множество мыслится как единое целое.

Понятие, в котором мыслятся признаки, относящиеся к каждому его элементу, называется несобирательным. Таковы, например, понятия «звезда», «командир полка», «государство».

Понятия делятся на конкретные и абстрактные в зависимости от того, что они отражают: предмет (класс предметов) или его признак (отношение между предметами).

*Понятие, в котором мыслится предмет или совокупность предметов как нечто самостоятельно существующее, называется конкретным; понятие, в котором мыслится признак предмета или отношение между предметами, называется абстрактным. Так, понятия «книга», «свидетель», «государство» являются конкретными; понятия «белизна», «смелость», «ответственность» — абстрактными

Понятия делятся на положительные и отрицательные в зависимости от того, составляют ли их содержание свойства, присущие предмету, или свойства, отсутствующие у него.

Понятия, содержание которых составляют свойства, присущие предмету, называются положительными. Понятия, в содержании которых указывается на отсутствие у предмета определенных свойств, называются отрицательными. Так, понятия «грамотный», «порядок», «верующий» являются положительными; понятия «неграмотный», «беспорядок», «неверующий» — отрицательными.

Понятия делятся на безотносительные и соотносительные в зависимости от того, мыслятся ли в них предметы, существующие раздельно или в отношении с другими предметами.

Понятия, отражающие предметы, существующие раздельно и мыслящиеся вне их отношения к другим предметам, называются безотносительными. Таковы понятия «студент», «государство», «место преступления» и др. Соотносительные понятия содержат признаки, указывающие на отношение одного понятия к другому понятию. Например: «родители» (по отношению к понятию «дети»)

5. Логические приемы образования понятий.

Абстрагирование — это прием образования понятий, при котором необходимо отвлечься от ряда несущественных признаков предмета, отринуть их и оставить лишь существенные. В процессе абстрагирования значительную роль играет сравнение.

Анализ — это мысленное дробление предмета, процесса или явления на составные части с целью установления взаимодействия этих частей и взаимосвязей между ними, а также выявления происходящих внутри исследуемого объекта процессов.Анализ необходим для получения отражения уже существующего понятия.

Синтез — это мысленная сборка составных частей предмета, явления или процесса воедино. Синтез применяется для создания новых понятий на основе уже существующих, подвергнутых синтезу, или выявления неточностей в понятии, а также внесения в эти понятия изменений.

Сравнение — это мысленное установление сходства или различия предметов по существенным или несущественным признакам.

Обобщение — мысленное объединение группы предметов в новый ряд или добавление одного предмета в уже существующий на основе присущих этим предметам признаков.

Сравнение и обобщение позволяют достичь большей точности в суждениях, отделить одно от другого или, наоборот, объединить несколько предметов в одну группу (класс). Как факультативный признак, способствуют лучшему усвоению информации человеческим мозгом.

6. Логические операции с понятиями — это такие действия, посредством которых из одного, двух или большего числа понятий образуется новое понятие. Иными словами, это действия, позволяющие определенным образом преобразовывать некоторые заданные множества. Основными логическими операциями с понятиями являются: обобщение и ограничение понятий, их определение и деление.

Ограничением называется логическая операция перехода от родовых понятий к видовым путем прибавления к содержанию родового понятия видообразующего признака.

Обобщением называется логическая операция перехода от видового понятия к родовому путем исключения из содержания данного видового понятия его видообразующего признака.

Определение (или дефиниция) понятия есть логическая операция, которая раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.

По способу раскрытия признаков определяемого предмета определения делятся на: явные и неявные. Явными называются определения, в которых указываются признаки, присущие определяемому предмету. Внеявных определениях выявляются связи, в которых находится определяемый предмет с другим предметами.

Виды ответов в логике.

Ответ — новое суждение, уточняющее или дополняющее в соответствии с поставленным вопросом исходное знание.

