О граничных условиях и выборе класса пробных функций
Выше был рассмотрен пример решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности, при этом граничные условия 1-го рода учитывались отдельно, вне общей процедуры вычисления коэффициентов матрицы СЛАУ по формулам (2.4). Поэтому, вообще говоря, обобщенная формулировка задачи Дирихле должна выглядеть так:
(2.12)
В этом случае класс
пробных функций определяют так, чтобы все
обращались в ноль на границе
. При этом для уравнений второго порядка
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza6/977404118504.files/image188.gif)
формулировка (2.12) после интегрирования по частям принимает вид
(2.13)
Здесь первый «граничный» член слева равен нулю из-за того, что для задач Дирихле
.
Если же поставлены граничные условия Неймана или, в более общем случае, граничные условия 3-го рода
, (2.14)
то требование
на пробные функции не накладывается, и «граничный» член в (2.13) вычисляется с учетом (2.14):
.
В результате обобщенная формулировка 3-й краевой задачи принимает вид
, (2.15)
где учтены граничные условия 3-го рода. В частном случае однородных условий Неймана (
) все «граничные» члены в (2.15) пропадают; при этом говорят о «естественных» граничных условиях.
Кроме того, определяя класс пробных функций, требуют, чтобы функции
обладали достаточной гладкостью. В нашем случае это требование означает дифференцируемость пробных функций.
Обобщенная постановка смешанной краевой задачи
для уравнения параболического типа
Рассмотрим краевую задачу для нестационарного уравнения теплопроводности
(2.16)
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza6/977404118504.files/image210.gif)
Зададим начальное условие
и различные граничные условия на разных участках границы:
(2.17)
Обозначим через
функцию на нижнем временном слое (
‑ шаг сетки по
) и запишем полудискретизованную по времени неявную схему для уравнения (2.16). Домножим её на пробную функцию
и проинтегрируем по области
. Будем иметь
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza6/977404118504.files/image224.gif)
Применяя формулу Гаусса-Остроградского и учитывая при этом граничные условия (2.17), получим
(2.18)
Это уравнение должно быть дополнено граничным условием Дирихле (2.17). При записи (2.18) учтено, что пробная функция
равна нулю на участке
границы
.
В дальнейшем для простоты будем считать, что коэффициенты
постоянны. Кроме того, удобно доопределить параметры
нулём на той части границы
, где они не заданы. Тогда интегральное тождество (2.18) можно записать чуть более компактно:
(2.19)
Замечание 1. Правая часть
исходного уравнения может содержать как распределенные, так и сосредоточенные источники тепла, например
,
где
‑ дельта-функция Дирака. В этом случае первый интеграл в правой части (2.19) будет равен
. (2.20)
Замечание 2. Интегральное тождество (2.19) не учитывает граничного условия Дирихле на
; оно должно учитываться отдельно. Для этого существуют несколько приёмов, основанных на модификации матрицы и правой части системы сеточных (алгебраических) уравнений, которые будут построены на основе интегрального тождества (2.19). Однако можно указать способ приближенного учета условий Дирихле уже на стадии записи интегрального тождества. Он состоит в том, чтобы вместо первого из граничных условий (2.17) записать граничное условие 3-го рода в виде
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza6/977404118504.files/image248.gif)
Очевидно, что если разделить это равенство на очень большое число
, то получим следующее приближение:
.
При этом структура интегрального тождества (2.19) не меняется; следует лишь должным образом задать коэффициенты
на разных участках границы.
Лекция 3. Система уравнений МКЭ
Сетка МКЭ
Покроем область
сеткой конечных элементов
,
, так чтобы
.
Тогда
. Звёздочка означает, что при интегрировании по границе в сумму входят лишь те конечные элементы
, границы которых
хотя частично лежат на границе области
.
Рассмотрим отдельный конечный элемент. Например, это многоугольник. Пусть он имеет
узлов. Тогда можно ввести базисные функции этого элемента
. Эти функции линейно независимы и нормированы так, что
. Произвольная функция
на элементе
может быть представлена разложением по базису
(3.1)
Индекс
обозначает принадлежность к
-му элементу. В дальнейшем, если это не приводит к недоразумениям, индекс
часто будем опускать. Индекс
используется для локальной нумерации узлов конечного элемента. Следует отметить, что локальные узлы элемента могут совпадать с вершинами многоугольника
, а могут и не совпадать с ними, как показано на рис. 3.1. Наряду с локальной вводят сквозную глобальную нумерацию узлов. Соответствие локальных и глобальных номеров, их координаты, а также связность (т.е. указание, какие узлы образуют элемент) задаётся с помощью двух основных таблиц, которые представляют МКЭ-сетку.
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza6/977404118504.files/image297.gif)
Рис. 3.1. Трехузловой, шестиузловой и десятиузловой
треугольные конечные элементы
Таблица 1. Узлы
Поле
(bound) используется, чтобы отличить внутренние узлы (
) от граничных (
). Признак
позволяет в программе, использующей эту сетку, задавать нужное граничное условие; например, если
, ‑ то это условие Дирихле, если
, ‑ то ставится условие Неймана, и т.д. на разных участках границы
. Поле
(zone) используется, чтобы задавать различные функции для коэффициентов решаемой задачи; например, коэффициент теплопроводности в композитных материалах:
‑ сталь,
‑ алюминий и т.д.
Таблица 1 не позволяет нарисовать МКЭ-сетку, а только узлы. Это значит, что требуется еще одна таблица элементов, или таблица связности, в которой указывались бы связи узлов ребрами и то, какие узлы образуют элемент.
Таблица 2. Элементы
Строка
таблицы элементов показывает, что конечный элемент
‑ это треугольник с вершинами в узлах 213, 45 и 41246 и расположенный в зоне 3. Таким образом, эта таблица указывает соответствие локальных и глобальных номеров узлов. При этом локальный порядок нумерации определен заранее, например как показано на рис. 3.1. Принято, чтобы «основные» узлы элемента, т.е. узлы, совпадающие с вершинами многоугольника, нумеровались против хода часовой стрелки.
С помощью двух таблиц – узлов и элементов – легко нарисовать МКЭ-сетку. Для этого в цикле
рисуем каждый элемент. Конечный элемент
рисуется так: в строке
таблицы 2 последовательно берутся глобальные номера
, для каждого из них в строках
таблицы 1 берутся координаты и узлы соединяются ребрами в порядке
. Таким образом, таблицы узлов и элементов однозначно определяют МКЭ-сетку.
Замечание. На практике наряду с этими таблицами удобно пользоваться таблицами инцидентности (или таблицами соседей). Так, для фрагмента сетки, показанной на рис. 3.2 таблицы 3, 4 инцидентных узлов и элементов выглядят так (заполнены только 1-я и 19-я строки)
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza6/977404118504.files/image334.gif)
Рис. 3.2. Фрагмент МКЭ-сетки
Таблица 3. Инцидентные узлы
№
| e1
| e2
| e3
| e4
| e5
| e6
| …
| ep
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4. Инцидентные элементы
№
| k1
| k2
| k3
| k4
| k5
| k6
| …
| kz
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Популярное: