ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (г.Казань)

Стр 1 из 7Следующая ⇒

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (г.Казань)

Электронный учебник по инженерной графике

для самостоятельной работы студентов

Составитель:

К.т.н., доцент Мутрискова М.А.

Казань – 2010

МЕТОД ПРОЕКЦИЙ. ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ

ЦЕНТРАЛЬНОЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Метод, которым в начертательной геометрии получают изображения, называется методом проекций.

Проецирование заключается в проведении через каждую точку А, В, С, ... изображаемого объекта и выбранный определенным образом центр проекций S прямой линии (луча), называемой проецирующей (черт. 1). Пересечение этой прямой с некоторой плоскостью проекций я дает точку, являющуюся проекцией данной точки. На плоскости проекций при этом каждой точке А, В, С.... предмета будет соответствовать только одна точка – проекция А', В', С'...*. Совокупность всех точек –проекций даст изображение (проекцию) данного предмета на плоскости я, т. е. на плоскости чертежа. Это изображение называют центральной проекцией предмета.

Проецирование можно производить параллельными прямыми. Зададим плоскость проекций л и какое-либо направление s (черт. 2). Проведем через данные точки А, В, С,... проецирующие прямые линии, параллельные направлению s, и найдем точки пересечения прямых с плоскостью л – проекции А', В', С', ... данных точек. Их называют параллельными проекциями точек Л, В, С, ... Можно считать, что параллельные проекции получены проецированием из бесконечно удаленной точки 5 пространства, находящейся в направлении s, поэтому параллельное проецирование рассматривают как частный случай центрального.

Черт. 1

* Центр проекций S не должен лежать в плоскости я В противном случае положение проекции точек плоскости я станет неопределенным, а проекции всех остальных точек пространства совпадет с точкой 5

Если направление проецирования перпендикулярно к плоскости л, то получаемые при этом проекции называют ортогональными или прямоугольными (черт.3).

Центральное проецирование при определенных условиях дает наглядные изображения, подобные тем, которые получаются на сетчатке человеческого глаза в процессе зрительного восприятия предметов. Однако на них трудно производить измерения, сравнивать их. Применяются такие проекции для изображения форм относительно больших размеров в архитектуре и строительстве, где от чертежа особенно важно получить впечатление, подобное зрительному.

Некоторые виды параллельных проекций и в первую очередь ортогональные обладают достаточной наглядностью при изображении предметов относительно небольших размеров (машин и их деталей) и дают возможность легко производить на них измерения. Это делает их незаменимыми при построении технических чертежей. Изучению законов построения и свойств именно этих Проекций посвящены последующие разделы книги.

ОБРАТИМОСТЬ ЧЕРТЕЖА. ОБРАЗОВАНИЕ ЭПЮРА

Чертеж, особенно технический, должен быть обратимым, т. е. должен давать возможность определить положение любой точки предмета либо относительно плоскости проекций, либо относительно другой данной точки. Это значит, что каждая точка, заданная на изображении, должна определять единственную точку изображенного объекта.

Если обратиться к черт. 1 или 2, то легко видеть, что проекция А' может рассматриваться не только как проекции точки А, но и как проекция точек А\, Ai и т. д., лежащих на проецирующей прямой А-А'. Поэтому полученное изображение пока не может нас удовлетворить.

Зададим плоскость проекции л и два направления проецирования s\ и S2 (черт 4). Точка А будет иметь две проекции: А' по направлению si и А" по направлению S2. Вторая точка В, расположенная на проецирующем луче А-А', по направлению si спроецируется точкой В', совпадающей с точкой А', но по направлению sz она спроецируется точкой В", отличной от точки А". Теперь по чертежу мы имеем

возможность сказать, что на нем изображено две точки — А и В; кроме того, наличие двух проекций каждой из них позволяет определить положение их относительно плоскости проекций и относительно друг друга. Действительно, если через точку А' провести прямую, параллельную направлению si, а через точку А" – прямую, параллельную направлению ss, то точка пересечения этих линий и будет данной точкой А (не пересечься эти прямые не могут, так как в противном случае точки А' и А" не могли бы быть проекциями одной точки). Подобным образом можно найти положение точки В и, следовательно, выяснить их взаимное расположение.

