Особенности задач нелинейного программирования

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Задачи нелинейного программирования по сравнению с задачами линейного программирования обладают большим многообразием. На рис. 17-3 представлены возможные варианты расположения точки экстремума для случая двух переменных. Так, в случае линейных ограничений и нелинейной функции цели экстремума можно достигнуть в крайней точке (вершине) допустимой области значений (рис. 17-3, а), в одной из точек, лежащих на ограничивающих прямых (рис. 17-3, б), и, наконец, в точке, расположенной внутри области (рис. 17-3, в). Пунктирные концентрические окружности изображают линии постоянных значений функции цели, сплошные линии - границу области допустимых значений. В случае на рис. 17-3, б - экстремум определяется как точка касания прямой, ограничивающей допустимую область значений, и линии равных значений функции цели.

Рис. 17-3. Различные случаи оптимума в задачах нелинейного программирования

Рис. 17-4. Случай двух экстремумов при односвязной области допустимых значений

Решение задач нелинейного программирования может давать два или более экстремума, тогда как решение задач линейного программирования дает один экстремум. На рис. 17-4 показан случай, соответствующий линейным ограничениям и нелинейной (квадратичной) функции цели, где она достигает максимального значения в двух точках А (локальный максимум) и В (глобальный максимум). На этом рисунке пунктиром обозначены постоянные значения функции цели F = const = С_i, сплошной линией ограничена область допустимых значений. При нелинейных ограничениях может иметь место случай многосвязной области допустимых значений, и в каждой изолированной подобласти функция цели может достигать своего одного или нескольких локальных экстремумов. На рис. 17-5 представлен случай двусвязной области, в которой функция цели достигает локальных экстремумов. Максимум в точке В - глобальный для всей области допустимых значение, в точке А – локальный.

Рис. 17-5. Случай двух экстремумов при двусвязной области допустимых значений

17-3. Классические методы определения экстремума функции

а) Задача на абсолютный экстремум

Если непрерывная функция n переменных x = (x₁,..., x_n) F(х) имеет в точке х_опт максимум, то существует ε > 0 такое, что для всех x из ε -окрестности точки х_опт

F(x)≤ F(x_опт)

или

F(x)-F(x_опт)≤ 0.

Выберем два вида приращения x_j вдоль j-й координаты

Δ x_j=x_j-x_jопт> 0,

Δ x_j=x_j-x_jопт< 0.

Тогда

Переходя в этих соотношениях к пределу при Δ x_j→ 0, получаем:

Из этих соотношений следует, что

Аналогичное соотношение можно получить для случая минимума функции. Таким образом, доказана необходимость условий (17-6) для достижения в точке х_опт максимума или минимума функции F(х), т. е. если имеется экстремум, то условия (17-6) удовлетворяются. Но равенство нулю всех производных в точке х_опт еще не обеспечивает существования в ней экстремума, т. е. условия (17-6) не являются достаточными. Геометрически это означает, что в случае нулевой производной от функции одной переменной может иметь место точка перегиба, а не максимум (или минимум), а в случае функции двух переменных - седловая точка, а не экстремум и т. д. Поэтому точки х_опт, в которых выполняются соотношения (17-6), называются стационарными.

Заметим, что условие (17-6) удалось получить благодаря возможности придавать переменной х приращения двух знаков, откуда и возникли два неравенства (17-5). Если допустимая область значений х ограничена неотрицательными значениями х≥ 0, то внутри области, где х > 0, справедливость условия (17-6) сохраняется, так как там допустимы приращения обоих знаков. На границе области х ≥ 0, где х = 0, допускается только положительное приращение Δ х > 0, можно говорить только об односторонней производной, и из (17-6) следует следующее необходимое условие максимума:

Необходимое условие минимума на границе области х_j = 0 запишется в виде

б) Задача на условный экстремум

При определении условного экстремума функции, когда требуется определить максимум (или минимум) функции F(х) при ограничивающих условиях:

φ _i(x) = b_i, i = 1, ..., m,

т. е.

