Погрешности численных методов.

Тема №1

Модели и моделирование.

Численные методы используются при моделировании. В научной и инженерной практике возникают задачи исследования различных явлений, свойств, оптимизации процессов и другие. Эти задачи можно решать как с помощью моделирования, так и экспериментально. Но экспериментальный метод не всегда разумен, по причине

1) высокой стоимости;

2 ) уникальности;

3 ) недоступности объекта исследования.

Например, исследование недр звёзд и планет невозможно, а при конструировании самолёта требуется проведение обширных экспериментальных исследований, выполнение которых с помощью настоящего самолёта потребует огромных материальных затрат.

Во всех этих случаях реальное явление, объект (его ещё называют оригиналом) заменяется моделью.

Исследование явлений и объектов с помощью их моделей называется моделированием.

Таким образом, с помощью моделирования исследуются процессы и явления, которые невозможно или неудобно исследовать экспериментальным методом.

Существует множество видов моделей. Если модель и моделируемый объект имеют одну и ту же физическую природу, то говорят о физической модели. При конструировании физической модели необходимо выделять существенные черты и свойства оригинала, а второстепенные черты и свойства моделируемого объекта наоборот можно не учитывать.

Простейшей физической моделью является материальная точка (частица). Единственным существенным свойством частицы является её масса. Всеми остальными свойствами частицы (формой, составом, цветом, температурой и т.д.) можно пренебречь.

При использовании модели, необходимо чётко представлять в каких условиях и для исследования, каких явлений применение данной модели корректно.

Физическая модель “частица” может применяться для исследования механического движения тел, размеры которых мал в сравнении с характерным для данной задачи масштабом.

Модель “частица” важна, так как любое тело (жидкое, твёрдое, газообразное) можно представить как совокупность частиц. Для того чтобы представить тело как совокупность частиц нужно мысленно разбить его на несколько частей, размеры которых малы в соответствии с масштабом задачи.

Движение частицы описывается законами Ньютона, а свойства тела определяется движением частицы. С помощью законов Ньютона можно описать движение тела и изменение его свойств с течением времени.

Таким образом, то, что происходит в данный момент времени, определяет состояние тела в будущем, то есть существует некая определённость, детерминизм. Идея детерминизма была сформулирована Лапласом в 18 в. и частично отражала религиозные веяния того времени. Она предполагала наличие некого первотолчка (под которым подразумевался Бог), определившего всё случившееся в последствии.

Но в 20в. исследование микрочастиц показало, что к ним законы Ньютона неприменимы.

Движение микрочастиц подчиняется законам квантовой физики, а эти законы показывают вероятность нахождения частицы. Таким образом, движение микрочастиц носит недетерминированный, вероятностный характер.

Более сложными моделями являются модель абсолютно твёрдого тела и модель сплошной среды.

В качестве физических моделей могут использоваться некоторые материальные конструкции. Необходимым условием физической модели в этом случае является геометрическое и физическое подобие модели и оригинала.

Геометрическое подобие отражает одинаковое уменьшение всех частей объекта, то есть соотношение между величиной частей оригинала и модели должно быть постоянным.

Физическое подобие означает, что в сходственные моменты времени и в подобных точках пространства значение величин характеризующих явление для модели и оригинала должны быть пропорциональны друг другу. Это позволяет производить пересчет результатов полученных с помощью модели для оригинала.

Для этого необходимо из величин характеризующих явление сконструировать безразмерные комбинации, которые называют критериями подобия.

Физически подобными модель и оригинал будут в том случае, если критерии подобия для них имеют одинаковые значения.

Например, исследуется течение жидкости по трубам различного диаметра. Очевидно, что характер течения зависит от диаметра трубы (d), от скорости течения жидкости ( ν ), от вязкости жидкости (μ ) и ее плотности (ρ ). Все эти величины являются размерными, но из них можно сконструировать безразмерную величину.