Итак, наличие двух проекций объекта может сделать чертеж обратимым.

Получить два изображения на одной плоскости при ортогональном проецировании нельзя, так как нельзя задать два отличных друг от друга направления проецирования. Поэтому проецирование производится на две плоскости проекций – Я1 и яз. Располагаются они взаимно перпендикулярно (черт. 5), причем плоскость Л1 – горизонтально и называется поэтому горизонтальной плоскостью проекций, а плоскость-па – перед наблюдателем. Ее называют фронтальной плоскостью проекций. После проецирования на них объекта плоскости ni и Я2 вращением вокруг линии их пересечения совмещают друг с другом, образуя одну плоскость чертежа.

Развернутое изображение обычно называют эпюром* (черт. 6) Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций и обозначается на эпюре буквой х. Применение для построения чертежа метода ортогонального проецирования было предложено французским ученым Гаспаром Монжем (1746-1818), что послужило основанием назвать этот метод методом Монжа, а описанный выше эпюр эпюром Монжа

На эпюре проекции, каждой изображаемой точки располагаются на прямой линии, называемой линией проекционной связи докажем, что она перпендикулярна к оси проекций

Проецирующие прямые А-А' и А-А" (см черт. 5) образуют плоскость, перпендикулярную к плоскостям Я1 и па и, следовательно, к оси х. Но если ось х перпендикулярна к плоскости AA'A", то она перпендикулярна к любой прямой этой плоскости, т. е. и к прямым Ax-А' и А^-А" В одной же точке Ах на эпюре можно восставить единственный перпендикуляр к оси х – линию А'-Ац-А" или А'-А".

Если не ограничивать плоскости проекций, то эпюр будет иметь вид черт. 7.

Две плоскости проекций делят пространство на четыре четверти (черт 8), при этом плоскости, естественно, считаются безграничными Плоскости делят друг друга на «полуплоскости», или «полы» (верхняя пола, нижняя, передняя и задняя) Четверти или, как их еще называют, квадранты нумеруют в соответствии с черт. 8.

Обычно изображаемый объект помещают в первой четверти (точка А, черт 5-7), но встречаются случаи, когда некоторые его элементы оказываются расположенными и в других четвертях Поэтому ознакомимся с эпюрами точек, лежащих во II, III и IV четвертях.

Точка В (черт. 8 и 9, а) находится во 2 четверти. Ее фронтальная проекция будет на верхней поле плоскости V и на эпюре выше оси х. Горизонтальная ее проекция лежит на задней поле плоскости H и после совмещения последней с плоскостью ля окажется тоже выше оси х Точка С (черт. 8 и 9, б), расположенная в III четверти, спроецируется на нижнюю полу фронтальной плоскости и на заднюю полу горизонтальной, поэтому ее проекция С" будет на эпюре ниже оси х, а проекция С' – выше Обе проекции точки D, находящейся в IV четверти, на эпюре лежат ниже оси х (черт. 9, в).

Вернемся опять к черт. 5 и, сравнивая его с черт. 6, заметим, что фигура AA'AxA" – прямоугольник, и на эпюре отрезки [А'-А, }=[А-А" } и [А" -А, ]= =[А-Л'] выражают собой расстояния оригинала А соответственно от фронтальной и горизонтальной плоскостей проекций. Следовательно, положение точки А по отношению к плоскостям H и Y вполне определено заданием двух ее проекций. Несмотря на это в практике в ряде случаев целесообразно строить дополнительные проекции объектов.

Новую плоскость проекций располагают перпендикулярно к одной из данных плоскостей проекций. На черт. 10 введена дополнительная плоскость проекций яз, перпендикулярная к плоскости Я|. Построена третья проекция А'" данной точки А, после чего плоскость яз совмещена с горизонтальной плоскостью Я1 вращением вокруг линии их пересечения. Очевидно, при этом образуется дополнительный эпюр Монжа с осью х\. На этом эпюре проекции точки А

связаны линией проекционной связи Л'— А'", перпендикулярной к оси х\, а отрезки [A'—Ajq] и, [А'" —Ах\\ выражают расстояния точки А соответственно от плоскостейW и H.