F(x)=max;

φ _i(x)=b_i;

используется также метод множителей Лагранжа, который, так же как в случае классического вариационного исчисления (гл. 11), заключается во введении функции Лагранжа

где λ _i - неопределенные множители Лагранжа.

Полагая, что функция является частным случаем функционала, или применяя методы, аналогичные использованным в гл. 11 (§ 6), получаем, что необходимые условия экстремума находятся прямым дифференцированием соотношения (17-7) и записываются в виде

Если ввести в рассмотрение векторы

соотношения (17-8) и (17-9) перепишутся как

grad Φ = grad F - λ grad φ = 0;

b - φ = 0,

где равенство нулю векторов понимается покомпонентно.

Рис. 17-6. Пояснение к задаче на условный экстремум

В случае n = 2 и m = 1 геометрическая задача об отыскании условного экстремума сводится (рис. 17-6) к отысканию точки касания А кривой φ = b к одной из кривых постоянного уровня F = const.

в) Минимаксная трактовка задачи на условный экстремум функции

Предположим, что функция F (х) имеет в точке х_опт максимум при ограничивающих условиях φ _i (х) = b_i (i = 1,..., m). Соответствующий этой точке множитель Лагранжа обозначим через λ _опт = ||λ _1опт,..., λ _mопт ||. Если исключить особые случаи, то можно считать, что функция Лагранжа Φ (х, λ _опт) имеет в точке х_опт безусловный максимум, т. е.

Φ (x, λ _опт) ≤ Φ (x_опт, λ _опт)

для всех х из некоторой малой ε -окрестности точки х_опт. Опять, исключая из рассмотрения особые случаи, считаем, что для некоторой окрестности δ точки λ _опт функция Φ (x, λ ) имеет безусловный максимум по х и удовлетворяет условиям

Будем считать, что эти уравнения имеют единственное решение х при любом λ из δ -окрестности λ _опт. Тогда точку максимума х_опт можно рассматривать как функцию и от и для δ -окрестности λ _опт можно записать:

т. е. максимум по х будет функцией от λ. Очевидно, что

h(λ _опт) = Φ (x_опт, λ _опт) = F (x_опт)

так как при λ = λ _опт и х = х_опт, и φ _i (х) = b_i, и

Φ (х, λ ) = F (х).

Обозначим допустимую область значений х, соответствующую ограничениям b - φ (х) = 0, через G. Тогда

. (17-12)

Область G в соотношении (17-12) составляет часть от общей области изменений х, по которой ищется максимум в соотношении (17-11). Поэтому

h(λ ) ≥ h(λ _опт). (17-13)

Эта запись означает, что h(λ ) имеет минимум в точке λ _опт. Но так как для х и λ, удовлетворяющих условию (17-22), h(λ ) = Φ (х, λ ), то выражение (17-13) утверждает, что Φ (x, λ ) имеет минимум по λ в точке x_опт при условии выполнения (17-10).

Задача минимизации Φ (х, λ ) по λ при ограничениях (17-10), которые для каждого к определяют соответствующее х, называется задачей, двойственной к задаче отыскания максимума F (х) при ограничениях φ _i (х) = b_i (i = 1, ..., m):

Двойственные задачи обладают тем свойством, что в окрестности х_опт в соответствующих ограничениях

Но в соответствии с равенством (17-11)

и поэтому

Это важнейшее соотношение означает, что задача оптимизации функции при ограничениях сводится к решению задачи на минимакс. Оно смыкается с теорией игр и утверждает, что задачи на условный экстремум сводятся к игровым задачам, в частности к отысканию седловой точки. Последнему утверждению можно придать более четкую форму. Если рассматривать малую окрестность точки [х_опт, λ _опт] в (n + m)-мерном пространстве, то в силу того, что Φ (х, λ ) имеет максимум по х, для любого λ из этой окрестности можно написать:

Φ (х, λ _опт) ≤ Φ (x_опт, λ _опт) = F (х_опт). (17-14)

Рис. 17-7. Вырожденная седловая точка

Далее, Φ (х_опт, λ ) = F (х_опт), так как х_опт? G. Поэтому Φ (х_опт, λ ) = F (х_опт, λ ). С учетом этого и соотношения (17-14) можем написать:

Φ (х, λ _опт)≤ Φ (x_опт, λ _опт) = Ф(х_опт, λ )

Тем самым доказано, что функция Лагранжа имеет в оптимальной точке (х_опт, λ _опт) седловую точку, правда, вырожденного типа, так как справа стоит знак строгого равенства (рис. 17-7; на нём перепутаны оси x и λ – так как Φ постоянно по λ, а не по x).

Точка (х_опт, λ _опт) функции двух векторных переменных Ψ (х, λ ) называется седловой, если удовлетворяются соотношения

Ψ (x, λ _опт) ≤ Ψ (x_oпт, λ _опт) ≤ Ψ (x_oпт, λ ).

Классические методы оптимизации функции при наличии ограничений, так же как и классическое вариационное исчисление, в принципе позволяют определять экстремум функции при ограничениях в виде нестрогих равенств, и, в частности, при требовании не отрицательности переменных. Однако это сопряжено с возрастанием трудоемкости вычислений. Рассмотрим вначале случай не отрицательности переменных. Пусть имеется задача оптимизации вида

max{z=F(x)|x≥ 0, φ _i=b_i, i=1,..., m; m< n

Допустим, что максимум достигается в точке х_опт, которая лежит внутри или на границе области допустимых значений. Первоначально исследуют все внутренние точки положительного октанта n-мерного пространства и в них вычисляют значения функции цели z. Затем исследуют границу положительного октанта, причем на первом этапе приравнивают нулю одну переменную, решают задачу на оптимум с оставшимися n–1 переменными, и m ограничениями и вычисляют значение функции цели для каждого решения. Так как переменных n, то на первом этапе необходимо решить n задач с n–1 переменными и m ограничениями. На втором этапе приравнивают нулю каждые две координаты и решают задачу с n–2 переменными и m ограничениями. Можно показать, что число таких задач будет n! /2! /(n–2)!. В последующих задачах нулю приравниваются три, четыре и т. д. координаты. Отсюда сразу видна трудоемкость такого вычислительного процесса. Если не все переменные подчинены условию не отрицательности, то нулю приравниваются только те, для которых это требование имеет место.

Теперь рассмотрим случай, когда нет условий не отрицательности, но некоторые из ограничений имеют форму неравенств. Пусть

т. е. v ограничений имеют форму неравенств, остальные m–v — форму равенств. Добавим v переменных x_{φ i}≥ 0 которые сводят неравенства (17-15) к равенствам вида

Теперь задача свелась к ранее рассмотренной: ограничения заданы в виде строгих равенств, но имеется требование неотрицательности u + v переменных x_{φ i}. Заметим, что условие g_i(x)≥ b_i эквивалентно x_{φ i}≥ 0 (i = 1, ..., v), а условие g_i (х)≥ b_i эквивалентно x_{φ i}≥ 0 (i = u + 1, ...., vi). Экстремум может достигаться внутри неотрицательного октанта u-мерного пространства, где x_{φ i}> 0, и на его границах, где одно или несколько x_{φ i}=0. Рассмотрим вначале вариант с x_{φ i}> 0. Функция Лагранжа для уравнений (17-16) будет иметь вид:

Для точки оптимума частные производные от этой функции по всем переменным, в том числе и по x_{φ i}, должны равняться нулю. Поэтому

Эти соотношения означают, что если в точке экстремума x_{φ i}> 0, то соответствующие λ _i = 0, т. е. ограничения, которые в точке экстремума имеют вид строгих неравенств, можно не учитывать. При движении по границе, где некоторые x_{φ i} = 0, соответствующие ограничения следует учитывать и для них λ _i ≠ 0. По существу доказано очень важное соотношение, что в точке оптимума или вспомогательные переменные x_{φ i} = 0, или соответствующие множители Лагранжа λ _i = 0, т. е.

