Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Билет 10 Смешанное произведение векторов

если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Свойства смешанного произведения:

1°

2°

3.° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

9° формула лагранжа

10° Тождество Якоби:

Применение

• Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

• Определение взаимной ориентации векторов а, b и с основано на следующих соображениях. Если abc > 0, то а, b, с — правая тройка; если abc < 0, то а, b, с - левая тройка.

• Установление компланарности векторов

• Векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю

• Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Билет 11 Двойное векторное произведение
Двойным векторным произведением векторов называется вектор , равный векторному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Произведение обозначается также .

Двойное векторное произведение обладает следующими свойствами, справедливыми для любых векторов :

1. ;

2. ;

3. ;

4. Если — координатные столбцы векторов в стандартном базисе, то координатный столбец двойного векторного произведения находится по формуле (мнемоническое правило: " бац" минус " цаб" или формула Лагранжа).

Первое свойство доказывается, применяя формулы вычисления скалярного и векторного произведений в ортонормированном базисе.

Второе свойство следует из первого, если сделать циклическую перестановку векторов: , , а затем сложить эти равенства вместе с исходным (учитывая коммутативность скалярного произведения).

Третье свойство следует из первого (если положить ). Это равенство дает разложение произвольного вектора в виде суммы ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора относительно оси, задаваемой вектором (см. разд. 1.6).

Последнее свойство следует из первого с учетом п.2 замечаний 1.10. Заметим, что все произведения строк и столбцов согласованы, поэтому умножения можно производить в любом порядке, разумеется, не переставляя матрицы.

 

Доказательства:

Введем (декартову прямоугольную) систему координат. Чтобы облегчить выкладки, расположим оси координат специальным образом, а именно: ось Ох направим по вектору , ось Оу поместим в плоскости векторов и (считая, что векторы и приведены к общему началу). В таком случае будем иметь

, . .

Теперь находим

, .

С другой стороны

,

,

,

.

Следовательно,

.

Сравнивая правые части формул (1) и (2), получаем

,

что и требовалось доказать.

 

12. Преобразование координат

Существует две системы корд: OXY, O’X’Y’;

1.Переход от OXY к O’XY – паралел перенос

2.От O’XY к O’X’Y’ –поворот на (gamma) осей корд

1. Формулы преобраз.Корд при паралел переносе…x=x’+x₀; y=… O’(x0, y0)в сист.OXY

M(x’, y’)–в O’XY, M(x, y) в OXY. 2. Ox’y’ и Oxy. M(x, y) в Oxy и … OM=xi+yj OM=x’i’+y’I’. Формулы преобр

X=x’cos(ϕ )-y’sin(ϕ ); y=x’sin(ϕ )+y’cos(ϕ )

13.Смешан случай преобр координат

Умножем обе части уравн xi+yj=x’i₁+y’j₁

на i₁: xi i₁+yj i₁=x’i₁ i₁+y’j₁ i₁ => x’=xcos(ϕ )+ysin(ϕ )

на j₁: xi j₁+yj j₁=x’i₁ j₁+y’j₁ j₁ => y’=-xsin(ϕ )+y*cos(ϕ )

x’=x*cos(ϕ )+y*sin(ϕ ) y’=-xsin(ϕ )+y*cos(ϕ ) (сист)

14.Нормальное уравнение прямой

x*cos(α )+y*sin(α )-p=0;

n – единичный вектор

n=(cos(α ); Sin(α ))

OT=p пр_n0OM=p r=OM

p=(n, r)/|n₀|. (n, r)-p=0. …

15. Уравнение прямой

Прох через точку

Ax+By+C=0; необход точка и вектор нормаль.

p= -+ c/(a²+b²)^1/2 μ = -+1/(a²+b²)^1/2

Общий вид A(x-x₀)+b(y-y₀)=0 m(x₀, y₀).

(x-x₀)/m=(y-y₀)/n S(m, n) – паралел.

Две точки (x-x₁)/(x₂-x₁)=y…; M₁, M₂;

ρ (m0, l)=|Ax₀+By₀+C|/(A²+B²)^1/2

X/A+Y/B=1 В отрезках на осях

16.Особ случаи расп.прямой на плоск

1)C=0 через O(0, 0) 2)A=0 L||OX 3)B=0 L||OY

4)A=C=0 y=0 лежит на OX 5)B=C=0 x=0 лежит наOY

17.Плоскость

i	j	k
0	1	2
2	4	1

n=[a2, a1] a*-векторы на(||) плоск. (вект произв) либо опред-ль.

Положение плоск. Опред точкой(М) и ненулевым вект(n)

Общ урав. Ax+By+Cz+D=0;

Через точку A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

x-x1	y-y1	z-z1
x2-x1	y2-y1	z2-z1
x3-x1	y3-y1	z3-z2

Три точки: (r-r₁, r₂-r₁, r₃-r₁)=0 или (через корд):

В отрез на осях: a-пересич с x; b-y; c-z; x/a+y/b+z/c=1

Особый случ расп плоск

1)D=0 L-прох чере начало корд.2)A=0; L||OX

3)B=0 ||OY 4)C=0 ||OZ; 5)A=D=0 – прох чер OX

6)B=D=0 через OY 7) C=D=0 через OZ 8)A=B=0 ||XOZ 9)A=C=0 ||XOZ 10)B=C=0 ||YOZ 11)A=B=D=0 – плоск XOY 12) A=C=D=0 – XOZ 13) B=C=D=0 –ZOY.

19.Растояние точки до прямой

Если в декартовой системе кординат задана прямая на плоскости Oxy и точка M(x₁, y₁) то расстояние высчитывается по формуле:

D = |(r₁-r₀, n)|/|n| или ρ (M₀, l)=|Ax₀+By₀+C|/(A²+B²)^1/2

20.Угол между двумя прямыми

L₁: (x-a₁)/m₁=(y-b₁)/n₁=(z-c₁)/p₁.

L₂: (x-a₂)/m₂=(y-b₂)/n₂=(z-c₂)/p₂.

S₁=(m₁; n₁; p₁), S₂=(m₂; n₂; p₂).

(S₁, S₂)=|S₁|*|S₂|*Cos(α );

Cos(α )=(S₁, S₂)/|S₁|*|S₂| =

(m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂)/(m₁²+n₁²+p₁²)^1/2*)/(m₂²+n₂²+p₂²)^1/2

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. Определение площади зоны заражения АХОВ.
2. А.2.1 Проверка огнетушащей способности на защищаемой площади
3. Во сколько раз уменьшится пусковой ток трехфазного асинхронного двигателя при соединении фаз в звезду вместо треугольника?
4. ВЫХОД ИЗ ТРЕУГОЛЬНИКА КАРПМАНА. Эволюция Страдания в Наслаждение
5. Вычисление площади плоской области.
6. Даны координаты вершин треугольника А, В, С. Найти уравнения сторон АВ и АС и угол между ними. Сделать чертеж
7. Если один из двух кандидатов принял бы позицию А, то кандидат, занимающий позицию М, получил бы очень незначительный процент голосов, равный площади, находящейся по кривой распределения между а и б.
8. Задача о вычислении площади произвольной криволинейной трапеции.
9. Июня 1945 года состоялся Парад Победы на Красной площади.
10. Местонахождение и координатные системы
11. Местонахождение и площадь лесничества
12. Местонахождение иудеев в Вавилонии во время плена