На черт. 11 точка А задана проекциями А' и А" в системе плоскостей проекций Я1/Я2. Введением дополнительной плоскости W образована система плоскостей проекций H/W с осью х\ и построена третья проекция точки А. При построении через А' проведена линия проекционной связи, перпендикулярная к оси х\, и на ней от точки Ax^ отложено расстояние точки А от плоскости H, которое задано в системе плоскостей H/Y отрезком [А" —АЛ:

[А" -А^] = [А'" -АЛ.

На черт. 12 построена третья проекция точки В на плоскости W, перпендикулярной к плоскости V. Для этого через точку В"

проведена линия проекционной связи, перпендикулярная к новой заданной оси проекций х\ и от точки B на ней отложено расстояние точки В от плоскости V. В заданной системе плоскостей проекций V/H оно равно отрезку [В'—Вх].

Наиболее часто используют третью плоскость проекций, перпендикулярную к двум данным: W перпендикулярна H, W перпендикулярна V (черт. 13). Такую плоскость называют профильной плоскостью проекций. Она пересекается с плоскостью H по линии у, а с плоскостьюV— по линии z. Принято совмещать эту плоскость с плоскостью чертежа вращением ее вокруг вертикальной линии z. При этом получается эпюр, показанный на черт. 14. Третью проекцию точки строят так же, как это было сделано на черт. 12:

проводят линию проекционной связи А" — А'", перпендикулярную к оси z, и на ней от этой оси откладывают отрезок, равный расстоянию точки А от плоскости эт2, величина которого определяется положением горизонтальной проекции точки А (/! =/).

Точку А'" можно также получить в пересечении двух линий проекционной связи — линии А" —А'" системы V/W и линии А'—А'" системы H/W (черт. 15). Вторая линия состоит из двух отрезков, что является следствием принятого правила развертывания в плоскость трехгранного угла, образованного плоскостями H, V и W. Отрезок [А'—Ау] перпендикулярен к изображению оси у на плоскости H (горизонтален), а отрезок [Ay—А'" ] перпендикулярен к изображению оси у на плоскости W (вертикален). Тождество точек Ау может-быть показано дугой окружности, соединяющей их.

При необходимости показать на чертеже порядок построения отдельных точек можно пользоваться еще свойством отрезков линии связи A''—А'" ' пересекаться на некоторой прямой, проходящей через точку О и составляющей с горизонтальной линией угол 45° (ее называют постоянной прямой чертежа). Для этой же цели на линиях проекционной связи наносят стрелки.

Линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей проекций могут быть приняты за оси координат. В связи с этим их обозначают буквами х, у и z. В отличие от системы ( координат, применяемой в математике, в данной системе положительные величины на оси х откладывают влево от начала координат — точки О. Выбрав ту или иную величину масштабной единицы, можно построить проекции точек по заданным численным значениям их координат. На черт. 16 построены проекции точки. А, имеющей абсциссу х, равную 20 единицам измерения, ординату у, равную 15 единицам, и аппликату z, равную 25 единицам. Короче это записывается так: Л (20, 15, 25).

Три плоскости проекций делят пространство на восемь частей, называемых октантами. Нумерация их показана на черт. 13. Как отмечалось выше, мы будем помещать изображаемый объект в первой четверти или в первом октанте. Так принято делать в СССР и в странах Европы. При составлении чертежей в странах Американского континента объект помещают в VII октанте. В европейской проекции объект помещен между наблюдателем и каждой плоскостью проекций, в американской—плоскости проекций отделяют объект от наблюдателя.