Среди ответов различают: 1) истинные и ложные; 2) прямые и косвенные; 3) краткие и развернутые; 4) полные и неполные; 5) точные (определенные) и неточные (неопределенные).

1. Истинные и ложные ответы. По семантическому статусу, т.е. по отношению к действительности, ответы могут быть истинными либо ложными. Ответ расценивается как истинный, если выраженное в нем суждение правильно, или адекватно отражает действительность. Ответ расценивается как ложный, если выраженное в нем суждение неверно, или неадекватно отражает положение дел в действительности.

2. Ответы прямые и косвенные. Это два вида ответов, различающихся областью их поиска.

Прямым называется ответ, взятый непосредственно из области поиска ответов, при конструировании которого не прибегают к дополнительным сведениям и рассуждениям.

Косвенным называется ответ, который получают из более широкой области, нежели область поиска ответа, и из которого лишь выводным путем можно получить нужную информацию.

Краткие — это односложные утвердительные или отрицательные ответы: «да» или «нет».

Развернутые — это ответы, в каждом из которых повторяются все элементы вопроса. Полный ответ включает информацию по всем элементам или составным частям вопроса. Неполный ответ включает информацию относительно отдельных элементов или составных частей вопроса. Под точностью и определенностью имеется в виду логическая, т.е. понятийно-структурная характеристика вопроса, т.е: каков вопрос, таков и ответ.

Аналогия

(греч. analogia – «сходство», «соответствие») представляет собой сходство, подобие предметов (явлений) в каких-либо свойствах, признаках, отношениях. Например, химический состав Солнца и Земли сходен. Поэтому когда на Солнце обнаружили еще неизвестный на Земле элемент гелий, то по аналогии сделали вывод: такой элемент есть и на Земле. Умозаключения по аналогии можно разделить на две группы. Первая может быть представлена как аналогия свойств и качеств или аналогия отношений. В первом случае рассматриваются предметы – единичные или классы. Признаками аналогии выступают свойства этих предметов. Вторым видом является аналогия отношений. Это умозаключение, в котором рассматриваются не сами предметы, а их свойства. Вторую группу аналогии можно разделить на два вида – строгую и нестрогую аналогию. Строгая аналогия содержит связь общих признаков с переносимым признаком.

Строгая аналогия находит применение в научных исследованиях, а также в математических доказательствах. На свойствах умозаключения по строгой аналогии основан метод моделирования. Моделирование – это разновидность аналогии, при которой один из аналогичных объектов подвергается исследованию в качестве имитации другого.

Нестрогая аналогия дает не достоверное, а лишь вероятностное заключение.

Закон мышления

Внутренняя, существенная, необходимая связь между мыслями. Наиболее простые и вместе с тем необходимые связи выражаются в основных формально-логических законах: тождества, непротиворечия, исключенного третьего и достаточного основания. Эти законы называются основными, потому что выражают важные свойства правильного мышления: его определенность, непротиворечивость, последовательность и обоснованность.

Закон тождества формулируется следующим образом: всякая мысль тождественна сама себе, а есть а (или а=а), где а обозначает любую мысль. Из сущности этого закона вытекает важное требование: нельзя отождествлять различные мысли, нельзя тождественные мысли принимать за нетождественные.

Требование закона тождества очевидно, однако нередки случаи, когда оно нарушатся.

Закон непротиворечия. Для того, чтобы правильно познать действительность, наши суждения не должны быть противоречивыми. Противоречия делают мышление непоследовательным, бессвязным, они разрушают мысль, затрудняют процесс познания. Требование непротиворечивости мышления выражает формально-логический закон непротиворечия: два противоположных суждения не могут быть одновременно истинными; по крайне мере одно из них необходимо ложно.Закон непротиворечия действует в отношении всех противоположных суждений - и противных (контрарных) и противоречащих (контрадикторных).