число Рейнольдса

Пусть диаметр трубы оригинала равен 10 метров, тогда исследовать течение жидкости через трубу экспериментальным методом будет достаточно проблематично. Поэтому логичней будет воспользоваться моделированием.

Возьмём трубу с меньшим диаметром, но так, чтобы число Рейнольдса оставалось постоянным. Тогда полученные результаты можно пересчитать с помощью критерия подобия, так как течения при одинаковом значении числа Рейнольдса будут физически подобными.

Характер течения зависит от значения числа Рейнольдса, если;

Re < 1, то течение будет ламинарным;

Re > 1, то течение будет турбулентным;

Re = 1, то течение будет переходным.

Например, при исследовании конструкции самолёта, его уменьшенную модель помещают в гидродинамическую трубу, где её обдувает воздух. То есть, чтобы число Рейнольдса оставалось постоянным нужно увеличить скорость или плотность. За диаметр берётся размер самолёта.

Некоторые явления можно исследовать путём изучения какого-либо явления иной физической природы, но описываемого теми же математическими соотношениями, что и моделируемое явление.

Например, электрические и механические колебания описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями, поэтому с помощью механических колебаний можно моделировать электрические колебания и наоборот. Такое моделирование называют аналоговым.

Например, при постройке моста важно рассчитать частоту его колебаний, чтобы предотвратить его разрушение. Но создавать модель моста для проведения расчетов невыгодно, поэтому для облегчения можно решить дифференциальное уравнение, собрав электронную цепь и измерить нужные значения с помощью вольтметра и амперметра.

Физическую модель можно исследовать экспериментально, однако есть другой весьма эффективный способ исследования модели и решения с её помощью поставленных задач. Для этого на основе физических законов и других соображений, например, предположений имеющих характер гипотез, строится система математических соотношений (равенств, неравенств, уравнений и других логических конструкций). Эти соотношения отображают с помощью математической символики содержательную постановку задач. Совокупность этих соотношений называется математической моделью поставленной задачи, а решение этих соотношений называется математическим моделированием. Процесс математического моделирования подразделяется на три этапа:

1 этап Постановка задачи, определение объекта и цели исследования, определение факторов изучения. Формирование законов, связывающих объекты и факторы модели. Первый этап завершается записью математических терминов, соотношений между объектами моделей, тем самым физическая или техническая задача сводится к математической.

Построение математической модели является одним из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Трудность первого этапа связана с необходимостью соединения математических и специальных знаний и с возможной неопределённостью и неоднозначностью задачи Неопределённость связана с тем, что не до конца ясна сама цель решаемой задачи. А при формулировке она выясняется и формируется четко и ясно. Для формирования математической модели поставленной задачи необходимо соединение самых разнородных знаний. Человек, занимающийся математическим моделированием должен быть первоклассным физиком, он должен знать какие законы используются и какие из этих законов нужно выделить, а какие следует опустить. Также он должен быть отличным техником, а при формулировке математической модели он должен быть отличным математиком и хорошо знать численные методы.

Правильно выбранная математическая модель решает поставленную задачу на 50%. Математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом. Для её разработки необходимо сформулировать упрощающие предположения, лежащие в основе модели. Установить какие факторы необходимо учитывать и степень точности этих факторов. Неоднородность модели связана с выбором факторов, одни из этих факторов важны, другие мы можем не учитывать. Хотя если мы неверно определим степень важности факторов, то построенная нами модель будет не верна.

2 этап На этом этапе производится исследование математической задачи, её решение. Иногда, полученную математическую задачу, возможно, решить аналитически, однако, в большинстве случаев это невозможно, и тогда для решения задачи используют численные методы.

3 этап На этом этапе выясняется вопрос о достоверности полученных результатов, о согласии теоретических следствий модели с реально наблюдаемыми результатами. При этом делается вывод о правильности или неправильности положений лежащих в основе математической модели и при необходимости рассматриваемая модель уточняется или отвергается. Основным критерием истинности модели является эксперимент, практика в широком смысле слова.