ПРОЕКЦИИ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

ПЛОСКОСТЬ

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ЗАДАНИЕ ИХ НА ЧЕРТЕЖЕ

На чертежах (эпюрах) изображают точки и линии (прямые или кривые) Поверхность можно изобразить только в том случае, если она проецируется линией. На черт. 56 плоскость а, расположенная перпендикулярно к плоскости п, " проецируется на нее прямой линией а'. На черт. 57 цилиндрическая поверхность Р проецируется на плоскость я в виде кривой линии у.

Если плоскость не перпендикулярна к плоскости проекций (черт. 58), изобразить ее невозможно. Однако ее можно задать на чертеже, изобразив какие-либо элементы, определяющие ее, например, две пересекающиеся прямые а и Ь (три точки плоскости, точку и прямую, две параллельные прямые).

Аналогично задают на чертежах и другие поверхности (см § 26)

ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

На черт. 59-61 плоскость задана двумя пересекающимися прямыми. На первом – прямыми а и b общего положения, на втором – горизонтальной hр и фронтальной /р, на третьем – горизонталью и фронталью, выходящими из точки М^, лежащей на оси х. В этом случае горизонтальh лежит в горизонтальной плоскости проекций (нулевая горизонталь), а фронталь f – во фронтальной плоскости проекций (нулевая фронталь) и являются поэтому линиями пересечения заданной плоскости с плоскостями проекций (черт. 62). Линии пересечения плоскости с плоскостями проекций называются следами плоскости, причем ао—горизонтальным следом, а fo —фронтальным.

Горизонтальная проекция горизонтального следа совпадает с самим следом. (см. черт. 62), а фронтальная— с осью ox Фронтальная проекция фронтального следа совпадает с фронтальным следом: foa^foa, а горизонтальная—также осью х.

Условимся не обозначать на чертежах проекции следов, совпадающие с осью x{h" o и /'о), но 'будем помнить, что индекс, «нулевая» присущ горизонтали и фронтали, лежащим только в плоскостях проекций.

Черт 62 и 64 дают наглядное представление о плоскостях а и р, заданных следами Кроме следов hо и fo, мы видим здесь и профильный след ро линии

Роа ^и Ров являются линиями пересечения плоскостей а и (3 с профильной плоскостью проекций Оси проекций пересекаются с плоскостью в точках Хд, Уд и 7д(^в, Ур и Zp), называемых точками схода следов.

Если, задавая плоскость, можно произвольно провести два следа через выбранную точку схода следов, например hy^ и /оа через Хд, то третий след определяется получающимися на осях у и г точками схода следов Уд и Z„ (черт 63 и 65).

Сравнивая черт 62 и 63 с черт 64 и 65, можно заметить разницу в расположении плоскостей а и (3 по отношению к плоскостям проекций у плоскости а видна спереди и сверху одна и та же ее сторона, у плоскости р — разные стороны Точка (М), расположенная перед плоскостью, в первом случае будет видна и сверху и спереди (находится над плоскостью), во втором случае такая точка сверху видна не будет (находится под плоскостью).

Возможность различать эти плоскости на эпюре позволит нам в дальнейшем проще определять видимость точек относительно заданной плоскости. Поэтому назовем условно первую плоскость «остроугольной», а вторую — «тупоугольной» (в соответствии с углами, которые в первом квадранте образуют между собой следы у плоскости а — острый, у плоскости |3

(тупой)*. На эпюре это выражается тем, что смежные углы между осью х и следами для «остроугольной» плоскости или оба острые или оба тупые, а для «тупоугольной» — один острый, а другой тупой.

Ортогональное проецирование

При вспомогательном ортогональном проецировании вводится одна или большее число дополнительных плоскостей проекций. Каждая из них должна быть перпендикулярна к одной из данных или к вновь введенной и располагаться так, чтобы интересующая нас фигура (прямая, плоскость и др.) занимала по отношению к ней частное положение.

1. Прямая линия общего положения относительно плоскостей окажется в новой системе плоскостей проекций линией уровня, если новая плоскость проекций лз будет располагаться параллельно ей (черт. 151 и 152).

На черт. 151 введена дополнительная плоскость лз параллельная прямой т и перпендикулярная к плоскости и с помощью точек / и 2 построена третья проекция прямой т — линия т'". Легко видеть, что в образовавшейся системе плоскостей проекций ж/яз прямая т является линией уровня.

На черт. 152 дополнительная плоскость яз параллельна прямой - т и перпендикулярна к плоскости . Теперь прямая т является линией уровня в системе V/W.

Дополнительная плоскость проекций может быть расположена не только параллельно данной прямой, но и проходить через нее (черт. 153).

В случае, если ось проекции х в система, плоскостей проекций H/V. не зафиксирована (черт 154, а) для построения третьей проекции данной фигуры ее следует задать Ось можно провести произвольно (конечно, перпендикулярно к линии проекционной связи), но желательно, чтобы она была между данными проекциями объекта (см черт 151—153).

Для того чтобы прямая линия была проецирующей прямой (т е проецировалась бы на какую либо плоскость точкой), должна быть плоскость проекций, перпендикулярная к ней

Плоскость проекций, перпендикулярная к одной из данных, может быть перпендикулярна только к пря мой частного положения (плоскость, перпендикулярная к прямой общего положения, является плоскостью общего положения, черт 155).

Для прямой же общего положения требуется введение двух дополнительных плоскостей проекций На черт 157 прямая т спроецирована с помощью точек / и 2 нa параллельную ей плоскость. В системе плоскостей она является уже линией уровня. Затем введена четвертая плоскость проекций. В системе плоскостей проекций прямая является проецирующей и четвертое ее изображение представляет собой точку.

Итак, чтобы прямая общего положения оказалась на чертеже в новой системе плоскостей проекций проецирующей, необходимо ввести две дополнительные плоскости проекций: 3, параллельную прямой, и 4, перпендикулярную ей.

3. Плоскость общего положения относительно плоскостей H и V окажется в новой системе плоскостей проекций, проецирующей, если новая плоскость проекций будет располагаться ' перпендикулярно к ней (черт. 158). Плоскость 3 будет перпендикулярна к плоскости а в том случае, когда она перпендикулярна к какой-нибудь линии этой плоскости. Прямая общего положения, лежащая в плоскости а, не может быть такой линией, так как тогда и плоскость 3 будет плоскостью общего положения (см. черт 155). Но плоскость 3 должна быть перпендикулярна либо плоскости H, либо плоскости V. Поэтому плоскость 3 должна быть перпендикулярна либо к горизонтали, либо к фронтали плоскости а.

На черт. 158 и 159 введена дополнительная плоскость яз, перпендикулярная к горизонтали h плоскости а (ЛВС) и к плоскости H|, и с помощью точек А и В построена проекция плоскости а — прямая а'" '. Очевидно, в образовавшейся системе плоскостей проекций H/W плоскость а является проецирующей.

На черт. 160 введена плоскость проекций, перпендикулярная к фронтали данной плоскости а(а(" |& ), которая становится поэтому проецирующей в системе. В этом примере линия а'" найдена с помощью точек A и l.

Заметим, что в первом случае горизонталь h, а во втором фронталь / проецируются на плоскости 3 в виде точек.

В случаях, когда данные плоскости определены следами, плоскость 3 проводится перпендикулярно к одному из следов.

На черт. 161 проекция а.'" плоскости а определена точкой схода следов Xia и точкой /, взятой на ее горизонтальном следе.

4. Для того чтобы данная плоскость оказалась плоскостью уровня, необходимо ввести параллельную ей плоскость проекций

(плоскостью уровня называют плоскость, параллельную плоскости проекций). Очевидно, этого нельзя сделать сразу при данной плоскости общего положения, но возможно для проецирующей плоскости.

На черт. 162 задана фронтально проецирующая плоскость а (ЛВС) и введена дополнительная, параллельная ей, плоскость проекций лз. В образовавшейся системе плоскостей проекций V/W плоскость а является плоскостью уровня.