Закон исключенного третьего. Закон непротиворечия указывает, что из двух противоположных суждений одно необходимо ложно. Но поскольку он распространяется и на противные, и на противоречащие суждения, вопрос о втором суждении остается открытым: оно может быть как истинным, так и ложным. Отношения между двумя пртиворечащими суждениями выражает закон исключенного третьего: два противоречащих суждения не могут быть одновременно ложными: одно из них необходимо истинно; другое - необходимо ложно; третье суждение исключено.

* Закон достаточного основания. Наши мысли о каком-либо факте, явлении, событии могут быть истинными и ложными. Высказывая истинную мысль, мы должны обосновывать ее истинность, т. е. доказать ее соответствие с действительностью. Требование доказательности мышления, обоснованности суждений выражает закон достаточного основания, который формулируется следующим образом: всякая истинная мысль имеет достаточное основание. Достаточным, т. е. действительным, невымышленным основанием наших мыслей может являться личный опыт, индивидуальная практика. Истинность некоторых суждений подтверждается путем их непосредственного сопоставления с фактами действительности. Но личный опыт ограничен. Поэтому человеку в своей деятельности приходится опираться на опыт других людей.

Язык логики.

Именно искусственный язык успешно используются и логикой для точного теоретического и практического анализа мыслительных структур. Специально созданный для целей логики язык получил название формализованного. Формализованный язык логики существует в двух вариантах:

*язык логики предикатов

*язык логики высказываний.

Структура языка логики предикатов отражает смысловые характеристики естественного языка.

Логику предикатов рассматривают через теорию семантических категории.

Деление языковых выражений на семантические категории, широко используемое в логике, напоминает это грамматическое подразделение и в принципе произошло из него. На этом основании теорию семантических категорий иногда называют " логической грамматикой". Ее задача - предотвращать смешение языковых выражений разных типов, которое ведет к образованию бессмысленных выражений. К семантическим категориям относятся:

1) предложения: повествовательные, побудительные, вопросительные;

2) выражения, играющие определенную роль в составе предложений: дескриптивные и логические термины.

К дескриптивным (описательным) семантическим категориям языка относятся: имена (знаки предметов), nредикаторы (знаки свойств и отношений), функциональные знаки.

1. Имена - это слова или словосочетания, обозначающие какой-либо предмет.

Различают:

*простые имена

*сложные

*единичные

*общее имя

2. Предикаторы - слова и словосочетания, обозначающие свойства предметов или отношения между предметами (например, “порядочный”, “синий”)

Логика высказываний - это логика повествовательных предложений, т. е. прежде всего суждений, позволяющая с помощью искусственного языка выразить их логическую структуру. Формализованный язык логики высказываний состоит из алфавита, т. е. совокупности символов и правил построения формул из этих символов. В основе алфавита языка логики высказываний лежит множество формул, выражающие элементарные высказывания.

Иногда выделяют экспрессивное значение:

· Предметное значение (денотат, десигнат, номинат) — совокупность обозначаемых знаком предметов.

· Смысловое значение (концепт) — это информация о предметах, обозначенных знаком.

· Экспрессивное значение — это информация о состояниях, чувствах, желаниях человека, употребившего данный знак в определенной ситуации.

Комплексное изучение языка осуществляется общей теорией знаковых систем — семиотикой. В этой науке выделяются три раздела: Синтаксис — в нем исследуются отношения между знаками, правила их построения и преобразования; при этом не учитываются смыслы и значения знаков; семантика — исследует отношения знаков к обозначаемым ими предметам, а также смыслы знаков; прагматика — изучает отношение человека к знакам и процесс знакового общения людей.

Логика как наука.

Логика (в переводе др.-греч.) — «наука о рассуждении», «искусство рассуждения» «речь», «рассуждение») — наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка.

Поскольку это знание получено разумом, логика также определяется как наука о правильном мышлении. Поскольку мышление оформляется в языке в виде рассуждения, частным случаем которого являются доказательство и опровержение, логика иногда определяется как наука о способах рассуждения или наука о способах доказательств и опровержений.