λ _iоптx_{φ iопт} = 0 (17-18)

или

Таким образом, вначале просматривают внутреннюю часть области положительного октанта v-мерного пространства x_{φ i}, т. е. по существу отбрасывают все ограничения в форме неравенств (v штук), ищут решение и вычисляют значение z. Затем поочередно подключают одно соотношение, эквивалентное x_{φ i} = 0, далее по два соотношения и т. д. и каждый раз вычисляют значения z. Наибольшее из этих z соответствует точке экстремума.

Выпуклое программирование

Интенсивное развитие нелинейного программирования в значительной степени вызвано доказанной в 1951 г. фундаментальной теоремой Куна и Таккера о седловой точке в задачах выпуклого программирования. Эта теорема распространяет результаты о минимаксе, полученные в предыдущем параграфе применительно к классическому варианту для задач на условный экстремум, на случай задания ограничений в виде неравенств. Особый интерес представляет эта теорема для недифференцируемых функций, о чем вообще не говорилось в классических методах.

Вначале получим условия существования седловой точки у непрерывной функции двух векторных переменных. Затем покажем, что эти условия удовлетворяются для оптимальной точки задачи нелинейного программирования.

Условия существования седловой точки. По определению функция Φ (х, λ ) двух векторных переменных х = || x₁,..., x_n || и λ = || λ ₁,..., λ _n|| имеет в точке (х_опт, λ _опт) седловую точку, если выполняются соотношения

Φ (х, λ _опт) ≤ Φ (х_опт, λ _опт) ≤ Φ (х_опт, λ ) (17-19)

для всех х и λ из ε -окрестности (х_опт, λ _опт). Будем считать, что х≥ 0 и λ ≥ 0. Геометрически соотношение (17-19) интерпретируется с помощью рис. 17-8 и 17-9. При этом допускается и вырожденный случай, когда в левой или правой части стоит знак равенства.

Рис. 17-8. Седловая точка

Рис. 17-9. Пояснение к седловой точке функции двух переменных

Докажем, что необходимыми и достаточными условиями существования седловой точки для функции двух векторных переменных являются соотношения

т. е. требуется доказать, что из условий (17-19) следуют (17-20) - (17-25) (необходимость) и из условий (17-20) - (17-25) следуют (17-19) (достаточность). Действительно, если при x_j≥ 0 предположить соотношения, обратные (17-20) и (17-21), т. е.

то это означало бы, что точка х_опт при λ = λ _опт не является максимумом, так как для внутренних точек, где x_j > 0, в точке максимума должна равняться нулю первая производная

а на границе области, где x_j = 0, первая производная для случая максимума должна быть не положительна, т. е.

При этом подразумевается, что для внутренних точек, где x_j> 0, соотношение (17-20) носит характер строгого равенства, а для граничных точек, где x_j = 0, - характер неравенства. Соотношение (17-21) выполняется для внутренних точек за счет равенства нулю производной, а для граничных точек - за счет равенства нулю координаты.

Аналогично доказывается необходимость условий (17-23) и (17-24) при 0, т. е. они следуют из условия минимизации функции Φ (х, λ ) относительно λ. А именно, так как функция Φ (х, λ ) при фиксированном х_опт имеет минимум по λ, в точке λ = λ _опт, то для внутренних точек λ > 0 dΦ /dλ _i = 0, а для граничных λ = 0 dΦ /dλ _i ≥ 0.

