Модифицированный метод Эйлера.

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной. В модифицированном методе Эйлера сначала вычисляется значение,

которое используется для вычисления приближенного значения производной в конце интервала . Значение производной полагают равным .

Мы нашли, что в начале интервала значение производной равно

, а в конце

Для нахождения на интервале удобно использовать среднее значение.

Такое представление производной тождественно использованию в ряде Тейлора членов пропорциональных .

 

Метод 30

Метод Рунге – Кутта.

Это метод, который позволяет учесть в ряде Тейлора члены, содержащие старшие производные.

Для этого при вычислении старших производных используется результаты расчетов в точках внутри интервала. Метод Рунге – Кутта объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Отличаются эти методы порядком точности, т.е. числом слагаемых в ряде Тейлора.

Наиболее распространенным является метод, при котором удерживаются члены пропорциональные (метод 4-го порядка точности) когда говорят метод Рунге-Кутта, то имеют в виду метод четвёртого порядка.

Расчеты в этом методе производятся по следующим формулам

 

Метод 31

Метод Рунге-Кутта для решения систем ОДУ

Метод Рунге – Кутта может применяться для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Например: при решении системы

 

найдем

 

В этом случае расчеты производятся по следующим формулам:

 

 

 

 

Метод 32

Метод Рунге-Кутта для ОДУ высших порядков.

Метод Рунге – Кутта можно использовать для решения дифференциальных уравнений высокого порядка (второго или более высокого). Для этого дифференциальное уравнение сводится к системе уравнений первого порядка.

Например: дифференциальное уравнение второго порядка:

 

Введём переменную , в результате решаемая задача приводится к следующей задаче:

получили систему двух уравнений первого порядка.

 

Метод 33

Метод стрельбы.

Методы решения задачи Коши могут быть использованы при решении краевых задач. В качестве примера рассмотрим один из методов решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка, который называется методом стрельбы.

Решается дифференциальное уравнение второго порядка:

 

Заменим эту краевую задачу задачей Коши

Задача сводится к тому, чтобы найти такой угол , чтобы в точке решение равнялось .

Эта задача зависит от угла , как от параметра:

И нужно чтобы

Решение этого уравнения есть . Найдя, мы тем самым решим задачу как методом Коши.

 

Метод 34

Метод конечных разностей (МКР) (метод сеток).

Одним из универсальных методов решения краевых задач является метод конечных разностей.

Рассмотрим применение МКР для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Пусть требуется найти дифференциальное уравнение:

 

заданы краевые условия

Разбиваем отрезок узловыми равноотстоящими точками на частных отрезков. В каждой внутренней узловой точке аппроксимируем, производные с помощью разностных соотношений и записываем решаемое дифференциальное уравнение (1) для каждой внутренней узловой точки. В результате получается система алгебраических уравнений для нахождения неизвестных значений функции

Рассмотрим узловую точку

 

Аппроксимируем решаемое дифференциальное уравнение для узловой точки . Для этого

 

 

 

получили приблизительное значение производной.

 

Подставим найденные значения в дифференциальное уравнение. Найдем, что в узле дифференциальное уравнение приблизительно заменяется следующим алгебраическим уравнением:

 

 

Аналогичное соотношение можно записать для каждого внутреннего узла. В результате получается система линейных алгебраических уравнений; число этих уравнений равно числу неизвестных значений , решаем систему и находим неизвестные.

Замечание: полученная система СЛАУ имеет трехдиагональную матрицу, поэтому решать полученную систему удобно с помощью метода прогонки.

 

Тема №8

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Отношения между понятиями. Круги Эйлера.