Логика как наука изучает способы достижения истины в процессе познания опосредованным путём, не из чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее, поэтому её также можно определить как науку о способах получения выводного знания. Выводное знание, полученное с помощью применения законов логики и методов логического мышления, — цель любого логического действия, нацеленного на достижение истины и применение полученного знания для более глубокого познания явлений и событий окружающего мира.

Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок и получить истинное знание о предмете размышления, чтобы глубже разобраться в нюансах изучаемого предмета мысли и его соотношениях с другими аспектами рассматриваемого явления. Логика служит одним из инструментов почти любой науки.

Гипотеза. Виды. Сущность.

Гипотеза - это вероятностное предположение о причине каких-либо явлений, достоверность которого при современном состоянии производства и науки не может быть проверена и доказана, но которое объясняет данные явления, без него необъяснимые; прием познавательной деятельности.

Виды гипотез.

В зависимости от степени общности научные гипотезы можно разделить на общие, частные, единичные.

Общая гипотеза - это научно обоснованное предположение о причинах, законах и закономерностях природных и общественных явлений, а также закономерностях психической деятельности человека. Общие гипотезы выдвигаются с целью объяснения всего класса описываемых явлений, выведения закономерного характера их взаимосвязей во всякое время и в любом месте. Будучи доказанными, они становятся научными теориями и являются ценным вкладом в развитие научных знаний.

Частная гипотеза - это научно обоснованное предположение о причинах, происхождении и о закономерностях части объектов, выделенных из класса рассматриваемых объектов природы, общественной жизни или психической деятельности человека.

Частные гипотезы находят применение как в естествознании, так и в общественно-исторических науках. Частными гипотезами являются и те предположения, которые применяются в судебно-следственной практике, ибо здесь приходится умозаключать о единичных событиях, поступках людей, отдельных фактах, причинно связанных с преступлением.

Единичная гипотеза - научно обоснованное предположение о причинах, происхождении и закономерностях единичных фактов, конкретных событий или явлений. Врач строит единичные гипотезы в ходе лечения конкретного больного, подбирая для него индивидуально медикаменты и их дозировку.

Рабочая гипотеза - это предположение, выдвигаемое, как правило, на первых этапах исследования. Рабочая гипотеза непосредственно не ставит задачей выяснение действительных причин исследуемых явлений, а служит лишь условным допущением, позволяющим сгруппировать и систематизировать результаты наблюдений в определенную систему и дать согласующееся с наблюдениями описание явлений.

Сокращенный силлогизм.

В умозаключениях выражены все его части – обе посылки и заключение. Однако на практике чаще используются силлогизмы, в которых одна из посылок или заключение явно не выражается, а подразумевается.

Силлогизм, в котором выражены все его части — обе посылки и заключение, называется полным. Однако на практике чаще используются силлогизмы, в которых одна из посылок или заключение явно не выражаются, а подразумеваются.

Силлогизм с пропущенной посылкой или заключением называется сокращенным силлогизмом, или энтимемой.

Энтимема в переводе с греческого буквально означает «в уме».

Использование сокращенных силлогизмов обусловлено тем, что пропущенная посылка или заключение либо содержит известное положение, которое не нуждается в устном или письменном выражении, либо в контексте с выраженными частями умозаключения она подразумевается.

Закон тождества.

Этот закон раскрывает сущность требования об определенности и однозначности наших мыслей. Закон тождества можно сформулировать следующим образом: объем и содержание мысли о каком-либо предмете должны быть строго определены и оставаться постоянными в процессе рассуждения о нем.

Закон тождества принято выражать формулой А = А или А суть А.