Другой способ доказательства справедливости соотношений (17-23) и (17-24) можно получить, если учесть, что при фиксированном х эта функция линейная относительно λ _i. Действительно, если учесть, что

то соотношение (17-23) является просто другой записью исходных ограничений

φ _i(x)≤ b_i

так как

Как было показано ранее [формулы (17-17) и (17-18)], если в окрестности точки экстремума b_i - φ _i(х)≥ 0 и в точке экстремума b_i - φ _i(х_опт) > 0, то соответствующие λ _iопт = 0. Для тех индексов i, при которых в точке экстремума (и малой окрестности ее) b_i - φ _i(х) = 0, Φ (х, λ ) = F (х), λ _iопт ≠ 0 (а именно λ _i> 0). Поэтому всегда или λ _i= 0, или dΦ /dλ _i = 0 и соотношение (17-18) выполняется.

Тем самым доказано, что из условий существования седловой точки (17-19) следуют соотношения (17-20) - (17-25). Чтобы доказать их достаточность для существования седловой точки, предположим вогнутость (для максимума) функции Φ (х, λ ) по х и, разложив ее в ряд Тейлора, получим:

(17-26)

В формуле (17-26) под производной dΦ (x, λ )/dx, понимается градиент функции Φ по х, т. е.

Очевидно, что для вогнутой функции в соответствии с рис. 17-10 значение ординаты, касательной вблизи точки вогнутости (х_опт, λ _опт), не менее значения самой функции. Кроме того, если сложить все равенства (17-21) по j, получим:

В соответствии с этой формулой в соотношении (17-26) справедлив знак равенства.

Рис. 17-10. Пояснение к разложению вогнутой функции в ряд Тейлора

И, наконец, если сложить по j все соотношения (17-20), получим:

Поэтому в соотношении (17-26) при х≥ 0 справедлив последний знак неравенства. Тем самым доказана левая часть соотношения (17-19), т. е. условие максимума функции Φ (х, λ ) по х в точке (х_опт, λ _опт). Доказательство правой части этой формулы может выполняться двумя путями. Для любой выпуклой по к функции Φ (х, λ ) аналогично соотношению (17-27) можно написать:

или, учитывая линейность Φ (х, λ ) по λ,

(и не предполагая выпуклости ее по λ ), получаем:

Первый знак равенства справедлив в силу линейности функции Φ (х_опт, λ ) относительно λ. Второй знак равенства справедлив или в силу соотношений (17-24), если их просуммировать по i, или в силу уже применявшихся рассуждений о том, что или dΦ (х, λ )/dλ _i = 0, или λ _iопт = 0. Тем самым доказана правая часть соотношения (17-19) и достаточность условий (17-20)-(17-25) для существования седловой точки.

Если имеется в виду седловая точка с минимумом по х и максимумом по λ, то соотношения (17-19) - (17-25) перепишутся в виде

Теорема Куна-Таккера

Формулы (17-20)-(17-25) составляют содержание теоремы Куна - Таккера, только в отличие от предыдущего параграфа, где функция Ф (х, Я) была произвольной, в данном случае она является функцией Лагранжа для задачи максимизации нелинейного программирования, а (х_опт, λ _опт) - точка экстремума. Сама теорема может быть сформулирована следующим образом: соотношения (17-20)-(17-25) являются необходимыми и достаточными условиями, для того чтобы точка х_опт представляла собой решение задачи выпуклого нелинейного программирования:

max {F(x)|x_j≥ 0, j=1,..., n; φ _i(х)≤ b_i, i = 1,..., m}. (17-36)

Сведем исходную задачу к классической постановке. Для этого прежде всего ограничения-неравенства φ _i(х)≥ b_i сведем к равенствам, введя и переменных x_φ_i ≥ 0 (i = 1, 2,..., u), соответствующим неравенствам. Остальные m – u ограничений считаются строгими равенствами. Тогда

Тем самым допускается, что часть из m неравенств имеет вид строгих равенств.

