О граничных условиях и выборе класса пробных функций

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Выше был рассмотрен пример решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности, при этом граничные условия 1-го рода учитывались отдельно, вне общей процедуры вычисления коэффициентов матрицы СЛАУ по формулам (2.4). Поэтому, вообще говоря, обобщенная формулировка задачи Дирихле должна выглядеть так:

(2.12)

В этом случае класс пробных функций определяют так, чтобы все обращались в ноль на границе . При этом для уравнений второго порядка

формулировка (2.12) после интегрирования по частям принимает вид

(2.13)

Здесь первый «граничный» член слева равен нулю из-за того, что для задач Дирихле .

Если же поставлены граничные условия Неймана или, в более общем случае, граничные условия 3-го рода

, (2.14)

то требование на пробные функции не накладывается, и «граничный» член в (2.13) вычисляется с учетом (2.14):

В результате обобщенная формулировка 3-й краевой задачи принимает вид

, (2.15)

где учтены граничные условия 3-го рода. В частном случае однородных условий Неймана ( ) все «граничные» члены в (2.15) пропадают; при этом говорят о «естественных» граничных условиях.

Кроме того, определяя класс пробных функций, требуют, чтобы функции обладали достаточной гладкостью. В нашем случае это требование означает дифференцируемость пробных функций.

Обобщенная постановка смешанной краевой задачи
для уравнения параболического типа

Рассмотрим краевую задачу для нестационарного уравнения теплопроводности

(2.16)

Зададим начальное условие и различные граничные условия на разных участках границы:

(2.17)

Обозначим через функцию на нижнем временном слое ( ‑ шаг сетки по ) и запишем полудискретизованную по времени неявную схему для уравнения (2.16). Домножим её на пробную функцию и проинтегрируем по области . Будем иметь

Применяя формулу Гаусса-Остроградского и учитывая при этом граничные условия (2.17), получим

(2.18)

Это уравнение должно быть дополнено граничным условием Дирихле (2.17). При записи (2.18) учтено, что пробная функция равна нулю на участке границы .

В дальнейшем для простоты будем считать, что коэффициенты постоянны. Кроме того, удобно доопределить параметры нулём на той части границы , где они не заданы. Тогда интегральное тождество (2.18) можно записать чуть более компактно:

(2.19)

Замечание 1. Правая часть исходного уравнения может содержать как распределенные, так и сосредоточенные источники тепла, например

где ‑ дельта-функция Дирака. В этом случае первый интеграл в правой части (2.19) будет равен

. (2.20)

Замечание 2. Интегральное тождество (2.19) не учитывает граничного условия Дирихле на ; оно должно учитываться отдельно. Для этого существуют несколько приёмов, основанных на модификации матрицы и правой части системы сеточных (алгебраических) уравнений, которые будут построены на основе интегрального тождества (2.19). Однако можно указать способ приближенного учета условий Дирихле уже на стадии записи интегрального тождества. Он состоит в том, чтобы вместо первого из граничных условий (2.17) записать граничное условие 3-го рода в виде

Очевидно, что если разделить это равенство на очень большое число , то получим следующее приближение:

При этом структура интегрального тождества (2.19) не меняется; следует лишь должным образом задать коэффициенты на разных участках границы.

Лекция 3. Система уравнений МКЭ

Сетка МКЭ

Покроем область сеткой конечных элементов , , так чтобы .

Тогда . Звёздочка означает, что при интегрировании по границе в сумму входят лишь те конечные элементы , границы которых хотя частично лежат на границе области .

Рассмотрим отдельный конечный элемент. Например, это многоугольник. Пусть он имеет узлов. Тогда можно ввести базисные функции этого элемента . Эти функции линейно независимы и нормированы так, что . Произвольная функция на элементе может быть представлена разложением по базису

(3.1)

Индекс обозначает принадлежность к -му элементу. В дальнейшем, если это не приводит к недоразумениям, индекс часто будем опускать. Индекс используется для локальной нумерации узлов конечного элемента. Следует отметить, что локальные узлы элемента могут совпадать с вершинами многоугольника , а могут и не совпадать с ними, как показано на рис. 3.1. Наряду с локальной вводят сквозную глобальную нумерацию узлов. Соответствие локальных и глобальных номеров, их координаты, а также связность (т.е. указание, какие узлы образуют элемент) задаётся с помощью двух основных таблиц, которые представляют МКЭ-сетку.

Рис. 3.1. Трехузловой, шестиузловой и десятиузловой
треугольные конечные элементы

Таблица 1. Узлы

№	x	y	b	z

i
N

Поле (bound) используется, чтобы отличить внутренние узлы ( ) от граничных ( ). Признак позволяет в программе, использующей эту сетку, задавать нужное граничное условие; например, если , ‑ то это условие Дирихле, если , ‑ то ставится условие Неймана, и т.д. на разных участках границы . Поле (zone) используется, чтобы задавать различные функции для коэффициентов решаемой задачи; например, коэффициент теплопроводности в композитных материалах: ‑ сталь, ‑ алюминий и т.д.

Таблица 1 не позволяет нарисовать МКЭ-сетку, а только узлы. Это значит, что требуется еще одна таблица элементов, или таблица связности, в которой указывались бы связи узлов ребрами и то, какие узлы образуют элемент.

Таблица 2. Элементы

№	n₁	n₂	n₃	…	n_m	z

j
M

Строка таблицы элементов показывает, что конечный элемент ‑ это треугольник с вершинами в узлах 213, 45 и 41246 и расположенный в зоне 3. Таким образом, эта таблица указывает соответствие локальных и глобальных номеров узлов. При этом локальный порядок нумерации определен заранее, например как показано на рис. 3.1. Принято, чтобы «основные» узлы элемента, т.е. узлы, совпадающие с вершинами многоугольника, нумеровались против хода часовой стрелки.

С помощью двух таблиц – узлов и элементов – легко нарисовать МКЭ-сетку. Для этого в цикле рисуем каждый элемент. Конечный элемент рисуется так: в строке таблицы 2 последовательно берутся глобальные номера , для каждого из них в строках таблицы 1 берутся координаты и узлы соединяются ребрами в порядке . Таким образом, таблицы узлов и элементов однозначно определяют МКЭ-сетку.

Замечание. На практике наряду с этими таблицами удобно пользоваться таблицами инцидентности (или таблицами соседей). Так, для фрагмента сетки, показанной на рис. 3.2 таблицы 3, 4 инцидентных узлов и элементов выглядят так (заполнены только 1-я и 19-я строки)

Рис. 3.2. Фрагмент МКЭ-сетки

Таблица 3. Инцидентные узлы

№	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	…	e_p


N

Таблица 4. Инцидентные элементы

№	k₁	k₂	k₃	k₄	k₅	k₆	…	k_z


N

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