В соответствии с законом тождества, рассуждая о чем-либо, мы должны уточнить объем и содержание используемых нами понятий и в процессе рассуждения и вывода строго придерживаться выбранных нами вначале ограничений (параметров), не подменяя в ходе рассуждения их другими. Выполнение этого требования гарантирует нам точность, определенность, недвусмысленность наших рассуждений; создает возможность различать и отождествлять предметы в формальных системах по выражающим их терминам. Сознательное ограничение объема и содержания мыслей о различных предметах позволяет на основе закона тождества производить абстракцию их отождествления. Иначе говоря, закон тождества сводится к принципиальной однозначности понятий, используемых нами на протяжении всего рассуждения и вывода.

Обратим внимание на то, что понятие о тождестве вещей, явлений, процессов, идей и т.д. есть идеализация, которая получается в результате отвлечения от несущественных на данный момент свойств и сторон предмета рассуждения. Для того, чтобы осуществить логическую операцию, мы должны привести суждение к одному из двух логических значений: либо истинно, либо ложно. Это производится при уточнении объема и содержания используемых понятий.

Закон тождества имеет силу только в мыслительном процессе; на материальные отношения предметного мира он не распространяется, т.е. не является абсолютным законом действительности. Поэтому говорить о его соблюдении означает настаивать на дисциплине нашего мышления, т.е. на обязательном характере правильного мышления, без чего невозможно получение истинного знания. Нарушение закона тождества ведет к логической ошибке, которую можно характеризовать как потерю или подмену предмета мысли.

Виды умозаключения.

Все умозаключения принято делить на виды по различным основаниям: по составу, по количеству посылок, по характеру логического следования и степени общности знаний в посылках и заключении.

По составу все умозаключения делятся на простые и сложные. Простыми называются умозаключения, элементы которых не являются умозаключениями. Сложными называют умозаключения, состоящие из двух или более простых умозаключений.

По количеству посылок умозаключения делятся на непосредственные (из одной посылки) и опосредованные (из двух и более посылок).

По характеру логического следования все умозаключения делятся на необходимые (демонстративные) и правдоподобные (недемонстративные, вероятные). Необходимые умозаключения - такие, в которых истинное заключение обязательно следует из истинных посылок (т. е. логическое следование в таких выводах представляет собой логический закон). К необходимым умозаключениям относятся все виды дедуктивных умозаключений и некоторые виды индуктивных («полная индукция»).

Правдоподобные умозаключения - такие, в которых заключение следует из посылок с большей или меньшей степенью вероятности. Например, из посылок: «Студенты первой группы первого курса сдали экзамен по логике», «Студенты второй группы первого курса сдали экзамен по логике» и т. п. следует «Все студенты первого курса сдали экзамен по логике» с большей или меньшей степенью вероятности (что зависит от полноты наших знаний обо всех труппах студентов первого курса). К правдоподобным умозаключениям относятся индуктивные и умозаключения по аналогии.

25. Индуктивное умозаключение (от лат. inductio - наведение) - такое умозаключение, в котором переход от частного знания к общему осуществляется с большей или меньшей степенью правдоподобности (вероятности).

Например:

Кража - уголовное преступление.

Грабеж - уголовное преступление. Разбой — уголовное преступление. Мошенничество - уголовное преступление.

Кража, грабеж, разбой, мошенничество - преступления против собственности.

Следовательно, все преступления против собственности – уголовные преступления.

Поскольку в основу данного заключения положен принцип рассмотрения не всех, а лишь некоторых предметов данного класса, то умозаключение называется неполной индукцией. В полной индукции обобщение происходит на основе знаний всех предметов исследуемого класса.

26. Дедуктивное умозаключение (от лат. deductio - выведение) - такое умозаключение, в котором переход от общего знания к частному является логически необходимым.

Путем дедукции получаются достоверные выводы: если истинны посылки, то будут истинны и заключения.

Пример: Если человек совершил преступление, то он должен быть наказан.

Петров совершил преступление.

Петров должен быть наказан.

Закон противоречия

Закон непротиворечия (закон противоречия) — закон логики, который гласит, что два несовместимых (противоречащих) суждения не могут быть одновременно истинными. По крайней мере, одно из них ложно.

