Базисные функции с конечным носителем

М К Э

Лекция 1. Метод Галёркина

Об ортогональности функций

Пусть ‑ область изменения , а ‑ функции, определенные в . Через обозначим класс этих функций.

а) Если . Обозначение: .

б) Пусть ‑ полная в система базисных функций. Тогда любая функция представима в виде разложения по базису

где коэффициенты определяются однозначно. Базисные функции линейно независимы, т.е. из равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Но тогда и . Итак, если функция ортогональна системе базисных функций, то она тождественно равна нулю.

Метод взвешенных невязок

Рассмотрим уравнение

. (1.1)

Пусть ‑ приближение к решению уравнения (1). Обозначим через

(1.2)

невязку уравнения (1) на этом приближенном решении. Пусть, далее, ‑ система базисных функций. Тогда можно записать

Чтобы найти коэффициенты , потребуем, чтобы невязка была ортогональна некоторой системе весовых функций , т.е.

(1.3)

Метод Галеркина

Галеркин использовал базисные функции вместо весовых, что приводит к следующей системе линейных уравнений относительно искомых коэффициентов разложения

или

(1.4)

Замечание. В конечномерном пространстве , и система уравнений (4) становится конечной.

Пример применения метода Галеркина.

Решим задачу

(1.5)

Точное решение этой задачи очевидно: . Выберем систему базисных функций

(1.6)

и представим решение в виде разложения по базису,

. (1.7)

В разложении (7) искомыми являются коэффициенты . Полагая , находим . Пусть , тогда осталось найти . Подставим (1.7) в (1.5) и вычислим невязку

Потребуем, чтобы невязка была ортогональна базисным функциям: . Получим систему уравнений

Вычислим интегралы и получим

Решение этой системы таково: , а приближенное решение (7) задачи (5) есть парабола

График этой функции в сравнении с точным решением показан на рисунке

Рис. 1.1. Точное и приближенное решение задачи (1.5) методом Галеркина при N=2.

Упражнение 1. Решить задачу (1.5) при N=3, сравнить с решением для N=2.

Лекция 3. Система уравнений МКЭ

Сетка МКЭ

Покроем область сеткой конечных элементов , , так чтобы .

Тогда . Звёздочка означает, что при интегрировании по границе в сумму входят лишь те конечные элементы , границы которых хотя частично лежат на границе области .

Рассмотрим отдельный конечный элемент. Например, это многоугольник. Пусть он имеет узлов. Тогда можно ввести базисные функции этого элемента . Эти функции линейно независимы и нормированы так, что . Произвольная функция на элементе может быть представлена разложением по базису

(3.1)

Индекс обозначает принадлежность к -му элементу. В дальнейшем, если это не приводит к недоразумениям, индекс часто будем опускать. Индекс используется для локальной нумерации узлов конечного элемента. Следует отметить, что локальные узлы элемента могут совпадать с вершинами многоугольника , а могут и не совпадать с ними, как показано на рис. 3.1. Наряду с локальной вводят сквозную глобальную нумерацию узлов. Соответствие локальных и глобальных номеров, их координаты, а также связность (т.е. указание, какие узлы образуют элемент) задаётся с помощью двух основных таблиц, которые представляют МКЭ-сетку.

Рис. 3.1. Трехузловой, шестиузловой и десятиузловой
треугольные конечные элементы

Таблица 1. Узлы

№	x	y	b	z

i
N

Поле (bound) используется, чтобы отличить внутренние узлы ( ) от граничных ( ). Признак позволяет в программе, использующей эту сетку, задавать нужное граничное условие; например, если , ‑ то это условие Дирихле, если , ‑ то ставится условие Неймана, и т.д. на разных участках границы . Поле (zone) используется, чтобы задавать различные функции для коэффициентов решаемой задачи; например, коэффициент теплопроводности в композитных материалах: ‑ сталь, ‑ алюминий и т.д.

Таблица 1 не позволяет нарисовать МКЭ-сетку, а только узлы. Это значит, что требуется еще одна таблица элементов, или таблица связности, в которой указывались бы связи узлов ребрами и то, какие узлы образуют элемент.

Таблица 2. Элементы

№	n₁	n₂	n₃	…	n_m	z

j
M

Строка таблицы элементов показывает, что конечный элемент ‑ это треугольник с вершинами в узлах 213, 45 и 41246 и расположенный в зоне 3. Таким образом, эта таблица указывает соответствие локальных и глобальных номеров узлов. При этом локальный порядок нумерации определен заранее, например как показано на рис. 3.1. Принято, чтобы «основные» узлы элемента, т.е. узлы, совпадающие с вершинами многоугольника, нумеровались против хода часовой стрелки.

С помощью двух таблиц – узлов и элементов – легко нарисовать МКЭ-сетку. Для этого в цикле рисуем каждый элемент. Конечный элемент рисуется так: в строке таблицы 2 последовательно берутся глобальные номера , для каждого из них в строках таблицы 1 берутся координаты и узлы соединяются ребрами в порядке . Таким образом, таблицы узлов и элементов однозначно определяют МКЭ-сетку.

Замечание. На практике наряду с этими таблицами удобно пользоваться таблицами инцидентности (или таблицами соседей). Так, для фрагмента сетки, показанной на рис. 3.2 таблицы 3, 4 инцидентных узлов и элементов выглядят так (заполнены только 1-я и 19-я строки)

Рис. 3.2. Фрагмент МКЭ-сетки

Таблица 3. Инцидентные узлы

№	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	…	e_p


N

Таблица 4. Инцидентные элементы

№	k₁	k₂	k₃	k₄	k₅	k₆	…	k_z


N

Билинейный элемент

Пусть сетка состоит из четырехугольников, см. рис. 1.

Рис. 1 Базисный квадрат и четырехугольный элемент сетки

Введем базисный квадрат и определим преобразование актуальных координат в локальные :

(1)

На базисном квадрате введем базисные функции , и выразим через них преобразование координат :

(2)

Функции удобно строить с помощью интерполянтов Лагранжа

, (**)

а именно

(3)

Дифференцирование

(4)

Интегрирование

(5)

Вычислим элементы матрицы Якоби с помощью формул (2) – (4).

(6)

Теперь можно подсчитать градиент (4) функции , предварительно разложив по базизу в , а именно, записав

. (7)

Сюда входят градиенты базисных функций и вычислим градиенты . Чтобы вычислить их, подставим (**) в (6). Получим

(8)

Итак, (7) + (8) определяют операцию дифференцирования. А подстановка (8) в (2) и затем в (1) позволяет найти все элементы матрицы Якоби. Например,

Точно также найдем

(9)

Лекция 5. Введение в М К О

Основы алгоритма

Требуется решить задачу в области , где ‑ дифференциальный оператор, ‑ заданная функция.

Примеры.

1) Стационарное уравнение теплопроводности

(5.1)

2) Нестационарное уравнение теплопроводности. Полудискретизованная неявная схема по времени с шагом

(5.2)

Можно и умножить все на и разделить на .

3) Конвективная теплопроводность, схема явная по конвекции

(5.3)

Как решать? МКО: покрыть непересекающимися конечными объёмами, ‑ конечный объем.

Примеры.

1) 1D.

2) 2D cтруктурированная

3) 2D неструктурированная

Интегрируем уравнение (5.3) по с границей

(5.4)

Здесь ‑ внешняя нормаль к границе .

Консервативность МКО.

Если сложить все уравнение (5.4), то интегралы по всем внутренним границам КО взаимно уничтожатся, т.к. эти границы попарно-смежные, и нормали у пар направлены противоположно. Останутся лишь интегралы по внешним участкам границы . Будем иметь

Окончательно имеем закон сохранения энергии

Вернемся к системе уравнений (5.4), чтобы получить из него СЛАУ относительно узловых значений. Для этого необходима какая-то аппроксимация при вычислении интегралов в (5.4). Обычно, когда с каждым КО связан один узел , полагают

где ‑ объем элемента . Так вычисляются все интегралы по КО от функций. Сложнее дело обстоит с вычислением потоков и через границу, т.е. выражение этих потоков через узловые значения . Этим и различаются одни схемы МКО от других. Важно соблюдение следующего правила: для каждой пары смежных внутренних границ КО потоки имеют одно значение, но различаются знаком (именно из этого следует консервативность всей схемы).

М К Э

Лекция 1. Метод Галёркина

Об ортогональности функций

Пусть ‑ область изменения , а ‑ функции, определенные в . Через обозначим класс этих функций.

а) Если . Обозначение: .

б) Пусть ‑ полная в система базисных функций. Тогда любая функция представима в виде разложения по базису

Метод взвешенных невязок

Рассмотрим уравнение

. (1.1)

Пусть ‑ приближение к решению уравнения (1). Обозначим через

(1.2)

(1.3)

Метод Галеркина

или

(1.4)

Замечание. В конечномерном пространстве , и система уравнений (4) становится конечной.

