Высказывания. Логические операции, выражения

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 11Следующая ⇒

Высказывание – это утверждение (предложение), о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Например, высказывание «город Сочи расположен на берегу Черного моря» истинно, а высказывание «город Ростов расположен на берегу Черного моря» ложно. Из простых высказываний А, В можно образовать более сложные высказывания: «А и В», «А или В», «неверно, что А», «если А, то В» («из А следует В»). Зная истинность или ложность утверждений А, В, можно установить истинность или ложность сложного (составного) высказывания.

Высказывание можно формализовать с помощью логической формулы. Логическая формула включает в себя логические переменные и логические связки (знаки логических операций). Переменные представляют утверждения и обозначаются обычно буквами латинского или русского алфавита. Связки – это операции:

§ конъюнкция (обозначения Ù, &, ×, AND, И);

§ дизъюнкция (обозначения Ú, OR, ИЛИ);

§ отрицание (обозначения Ø , ~, NOT, НЕ, для высказывания А);

§ импликация (обозначения ®, É ).

Далее используются первые из указанных в списках обозначений.

Например, высказывание «если будет дождь, мы не поедем в гости, будем сидеть дома» можно формально представить формулой А ® Ø ВÙ С, где переменная А в данном случае представляет высказывание «будет дождь», В – высказывание «поедем в гости», С – «будем сидеть дома». Прочитать такую формулу можно так: «из А следует не В и С».

Операнды дизъюнкции называют дизъюнктами, операнды конъюнкции – конъюнктами. В импликации j ® y левый операнд, формулу j, называют посылкой, а правый операнд, формулу y, – заключением. Читают импликацию как «из j следует y», или «j влечет y».

Приоритеты операций: существует договоренность о порядке выполнения логических операций, если этот порядок не размечен круглыми скобками. Наивысший приоритет имеют отрицание и скобки, затем конъюнкция, далее выполняется дизъюнкция и последней - импликация.

Чтение формул. Формулы необходимо читать с учетом приоритетов операций. Например, формулу Ø (х ® Ø у) ® z можно прочитать так: из того, что не выполняется условие «из х следует не у», вытекает (логически следует) z. Другой правильный вариант: если неверно, что из х следует не у, то выполняется z. Прочтение «если не х, то не у влечет z» является неверным и неоднозначным, т.к. соответствует формуле: Ø х ®( Ø у ® z ) и формуле: (Ø х ® Ø у) ® z. <

Построение формул по высказываниям

Пример Л1. «для того, чтобы треугольники были равны, необходимо, чтобы они были подобны». Обозначим простые высказывания переменными: x – «треугольники равны» и y – «треугольники подобны». Тогда формула: x ® y соответствует исходному высказыванию. Обратите внимание, что необходимое условие идет справа от операции следования: если треугольники равны, то они точно будут подобны. Обратное, y ® x, неверно – из подобия равенства не следует. <

Пример Л2. Высказывание: «Для того, чтобы были лужи, достаточно, чтобы прошел дождь». Обозначим x – «были лужи», y – «прошел дождь». Формула: y ® x формализует исходное высказывание. Обратите внимание, что достаточное условие идет слева от операции следования: если был дождь, то есть и лужи. Обратное, x ® y неверно, т.к. лужи могут быть вызваны не дождем, а, например, водопроводной аварией. <

Пример Л3. Высказывание: «для того, чтобы число было четным, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на два без остатка». Обозначим x – «число четное», y – «число делится на два без остатка». Формула: (x ® y) Ù (y ® x) формализует исходное высказывание. <

Примеры ошибочного толкования следования:

1) Из высказываний «все зебры полосаты» и «это животное полосато» следует, что «это животное – зебра». Так, полосатый кот становится зеброй.

2) Из высказываний «людей много» и «Сократ – человек» следует, что «Сократов много».

Определение истинности формул

Задача определения истинности формул решается в соответствии с принятыми правилами интерпретации высказываний в логике. Стандартная (главная) интерпретация операций в исчислении высказываний представляется следующей таблицей:

Таблица 4. Таблица истинности логических операций

x	y	Ø x	xÙ y	x Ú y	x ® y

Здесь цифрой 0 обозначено значение «ложь», цифрой 1 – значение «истина».

Эквивалентность формул означает совпадение их значений истинности для всех возможных наборов входящих в них переменных. Операцию эквивалентности обозначают, обычно, знаком тождества º.

Существуют формулы, имеющие одно и то же значение, при различных значениях входящих в них переменных. К ним относятся тавтология и противоречие.

Тавтология – это формула, истинная при любой интерпретации входящих в нее переменных. Так, формула x Ú Ø x всегда истинна. Действительно, значение дизъюнкции есть истина, если хотя бы один ее операнд истинен, а в этой формуле, если x - ложь, то Ø x - истина.

Противоречие – это формула, ложная при любой интерпретации входящих в нее переменных. Так, формула xÙ Ø x всегда ложна. Действительно, значение конъюнкции есть ложь, если хотя бы один ее операнд ложен, а в этой формуле, если x - истина, то Ø x – ложь.

Если заданы значения переменных, то, используя стандартную интерпретацию, можно определить, истинна или нет данная формула.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