Операции с классами.

При помощи логических операций из двух или нескольких классов могут быть образованы новые классы. К этим операциям относятся: объединение классов, вычитание классов, пересечение классов и образование дополнения к классу.

В операциях с классами приняты следующие обозначения: А, В, С,... — произвольные классы, 1 — универсальный класс, 0 — нулевой

Для осуществления классификации понятий сложных систем прибегают к операции с классами, когда из двух или нескольких классов образуют новые классы. В логической науке существуют следующие типы логических операций с классами.

Во-первых, операция объединения (сложения) классов А В. Она характеризует объединение двух (или нескольких) классов в один класс, состоящий из элементов слагаемых классов. Например, объединяя два класса понятий - " преподаватель" и " социолог", находящихся в отношении подчинения, получаем понятия " преподаватель-социолог" и " преподаватель - несоциолог" - схема 1.Объединяя классы, находящиеся в отношении частичного совпадения: «юрист» (А) и «депутат Государственной Думы» (В), — получим множество, объединяющее юристов-недепутатов (1), юристов-депутатов (2) и депутатов-неюристов (3).

Операция вычитания классов дает класс, состоящий из элементов, исключающих элементы вычитаемых классов. Вычитая, например, элементы класса «следователь» (А) из класса «юрист» (В), получаем класс юристов-неследователей.

Во-вторых, операция пересечения (умножения) классов А В. При проведении такой операции отыскиваются общие элементы для двух или нескольких классов.

В-третьих, образование дополнения (отрицание) А и не - А. Это операция по образованию нового множества путем исключения данного множества из универсального класса, к которому оно принадлежит. Так, исключая множество " студенты-экономисты" (А) из универсального класса понятия " студенты", получаем дополнение (новый класс) (не-А) - " студенты - неэкономисты". Это можно представить на схеме таким образом:

не - А + А } =В

В сумме эти два класса образуют общий класс " студенты" (В). Таким образом, человеческая мысль формируется и развивается с помощью понятий о предметах действительности. Понятие выступает необходимым компонентом любой мысли. Оно неразрывно связано с логическим формированием мысли, которое выражается с помощью такой важной формы, каким является суждение.

Логический квадрат.

Простые суждения делятся на сравнимые и несравнимые.

Сравнимые (идентичные по материалу) суждения имеют одинаковые субъекты и предикаты, но могут отличаться кванторами и связками. Например, суждения: «Все школьники изучают математику», «Некоторые школьники не изучают математику», – являются сравнимыми: у них совпадают субъекты и предикаты, а кванторы и связки различаются. Несравнимые суждения имеют разные субъекты и предикаты. Например, суждения: «Все школьники изучают математику», «Некоторые спортсмены – это олимпийские чемпионы», – являются несравнимыми: субъекты и предикаты у них не совпадают.

Сравнимые суждения бывают, как и понятия, совместимыми и несовместимыми и могут находиться в различных отношениях между собой.

Совместимыми называются суждения, которые могут быть одновременно истинными. Например, суждения: «Некоторые люди – это спортсмены», «Некоторые люди – это не спортсмены», – являются одновременно истинными и представляют собой совместимые суждения.

Несовместимыми называются суждения, которые не могут быть одновременно истинными: истинность одного из них обязательно означает ложность другого. Например, суждения: «Все школьники изучают математику», «Некоторые школьники не изучают математику», – не могут быть одновременно истинными и являются несовместимыми (истинность первого суждения с неизбежностью приводит к ложности второго).

Совместимые суждения могут находиться в следующих отношениях:

1. Равнозначность – это отношение между двумя суждениями, у которых и субъекты, и предикаты, и связки, и кванторы совпадают. Например, суждения: «Москва является древним городом»,

«Столица России является древним городом», – находятся в отношении равнозначности.