Чтобы плоскость общего положения оказалась плоскостью уровня, требуется сначала ввести такую плоскость проекций Л3, чтобы образовалась система, в которой плоскость а будет проецирующей. Затем вводится дополнительная плоскость Л4, перпендикулярная к плоскости лз и параллельная плоскости а. На черт. 163, а показана заданная плоскость а, а на чертеже 163, б выполнены указанные преобразования.

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ прямой ЛИНИИ, ПЛОСКОСТИ И КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ И ПЛОСКОСТИ

Плоскость может пересекать кривую поверхность (в частном случае — касается ее) При этом она имеет с поверхностью общую линию — линию пересечения поверхностей, представляющую собой в общем случае кривую линию

Если плоскость не имеет общих точек с кривой поверхностью, то говорят, что она не пересекает данной кривой поверхности

(В этом случае считают линию пересечения поверхностей мнимой )

Из чертежа взаимное положение плоскости и кривой поверхности очевидно только в некоторых частных случаях, например, когда одна из этих поверхностей является проецирующей

На черт 235 ясно, что поверхность тора а не пересекается с плоскостью р

На черт 236 цилиндрическая поверхность а пересекается с плоскостью |3 При этом линия пересечения поверхностей проецируется на горизонтальную плоскость окружностью, совпадающей с той, в которую проецируется поверхность цилиндра (а') Фронтальные проекции точек кривой определяются с помощью линий плоскости р, проходящих через эти точки. Например, точка М" построена с помощью фронтали f.Фронтальные проекции точек соединены с помощью лекал

На черт.237 коническая поверхность а пересечена фронтально проецирующей плоскостью ft Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией плоскости т" ==у Горизонтальная проекция строится по точкам, каждая из которых

определяется с помощью образующей, на которой она находится.

В общем случае для определения линии 'пересечения кривой поверхности с плоскостью применяют метод вспомогательных секущих плоскостей. Проводится ряд (семейство) секущих плоскостей. Каждая из них пересекает кривую поверхность а по линии k, a плоскость р — по прямой линии / (черт 238).

Определяются точки пересечения соответствующих пар линий (если никакие пары линий не пересекаются, то и поверхности а и р не имеют общих точек, т. е. не пересекаются). Линия пересечения поверхностей проходит через полученные точки..

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Поверхность 2-го порядка пересекается плоскостью по кривой 2-го порядка Поверхность 4-го порядка (поверхность тора) пересекается плоскостью по линии 4-го порядка и т. д.

Заметим еще, что параллельные плоскости пересекают поверхности 2-го порядка по подобным кривым.

Конические сечения

Коническими сечениями называют линии, получающиеся в результате пересечения конической поверхности 2-го порядка (в частном случае конической поверхности вращения) плоскостью.

Заданная на черт. 239, а фронтально проецирующая плоскость р пересекает коническую поверхность вращения а по эллипсу (см. также черт 237).

Действительно, кривая 2-го порядка, получающаяся при этом, не имеет несобственных точек, так как все образующие поверхности а пересекаются с плоскостью Р (что очевидно из чертежа). В результате пересечения поверхности а с плоскостью у, перпендикулярной к оси вращения поверхности, получается окружность—частный вид эллипса.

На черт. 239, б фронтально проецирующая плоскость р параллельна левой очерковой образующей конуса Со всеми остальными образующими поверхности а эта плоскость пересекается (с некоторыми за пределами чертежа). В сечении получается кривая 2-го порядка, имеющая одну несобственную точку е. парабола, т.

Плоскость -у касается поверхности конуса Касание происходит по образующей, которую можно рассматривать как пару параллельных совпадающих прямых. Пара параллельных прямых является частным видом параболы.

