Решение нелинейных уравнений.

Задача нахождения корней нелинейного уравнения возникает достаточно часто.

Нелинейные уравнения делятся на алгебраические и трансцендентные. Для алгебраического уравнения - это полином некоторой степени больше единицы.

Хотя алгебраические и трансцендентные уравнения часто решают одними и теми же методами, но существуют численные методы, использующие свойства алгебраических уравнений. Методы решения делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют найти решения уравнений непосредственно с помощью формул.

Пример: Решение квадратного уравнения по формулам Виета. В итерационных методах задаётся процедура решения в виде многократного применения некоторой процедуры. В этом случае нахождение корня уравнения состоит из двух этапов.

1 этап: отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка.

2 этап: уточнение приближенного значения корня до некоторой заданной точности. Приближенное значение корня (начальное приближение) может быть найдено различными способами:

1) из физических соображений

2) из решения аналогичной задачи при других исходных данных;

3) графическим методом.

Если удалось найти две точки, образующих отрезок, на концах которого имеет различный знак, то в качестве начального приближения можно взять середину

 

Если знак разный, то это гарантирует, что между ними будет хоть один корень.

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате получается последовательность приближенных значений корня. Если эта последовательность с ростом (числа итераций) приближается к истинному значению корня, то итерационный процесс сходится. К сожалению, часто бывает, что итерационный процесс не сходится. Поэтому надо следить за условиями сходимости и предусмотреть возможность расхождения итерационного процесса.

 

Метод 10

Метод половинного деления.

Метод половинного деления является одним из простейших методов решения нелинейных уравнений, и один из самых распространённых.

Допустим, нам удалось найти отрезок, на концах которого функция имеет разный знак. В этом случае можно быть уверенным, что на отрезке содержится, по крайней мере, один корень уравнения и (если - непрерывная)

 

 

 

Число корней n+1, n – четное.

В качестве начального приближения берем точку, находящуюся на середине отрезка

 

и получаем два отрезка и затем проверяем на концах, какого из этих двух отрезков функция имеет разный знак. Если знак у разный на отрезке , то полагаем и получаем новый отрезок , содержащий . Если на отрезке , то

Полученный сокращенный отрезок делим пополам и получаем .

If , then

else ,

При этом надо учитывать, что итерационный процесс может быть расходящимся. Но метод половинного деления обладает значительным преимуществом – он всегда сходится. На итерационном шаге с номером будет достигнута точность

Недостатком этого метода является достаточно медленная сходимость.

 

Метод 11

Метод простых итераций.

Представим нелинейное уравнение: в виде .Это преобразование можно сделать различными способами.

Например:

Пусть является нулевым приближением корня уравнения , тогда в качестве первого приближения берем , а второе . Допустим, мы нашли приближенное значение корня на итерационном шаге , тогда (Эта формула отражает алгоритм нахождения корня методом простых итераций)

Проиллюстрируем этот метод графически:

 

 

Итерационный процесс сходится

 

Итерационный процесс расходится

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы выполнялось условие ; в противном случае итерационный процесс может расходиться.

Сходимость метода может зависеть от удачного преобразования к .

Например:

- это

 

 

Метод 12

Метод Хорд

 

Предположим, что мы нашли , на концах которого меняет знак

и что в точке , а в точке

 

В методе хорд, как и в методе половинного деления на каждом итерационном шаге происходит последовательное сужение отрезка , содержащего корень. В методе хорд на каждом итерационном шаге в качестве одного из концов такого суженного отрезка берется точка пересечения хорды AB с осью OX.

Получим соотношение для определения точки С.

Получили и теперь ищем, где есть разность знаков, а дальше как в методе половинного деления.

Итерационный процесс повторяем до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность . Также как и метод половинного деления гарантировано сходится, однако в ряде случаев он имеет более быструю сходимость.

 

Метод 13

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. III ГЛАВА. ИНТЕРЬЕР И АРХИТЕКТУРНО – ПРОЕКТИРОВОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ШКОЛЫ БУДУЩЕГО
2. Архитектурно - конструктивное решение
3. ВАШЕ РЕШЕНИЕ ЗАНЯТЬСЯ САМОСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕМ: «КАЙЗЕН»
4. Внешние экологические эффекты. Решение а. Пигу
5. ВОПРОС 20 Понятие «управленческое решение» Классификая Управленческих решений
6. Встроенные функции MathCAD для решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений
7. г. Крайняя необходимость и её разрешение
8. Глава 3. Решение игр в смешанных стратегиях
9. Глава 5. Те, кто отрицает Воскрешение, и опровержение их доводов
10. Глава шестая. Морган принимает решение захватить Пуэрто-Бельо, собирает флот и овладевает городом с горстью пиратов
11. График успеваемости по курсу «Решение прикладных задач»
12. Задача 1. Решение нелинейного уравнения