2. Подчинение – это отношение между двумя суждениями, у которых предикаты и связки совпадают, а субъекты находятся в отношении вида и рода. Например, суждения: «Все растения являются живыми организмами», «Все цветы (некоторые растения) являются живыми организмами», – находятся в отношении подчинения.

3. Частичное совпадение (субконтрарность) – это отношение между двумя суждениями, у которых субъекты и предикаты совпадают, а связки различаются. Например, суждения: «Некоторые грибы являются съедобными», «Некоторые грибы не являются съедобными», – находятся в отношении частичного совпадения. Необходимо отметить, что в этом отношении находятся только частные суждения – частноутвердительные (I) и частноотрицательные (O).

Несовместимые суждения могут находиться в следующих отношениях.

1. Противоположность (контрарность) – это отношение между двумя суждениями, у которых субъекты и предикаты совпадают, а связки различаются. Например, суждения: «Все люди являются правдивыми», «Все люди не являются правдивыми», – находятся в отношении противоположности. В этом отношении могут быть только общие суждения – общеутвердительные (A) и общеотрицательные (E). Важным признаком противоположных суждений является то, что они не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Так, два приведённых противоположных суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными: неправда, что все люди являются правдивыми, но также неправда, что все люди не являются правдивыми.

Противоположные суждения могут быть одновременно ложными, потому что между ними, обозначающими какие-то крайние варианты, всегда есть третий, средний, промежуточный вариант. Если этот средний вариант будет истинным, то два крайних окажутся ложными. Между противоположными (крайними) суждениями: «Все люди являются правдивыми», «Все люди не являются правдивыми», – есть третий, средний вариант: «Некоторые люди являются правдивыми, а некоторые не являются таковыми», – который, будучи истинным суждением, обусловливает одновременную ложность двух крайних, противоположных суждений.

2. Противоречие (контрадикторность) – это отношение между двумя суждениями, у которых предикаты совпадают, связки различны, а субъекты отличаются своими объёмами, т. е. находятся в отношении подчинения (вида и рода). Например, суждения: «Все люди являются правдивыми», «Некоторые люди не являются правдивыми», – находятся в отношении противоречия. Важным признаком противоречащих суждений, в отличие от противоположных, является то, что между ними не может быть третьего, среднего, промежуточного варианта. В силу этого два противоречащих суждения не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными: истинность одного из них обязательно означает ложность другого, и наоборот – ложность одного обусловливает истинность другого. К противоположным и противоречащим суждениям мы ещё вернёмся, когда речь пойдёт о логических законах противоречия и исключённого третьего.

Рассмотренные отношения между простыми сравнимыми суждениями изображаются схематически с помощью логического квадрата (рис. 32), который был разработан ещё средневековыми логиками:

Вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и диагонали – отношения между ними. Так, суждения вида A и вида I, а также суждения вида E и вида O находятся в отношении подчинения. Суждения вида A и вида E находятся в отношении противоположности, а суждения вида I и вида O – частичного совпадения. Суждения вида A и вида O, а также суждения вида E и вида I находятся в отношении противоречия. Неудивительно, что логический квадрат не изображает отношение равнозначности, потому что в этом отношении находятся одинаковые по виду суждения, т. е. равнозначность – это отношение между суждениями A и A, I и I, E и E, O и O. Чтобы установить отношение между двумя суждениями, достаточно определить, к какому виду относится каждое из них. Например, надо выяснить, в каком отношении находятся суждения: «Все люди изучали логику», «Некоторые люди не изучали логику». Видя, что первое суждение является общеутвердительным (A), а второе частноотрицательным (O), мы без труда устанавливаем отношение между ними с помощью логического квадрата – противоречие. Суждения: «Все люди изучали логику (A)», «Некоторые люди изучали логику (I)», находятся в отношении подчинения, а суждения: «Все люди изучали логику (A)», «Все люди не изучали логику (E)», – находятся в отношении противоположности.

12 3 4 5 6 Следующая ⇒