Предположим, что для этой задачи х = х_опт. Обозначим через J множество индексов j (j = 1, ..., n) для которых x_jопт > 0, а через – множество индексов j, для которых x_jопт = 0. Аналогично будем считать, что I - множество индексов i (i = 1, ..., u) для которых φ _i(х_oпт) = b_i, – множество, состоящее из индексов i, для которых ограничения на φ _i(х_опт) выполняются со знаком строгого неравенства φ _i(x_опт)< b_i. Заметим, что речь идет только о точке оптимума х_опт и знак нестрогого неравенства " ≥ " теряет свой смысл и соотношение превращается или в строгое неравенство (типа 5> 4) или в строгое равенство (типа 3=3). На основании результатов, полученных в § 17-3, можем написать, что

так как множество J соответствует внутренней области допустимых значений, и λ _iопт = 0, , так как множество I соответствует ограничениям в виде строгих неравенств, которые можно не учитывать. Далее

так как множество J соответствует границе области допустимых значений.

Соотношения (17-37) и (17-38) обеспечивают выполнение условия (17-20)

Теперь нетрудно убедиться, что

Это соотношение обеспечивает выполнение формулы (17-21). Затем имеем:

так как множество I соответствует границе области. Эти разности неотрицательны, а остальные n - u равны нулю по условию. Формула (17-39) обеспечивает выполнение условия (17-23), которое по существу совпадает с ограничениями в исходной задаче нелинейного программирования. Наконец, условие (17-24) выполняется в силу доказанных ранее соотношений (17-17), согласно которым для ограничений в виде строгих неравенств

соответствующий множитель Лагранжа λ _i = 0 и λ _i ≠ 0 только при

Таким образом, доказано, что в точке оптимума задач нелинейного программирования выполняются необходимые и достаточные условия существования седловой точки (необходимость теоремы Куна - Таккера). Для доказательства достаточности этой теоремы необходимо дополнительно потребовать выпуклости (вогнутости) и использовать методы доказательства достаточности условий (17-20) - (17-25) для существования седловой точки. Тем самым доказана теорема Куна - Таккера для случая дифференцируемых функций.

В литературе [Л. 96] имеются доказательства этой теоремы для не дифференцируемых функций F(х) и φ _i(х). В этом случае теорема формулируется следующим образом: вектор х_опт тогда и только тогда является решением задачи (17-36), когда существует вектор λ _опт, такой, что справедливы соотношения

x_опт≥ 0; λ _опт≥ 0; (17-40)

Φ (x_опт, λ ) ≥ Φ (x_опт, λ _опт) ≥ Φ (х, λ _опт) (17-41)

для всех х≥ 0 и λ ≥ 0, т. е. задача о максимизации F (х) соответствует задаче о седловой точке, иными словами, задаче о максимине для функции Φ (х, λ ).

ЕЩЁ О ТЕОРЕМЕ КУНА-ТАККЕРА

Теорема 2.3. (Достаточное условие экстремума). Если (х, и) — седловая точка функции Лагранжа, в области x∊ X⊇ D, и≥ 0, то х является оптимальным планом задачи (2.28), причем справедливо так называемое правило дополняющей нежесткости:

Доказательство.

По определению седловой точки

при всех x∊ X, и≥ 0. Из второго неравенства в (2.32) следует, что

Однако (2.33) может иметь место только тогда, когда g_i(x)≤ 0 при всех i∊ 1: m. Действительно, если существует такое k, что g_k(x)> 0, то, положив и_i=0 для всех i ≠ k и выбрав достаточно большое и_k > 0, можно добиться того, что значение

окажется больше постоянного выражения

Из того, что для всех i∊ 1: m выполняются неравенства g_i(x)≤ 0, следует, что х является допустимым планом задачи (2.28).