Как уже говорилось ранее, модель неоднозначно определяется исследуемым объектом. Решение начинается с построения и анализа простейшей и наиболее грубой модели изучаемого объекта. А в затем решается вопрос о дальнейшем уточнении модели. Чтобы уточнить модель нужно вернуться в начало и исправить начальные условия.

Рассмотрим пример построения математической модели.

Пусть поставлена следующая задача: Камень с помощью катапульты брошен со скоростью ( ), под углом ( ) к поверхности земли. Требуется найти расстояние до точки падения камня.

Для получения математической модели используем следующие упрощающие предположения.

1) камень мы рассмотрим как материальную точку, частицу;

2 ) земля является инерциальной системой отсчета;

3 ) кривизной земли можно пренебречь и считать её плоской;

4 ) действие воздуха на движение камня можно пренебречь;

5 ) ускорение свободного падения есть величина постоянная.

При выборе упрощающих предположений необходимо учитывать конкретные особенности решаемой задачи. При других условиях той же задачи некоторые из упрощающих предположений использовать нельзя.

Перейдём к построению математической модели с учетом сделанных предположений.

Введем систему координат, её начало совместим с катапультой. Ox направим горизонтально, в сторону движения камня, а Oy вертикально вверх. Момент броска камня примем за начальный момент времени.

При сделанных предположениях движение камня определяется вторым законом Ньютона, который в данном случае принимает вид:

Второй закон Ньютона дополняется начальными условиями:

Эти три уравнения составляют математическую модель решённой задачи.

Нужно записать соотношения покомпонентно:

Используя, найдём момент времени ,

- это время полета камня

Из условия,

Подставляя найденное время в формулу

Предположим, результаты третьего этапа моделирования неудовлетворительны и мы приходим к выводу о необходимости уточнения модели. При этом может оказаться, что уточнение модели приведёт к возникновению ряда проблем, в результате чего реального улучшения модели может и не произойти.

Предположим для уточнения модели необходимо учесть силу сопротивления воздуха. Для этого мы выдвигаем предположение о том, что F сопротивления пропорциональна скорости и направлена в сторону противоположную движению.

(1)

В результате по Второму закону Ньютона:

Полученное уравнение является более сложным, чем в предыдущей модели. Решаемую задачу и в этом случае можно получить аналитически, но максимальное расстояние для этой задачи аналитически найти будет невозможно.

К тому же может оказаться, что мы неверно записали формулу силы сопротивления, так как многие специалисты считают, что

Но влияние на полученный результат, может оказать и то, что значение мы знаем весьма приближенно, и погрешность, вызванная этим обстоятельством может свести на нет всю нашу работу по построению модели.

Тема №2

Аппроксимация функций.

Возьмём функцию , относительно этой функции известно, что в n точках с координатами, где функция принимает значения . Предположим, что аргумент x находится в пределах отрезка , такого что .

Значения могут быть результатами эксперимента или расчёта по какой-то сложной формуле.

Нашей задачей является приближенное нахождение искомой функции . Приближенная замена искомой функции некоторой другой известной функцией называется аппроксимацией. Для практики важен случай аппроксимации неизвестной функции многочленами.

В этом случае аппроксимация сводится к нахождению коэффициентов полинома. Коэффициенты полинома подбирают таким образом, чтобы достичь наибольшей близости полинома к неизвестной функции .Таким образом, неизвестная функция – это аппроксимируемая функция, а полином – это аппроксимирующая функция.

Понятие близости может отличаться в различных методах аппроксимации.

Метод 1

Метод 2

СПЛАЙНЫ

При большом числе узлов интерполяции { } использование полинома Лагранжа может оказаться нежелательным, в этом случае аппроксимацию можно производить с помощью сплайнов.

