Определение характеристик стационарного случайного процесса по одной реализации

В исследовании операций нередко приходится встречаться с задачами, где случайный процесс продолжается достаточно долго в одинаковых условиях, и нас как раз интересуют характеристики этого процесса в предельном, установившемся режиме. Например, железнодорожная сортировочная станция работает круглосуточно, и интенсивность потока составов, прибывающих на нее, почти не зависит от времени. В качестве других примеров систем, в которых случайный процесс довольно быстро переходит в устойчивое состояние, можно назвать ЭВМ, линии связи, технические устройства, непрерывно эксплуатируемые и т. п.

О предельном, стационарном режиме и предельных (финальных) вероятностях состояний мы уже говорили в главе 5 (§ 17) в связи с марковскими случайными процессами. Существуют ли они для немарковских процессов? Да, в известных случаях существуют и не зависят от начальных условий. При решении вопроса о том, существуют ли они для данной задачи, можно в первом приближении поступать так: заменить мысленно все потоки событий простейшими; если для этого случая окажется, что финальные вероятности существуют, то они будут существовать и для немарковского процесса. Если это так, то для предельного, стационарного режима все вероятностные характеристики можно определить методом Монте-Карло не по множеству реализации, а всего по одной, но достаточно длинной реализации. В этом случае одна длинная реализация дает такую же информацию о свойствах процесса, что и множество реализации той же общей продолжительности.

 

¹) Этот довод подозрительно напоминает рассуждения г-жи Простаковой («Недоросль» Фонвизина) по поводу ненужности изучения географии: «Да извозчики-то на что? Это их дало. Это и наука-то не дворянская. Дворянин только скажи: повези меня туда, свезут, куда изволишь».

 

 

Пусть в нашем распоряжении — одна длинная реализация стационарного случайного процесса общей продолжительности Т. Тогда интересующие нас вероятности состояний можно найти, как долю времени, которую система проводит в этих состояниях, а средние значения случайных величин получить усреднением не по множеству реализации, а по времени, вдоль peaлизации.

 

Рис. 24.1

 

Рассмотрим пример. Моделируется методом Монте-Карло работа немарковской одноканальной СМО с очередью. Число мест в очереди ограничено двумя. Заявка, пришедшая в момент, когда оба места в очереди заняты, покидает СМО не обслуженной (получает отказ). Время от времени канал может выходить из строя. Если канал вышел из строя, находившиеся в СМО заявки (как под обслуживанием, так и в очереди), не покидают СМО, а ожидают конца ремонта. Все потоки событий не простейшие, а произвольные рекуррентные. Возможные состояния СМО:

S_0i — канал исправлен, в системе i заявок,

S_1i — канал ремонтируется, в системе i заявок (i = 0, 1, 2, 3).

Граф состояний СМО показан на рис. 24.1. Из вида графа заключаем, что финальные вероятности существуют. Предположим, что моделирование работы СМО методом Монте-Карло на большом промежутке времени Т произведено. Требуется найти характеристики эффективности СМО: Р_отк — вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной, Р_испр — вероятность того, что канал исправен, А — абсолютную пропускную способность СМО, L_сист — среднее число заявок в СМО, L_оч — среднее число заявок в очереди, W_сист и W_оч — среднее время пребывания заявки в системе и в очереди.

Сначала найдем финальные вероятности состояний р₀₀, p₀₁, p₀₂, p₀₃, p₁₀, p₁₁, p₁₂, p₁₃.Для этого нужно вдоль реализации подсчитать суммарное время, которое система находится в каждом из состоянии: T₀₀, Т₀₁, T₀₂, Т₀₃, Т₁₀, T₁₁, Т₁₂, Т₁₃, и разделить каждое из них на время Т. Получим:

 

(i = 0, 1, 2, 3).

 

Вероятность отказа равна вероятности того, что заявка придет в момент, когда в СМО уже находятся три заявки:

 

Р_отк = p₀₃ + p₁₃.

 

Абсолютная пропускная способность равна

А = λ (1 – Р_отк),

где λ — интенсивность потока заявок.

Вероятность того, что канал исправен, получим, суммируя все вероятности, у которых первый индекс равен нулю:

 

P_испр = p₀₀ + p₀₁ + p₀₂ + p₀₃.

 

Среднее число заявок в СМО подсчитаем, умножая возможные числа заявок в СМО на соответствующие вероятности и складывая:

 

L_сист = 1 (p₀₁ + p₁₁) + 2 (p₀₂ + p₁₂) + 3 (p₀₃ + p₁₃).

 

Это равносильно тому, как если бы мы отметили на оси времени отрезки, на которых в СМО находится 0, 1, 2, 3 заявки и суммарную длительность участков умножили соответственно на 1, 2, 3, сложили и разделили на Т.

Среднее число заявок в очереди L_оч получим, вычитая из L_сист среднее число заявок под обслуживанием (для одноканальной СМО это вероятность того, что канал занят):

Р_зан = 1 - (p₀₀ + p₁₀).

 

Среднее время пребывания заявки в системе и в очереди получим по формуле Литтла:

 

 

На этом мы, заканчиваем краткое наложение метода Монте-Карло, отсылая интересующегося читателя к руководствам [6, 22], где он изложен более полно и где, в частности, рассматривается вопрос о точности статистического моделирования.

 

ГЛАВА 8

⇐ Предыдущая12131415161718192021Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Diana 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
2. DSM-IV-TR: Основные характеристики.
3. I Общая характеристика загрязнений естественного и антропогенного происхождения
4. I) Получение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы, по возмущению относительно выходной величины, по задающему воздействию относительно рассогласования .
5. I-1. Определение объёма гранта
6. I. СИСТЕТЕХНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА ПРОИЗВОДСТВА ЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ
7. II Физические загрязнения окружающей природной среды
8. II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ГРАНИЦ МОРФОЛОГИЧЕСКОГО ПОЛЯ ЧЕЛОВЕКА
9. II. Определение площади зоны заражения АХОВ.
10. II. Характеристики суицидальной идеаторной активности
11. III.5. Анализ урока с учетом закономерностей процесса мышления
12. Ill. Самоопределение к деятельности