Пример применения метода Галеркина.

Решим задачу

(1.5)

Точное решение этой задачи очевидно: . Выберем систему базисных функций

(1.6)

и представим решение в виде разложения по базису,

. (1.7)

Потребуем, чтобы невязка была ортогональна базисным функциям: . Получим систему уравнений

Вычислим интегралы и получим

Решение этой системы таково: , а приближенное решение (7) задачи (5) есть парабола

График этой функции в сравнении с точным решением показан на рисунке

Рис. 1.1. Точное и приближенное решение задачи (1.5) методом Галеркина при N=2.

Упражнение 1. Решить задачу (1.5) при N=3, сравнить с решением для N=2.

Базисные функции с конечным носителем

До сих пор мы рассматривали базисные функции, определенные всюду в . Часто такой выбор неудобен; например при выборе при большом получаются полиномы высокого порядка, что затрудняет вычисления. В МКЭ обычно применяют базисные функции с конечным носителем, который связан с триангуляцией области, т.е. с ее сеточным разбиением на конечные элементы. Рассмотрим простейший пример равномерной сетки на отрезке с узлами Для каждого узла определим т.н. пирамидальную базисную функцию

(1.8)

Рис. 1.2. Пирамидальные базисные функции

Заметим, что

(1.9)

Поэтому, во-первых, такая система базисных функций линейно-независима, а во-вторых, коэффициенты разложения (1.7) любой функции по этому базису будут равны значениям функции в узлах сетки, .

Лекция 2. Слабая (обобщенная) форма постановки краевых задач
для дифференциальных уравнений

Пусть ‑ дифференциальный оператор, и требуется решить задачу . Умножим это уравнение на произвольную пробную функцию и проинтегрируем по области . Получим

(2.1)

Это уравнение должно выполняться . Оно называется слабой формой исходного дифференциального уравнения. Идейно слабая форма (2.1) связана с подходом Галеркина или методом взвешенных невязок, поскольку может быть представлена в виде

Часто при записи обобщенных формулировок задач вместо интегралов используют эквивалентный символ скалярного произведения:

(2.2)

Чтобы получить из (2.1) или (2.2) систему уравнений для узловых значений, достаточно

1) провести триангуляцию области;

2) выбрать ассоциированную с триангуляцией конечную систему базисных функций, обладающую свойством (1.9);

3) записать метод Галеркина ( )

(2.3)

или

(2.4)

Пример использования базисных функций с конечным носителем.

Решим задачу теплопроводности

. (2.5)

Точное решение задачи (2.5) имеет вид .

Введем сетку

;

выберем пирамидальные базисные функции (1.8) и подсчитаем их производные:

(2.6)

Используя представление приближенного решения

(2.7)

и граничные условия в точках и , получаем

Таким образом, осталось найти коэффициент . Для этого достаточно определить вторую строку системы уравнений (2.4), а именно коэффициенты . Непосредственное применение формул (2.4) для вычисления невозможно, поскольку предполагает вычисления вторых производных от линейных базисных функций (2.6). Это отражает очевидный факт, что линейные функции не могут служить базисом в классе дважды дифференцируемых функций, которому принадлежит решение исходной дифференциальной задачи. Однако если ослабить требование гладкости, то с помощью формулы интегрирования по частям можно записать

(2.8)

В правую часть формулы (2.8) теперь входят лишь первые производные базисных функций, которые определены в (2.6). При этом, несмотря на то, что производные терпят разрыв в узлах сетки, можно вычислить

(2.9)

Заметим, что для интересующих нас коэффициентов подстановка в правой части (2.9) равна нулю, т.к. . Окончательно при получим формулу

(2.10)

Подставляя в (2.10) нужные значения производных из (2.6), найдем , , . Правая часть уравнения вычисляется интегрированием

Итак, второе уравнение системы уравнений для определения коэффициентов разложения имеет вид

. (2.11)

Нетрудно видеть, что уравнение (2.11) совпадает с конечно-разностной аппроксимацией исходного уравнения в центральном узле сетки.

Ранее с помощью граничных условий было установлено, что , так что из (2.11) легко найти . Окончательно приближенное решение задачи методом Галёркина имеет вид

На рисунке показан график этой функции в сравнении с точным решением .

Рис. 2.1. Точное и приближенное решение МКЭ задачи (2.5) при N=3

Упражнение 2. Решить задачу (2.5) при N=4, сравнить с решением для N=3.

12 3 4 Следующая ⇒