Сплайн – это функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всём заданном отрезке [a, b], а на каждом частичном отрезке { } в отдельности является полиномом некоторой степени. Максимальная по всем частичным отрезкам степень полинома называется степенью сплайна. Простейшим сплайном, сплайном 1-й степени, является кусочно-линейная функция. Представим уравнение сплайна для -го интервала в виде уравнения . Найдём коэффициенты сплайна и для этого используем следующие условия непрерывности.

Из этих условий получаем

Метод 3

Сплайны третьей степени

На практике широкое распространение получили сплайны 3-ей степени, имеющие на всём [ ] непрерывную первую и вторую производные. Эти сплайны называются кубическими, обычно их обозначают . На -ом частичном отрезке сплайн можно представить в виде полинома

Для нахождения коэффициентов используются условия непрерывности сплайна и его 1-ой и 2-ой производных во всех узлах.

- условие непрерывности для каждого узла;

- условие непрерывности для первой производной;

- условие непрерывности для второй производной.

В результате образуется система линейных уравнений, решая которую можно найти коэффициенты сплайна

Метод 4

Метод наименьших квадратов

Полином Лагранжа и сплайны в точности проходят через экспериментальные точки ( ) такой подход при аппроксимации экспериментальных данных не всегда оправдан.Дело в том, что данные ( ) полученные экспериментально имеют определенную погрешность.

Её даже изображают графически. Графически изображают не только полученные значения, но и приделы этих значений. Поэтому аппроксимирующая зависимость не обязана в точности проходить через экспериментальные точки, а только по возможной близости к ним. Пусть аппроксимирующая зависимость, тогда это величина, характеризующая отклонение экспериментальных данных от аппроксимирующей зависимости. Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной, что делает её неудобной в качества меры близости данных аппроксимирующей функции. Поэтому удобней использовать квадрат этой величины.

Для того, чтобы аппроксимирующая функция была по возможности близкой ко всем экспериментальным точкам функция должна иметь минимальное из возможных значений. Метод нахождения аппроксимирующей функции использующей это называется методом наименьших квадратов.

Обычно аппроксимирующую зависимость выбирают из некоторого класса функций зависящих от определенного числа параметров.

Параметры подбирают таким образом, чтобы обеспечить минимальное значение этой величины. Используя условия минимума (условие экстремума) для функции, зависящей от нескольких переменных. Мы получили систему уравнений для нахождения параметров

…..

Мы получили систему, число уравнений которой равно числу параметров.

Наиболее часто экспериментальную зависимость аппроксимируют линейной функцией. В этом случае величина

Перепишем полученную систему

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными и .

Аналогичным образом можно получить аппроксимирующую зависимость в виде полинома

Метод наименьших квадратов можно использовать также при получении нелинейных двухпараметрических аппроксимирующих зависимостей. Вид аппроксимирующих зависимостей может быть заранее известен по некоторым, например физическим соображениям. Часто физическая зависимость имеет экспоненциальный вид:

.

Эту зависимость можно привести к линейной с помощью следующих замен и преобразований:

пусть

Тогда получим

Имеющиеся у нас экспериментальные данные мы преобразовываем к следующему виду

И теперь находим коэффициенты и , а зная их мы можем вычислить и из следующих формул

и

Построим таблицу позволяющую получать нелинейные аппроксимирующие зависимости.

Метод №

Тема №3

Метод 10

Метод половинного деления.

Метод половинного деления является одним из простейших методов решения нелинейных уравнений, и один из самых распространённых.

Допустим, нам удалось найти отрезок, на концах которого функция имеет разный знак. В этом случае можно быть уверенным, что на отрезке содержится, по крайней мере, один корень уравнения и (если - непрерывная)

Число корней n+1, n – четное.

В качестве начального приближения берем точку, находящуюся на середине отрезка

и получаем два отрезка и затем проверяем на концах, какого из этих двух отрезков функция имеет разный знак. Если знак у разный на отрезке , то полагаем и получаем новый отрезок , содержащий . Если на отрезке , то

Полученный сокращенный отрезок делим пополам и получаем .