Если в левую часть неравенства (2.33) подставить значения u_i = 0, i∊ 1: m, то получим, что

Вместе с тем из того что, g_i(x)≤ 0 и u_i ≥ 0, следует оценка

Совместное рассмотрение последних двух неравенств приводит к правилу дополняющей нежесткости в точке х:

Тогда на основании левой части неравенства седловой точки (2.32) имеем, что для всех х∊ Х (в том числе и для х∊ D)

Но условию ЗНП для любых х∊ D верны неравенства g_i(x)≤ 0, что, в сочетании с условием u_i ≥ 0, позволяет записать

Значит,

Окончательно получаем, что для любых х∊ D справедливо соотношение f(x)≥ f(x), т. е. х — оптимальный план задачи (2.28). A

Список литературы

[1] Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В., Оптимальное управление, Наука, М., 1979 MathSciNet MathSciNet

[2] Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В., Курс методов оптимизации, Наука, М., 1986 MathSciNet MathSciNet Zentralblatt MATH

[3] Васильев Ф. П., Методы оптимизации, В 2-х кн., МЦНМО, М., 2011

[4] Мину М., Математическое программирование. Теория и алгоритмы, Наука, М., 1990 MathSciNet MathSciNet

[5] Обен Ж.-П., Нелинейный анализ и его экономические приложения, Мир, М., 1988 MathSciNet MathSciNet

[6] Обен Ж.-П., Экланд И., Прикладной нелинейный анализ, Мир, М., 1988 MathSciNet MathSciNet [7] Сумин М. И., “Регуляризованная параметрическая теорема Куна–Таккера в гиль- бертовом пространстве”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 51: 9 (2011), 1594– 1615 Math-Net.Ru MathSciNet MathSciNet Zentralblatt MATH [8] Sumin M. I., “On the stable sequential Kuhn–Tucker theorem and its applications”, Appl. Math., 3: 10A, Special issue “Optimization” (2012), 1334–1350 [9] Сумин М. И., “Оптимальное управление параболическими уравнениями: двой- ственные численные методы, регуляризация”, Распределенные системы: опти- мизация и приложения в экономике и науках об окружающей среде, Ин-т матем. и механ. УрО РАН, Екатеринбург, 2000, 66–69 [10] Сумин М. И., “Регуляризованный градиентный двойственный метод решения об- ратной задачи финального наблюдения для параболического уравнения”, Ж. вы- числ. матем. и матем. физ., 44: 11 (2004), 2001–2019 Math-Net.Ru MathSciNet MathSciNet Zentralblatt MATH [11] Сумин М. И., “Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического про- граммирования на основе теории двойственности”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 47: 4 (2007), 602–625 Math-Net.Ru MathSciNet MathSciNet Zentralblatt MATH [12] Sumin M. I., “Parametric dual regularization in a linear-convex mathematical programming”, Comput. Optimizat. New Res. Developments, Ch. 10, Nova Sci. Publ. Inc., New–York, 2010, 265–311 [13] Варга Дж., Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Наука, М., 1977 MathSciNet MathSciNet [14] Сумин М. И., “Регуляризованный двойственный метод решения нелинейной за- дачи математического программирования”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 47: 5 (2007), 796–816 Math-Net.Ru MathSciNet MathSciNet Zentralblatt MATH [15] Sumin M. I., “Parametric dual regularization in a nonlinear mathematical programming”, Ch. 5, Advances Math. Res., 11, Nova Sci. Publ. Inc., New–York, 2010, 103–134 [16] Borwein J. M., Strojwas H. M., “Proximal analysis and boundaries of closed sets in banach space. Part I: Theory”, Can. J. Math., 38: 2 (1986), 431–452 crossref MathSciNet MathSciNet Zentralblatt MATH; “Part II: Applications”, Can. J. Math., 39: 2 (1987), 428–472 crossref Zentralblatt MATH [17] Кларк Ф., Оптимизация и негладкий анализ, Наука, М., 1988 MathSciNet MathSciNet Zentralblatt MATH [18] Loewen P. D., Optimal control via nonsmooth analysis, CRM Proc. Lecture Notes, 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993 MathSciNet MathSciNet Zentralblatt MATH

А. В. Канатов, М. И. Сумин Секвенциальная устойчивая теорема Куна–Таккера в нелинейном программировании Журнал вычислительной математики и математической физики, 2013, 53: 8, 1249–1271

⇐ Предыдущая 1 2 34