На черт. 239, в плоскость р параллельна двум образующим конуса, расположенным в плоскости у. Остальные образующие его пересекаются с плоскостью (3, причем, некоторые в точках, расположенных выше вершины конуса, т. е. на верхней его поле. Кривая 2-го порядка, получающаяся в этом случае, имеет две несобственные точки и является поэтому гиперболой. Легко видеть, что эта кривая имеет две части (ветви), одна из которых расположена на нижней части конической поверхности, другая — на верхней. Плоскость " у, проходящая через вершину конуса, пересекает поверхность по паре образующих, являющихся частным видом гиперболы

Плоскость 6, параллельная оси конуса, а следовательно, и двум образующим поверхности, пересекает коническую поверхность тоже по гиперболе.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

При построении эпюра предмета* последний обычно располагают так, чтобы направления трех главных измерений его были параллельны плоскостям проекций (черт. 349): направление длины — параллельно оси х, ширины — оси у и высоты — оси z. Тогда длина и высота проецируются в натуральную величину на фронтальную плоскость проекций, длина и ширина не искажаются на горизонтальной проекции, а ширина и высота — на профильной. Такой чертеж нетрудно строить, по, нему просто производить измерения, судить о размерах изображенного, предмета. Однако он недос1аточно нагляден. На каждой из проекций отсутствует одно из трех измерений. Чтобы воспроизвести форму предмета, надо мысленно воссоздать ее по двум, трем, а иногда и большему числу проекций.

Более наглядный чертеж можно получить, проецируя предмет на одну плоскость проекций и располагая его так, чтобы ни одно из направлений главных измерений не проецировалось точкой.

На черт. 350 изображен такой же параллелепипед, как и на черт. 349, однако длина, ширина и высота его воспринимаются по одной проекции, так как взгляд «охватывает» сразу три стороны предмета По такому чертежу легко представить себе его форму.

Но второй чертеж обладает двумя существенными недостатками: во-первых, он необратим, так как представлена только одна проекция предмета; во-вторых, по чертежу нельзя произвести измерения предмета.

Чтобы ликвидировать первый " недостаток, чертеж дополняют второй проекцией, называемой вторичной.

Чтобы чертеж стал измеримым, на нем строят изображение системы координат Oxyz, оси которой параллельны соответственно

направлениям длины, ширины и высоты изображаемого предмета (черт. 351). Если известно, как искажаются размеры по осям х, у и z, то по чертежу можно судить о размерах предмета. Построенный таким образом чертеж называют аксонометрическим или аксонометрией.

Аксонометрические оси и показатели искажения. Для построения аксонометрических чертежей необходимо знать, как проецируются оси системы координат хугО (т. е. три взаимно перпендикулярные линии, проходящие через одну точку) и единичные отрезки, взятые на них.

Рассмотрим черт. 352. Координатные оси системы Oxyz и отрезки на них [Х—0], [У—О] и [Z—0], равные натуральной единице е, спроецированы по направлению s на плоскость проекций Ла. В результате получены аксонометрические оси Xa. ya, Za, On и аксонометрические единицы вг, ёу, вг (в дальнейшем индекс «а» у аксонометрических проекций опускается).

Отношения

называют показателями искажения соответственно по осям Xa, Уа и Z„ аксонометрии. Показатели искажения связаны соотношением

Вторичные проекции. Для получения второй проекции на плоскости Ла изображаемый объект предварительно проецируют на одну из координатных плоскостей. Затем полученную проекцию (вместе с осями координат) проецируют на плоскость Ли. Сказанное поясняет черт. 353. Точка А (объект) спроецирована сначала на плоскость хОу. Полученную проекцию А' проецируют затем на плоскость Л.. В конечном результате на аксонометрическом чертеже получаются два изображения точки А: Аа и А'а (вторичная), которые вполне определяют ее положение относительно системы координат Oxyz.

Виды аксонометрических проекций. Аксонометрическая проекция называется косоугольной, если направление проецирования s не перпендикулярно к плоскости проекций (о=т'=90°).

Аксонометрическая проекция называется прямоугольной, если направление проецирования s перпендикулярно к плоскости Ла(о=90°).

Кроме того, различают:

1. Триметрические проекции. Все показатели искажения здесь различны

2. Диметрические проекции Два показателя искажения равны, третий — не равен им. При этом возможны три случая: a) u=v^=w, б) и=/=и=гр и в) u=^-v^=w=u..

1. Изометрические проекции. Все показатели равны:

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (г.Казань)

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