If , then

else ,

При этом надо учитывать, что итерационный процесс может быть расходящимся. Но метод половинного деления обладает значительным преимуществом – он всегда сходится. На итерационном шаге с номером будет достигнута точность

Недостатком этого метода является достаточно медленная сходимость.

Метод 11

Метод простых итераций.

Представим нелинейное уравнение: в виде .Это преобразование можно сделать различными способами.

Например:

Пусть является нулевым приближением корня уравнения , тогда в качестве первого приближения берем , а второе . Допустим, мы нашли приближенное значение корня на итерационном шаге , тогда (Эта формула отражает алгоритм нахождения корня методом простых итераций)

Проиллюстрируем этот метод графически:

Итерационный процесс сходится

Итерационный процесс расходится

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы выполнялось условие ; в противном случае итерационный процесс может расходиться.

Сходимость метода может зависеть от удачного преобразования к .

Например:

- это

Метод 12

Метод Хорд

Предположим, что мы нашли , на концах которого меняет знак

и что в точке , а в точке

В методе хорд, как и в методе половинного деления на каждом итерационном шаге происходит последовательное сужение отрезка , содержащего корень. В методе хорд на каждом итерационном шаге в качестве одного из концов такого суженного отрезка берется точка пересечения хорды AB с осью OX.

Получим соотношение для определения точки С.

Получили и теперь ищем, где есть разность знаков, а дальше как в методе половинного деления.

Итерационный процесс повторяем до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность . Также как и метод половинного деления гарантировано сходится, однако в ряде случаев он имеет более быструю сходимость.

Метод 13

Тема №4

Итерационные

в итерационных методах решение находят путем последовательных приближений. Накапливание погрешности не происходит, и с помощью них решают систему с большим числом уравнений и для решения плохо-обусловленных систем. Однако сходимость итерации может быть очень медленной. Поэтому время счета может быть очень большим. Другим недостатком является то, что с их помощью решается ограниченный класс уравнений.

Например:

Уравнений с преобладанием диагональных элементов, либо системы со слабо заполненными матрицами.

Метод Крамера относится к прямому методу, однако на практике метод Крамера практически никогда не используется, так как он требует большого объёма вычислений. Оценим объём вычислений с помощью метода Крамера. Для применения этого необходимо вычислить определитель, а для вычисления каждого определителя необходимо сделать произведений, а число полученных слагаемых . Значит, число арифметических операций будет с ростом резко возрастает при

Наиболее распространенным среди прямых методов является метод Гаусса.

Метод 14

Метод Гаусса.

Метод Гаусса основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход и обратный. Прямой ход – матрица приводится к треугольному виду, при обратном последовательно находятся неизвестные величины.

Прямой ход состоит в следующем:

1) на первом шаге с помощью первого уравнения исключается из всех последних уравнений системы, в результате получается новая система, имеющая то же решение, но в первом столбце матрицы будет не нулевым только первый элемент.

2) на втором шаге с помощью второго уравнения исключается из всех уравнений. Этот процесс продолжается до тех пор, пока в левой части последнего - го уравнения не останется лишь один член с неизвестным .

Рассмотрим процесс исключения подробнее:

На -ом шаге исключается

Запишем -ое уравнение:

Исключим с помощью этого уравнения из уравнения с номером

Для исключения из -го уравнения вычитаем -ое, умноженное на .

После такого вычитания первые слагаемые сокращаются. Запишем значение коэффициенты перед , используем для него прежнее обозначение

При этом изменяется свободный член

По завершению прямого хода получается система с треугольной матрицей. Далее производится обратный ход метода Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных, начиная с . Сначала находится . Далее, используя это значение, находится и так далее.

Например:

На - ом шаге обратного хода неизвестные находятся с помощью выражения.

12 3 4 5 6 7 8 9 Следующая ⇒