Определение напряжений на произвольной площадке. Главные оси и главные напряжения

Из напряженного тела в окрестности произвольной точки вы­делим элементарный объем в виде тетраэдра (рис. 10.2).

Ориентация площадки в пространстве задается направляющими косинусами нормали v к ней - l = cos (x, v), m = cos (y, v), n = = cos (z, v).

Вектор полного напряжения на произвольной площадке abc спроецируем на оси x, y и z. Обозначим эти проекции через , , .Обозначая площадь треугольников abc, a0b, b0c, a0c через dF, dF_x , dF_y , dF_z , соответственно будем иметь:

dF_x = dF× l; dF_y = dF× m; dF_z = dF× n. (10.3)

Проецируя все силы, действующие на выделенный элемент, по­следовательно на оси x, y, z и с учетом (10.3) получим:

X = s_x × l + t_yx × m + t_zx × n;

Y = t_yx × l + s_y × m + t_zy × n; (10.4)

Z = t_zx × l + t_zy × m + s_z × n.

Выразим нормальное напряжение s_v на наклонной площадке через X, Y, Z:

s_v = X × l + Y × m + Z × n. (10.5)

Отcюда, с учетом (10.3) получим

s_v = s_x × l ² + s_y × m ² + s_z × n ² + 2 t_yz× m× n + 2 t_zx× n× l + 2 t_xy× l× m. (10.6)

Рассмотрим множество секущих площадок произвольной ори­ентации, проходящих через исследуемую точку. По нормали к каж­дой площадке отложим отрезок r = f (s_v ), координаты конца век­тора которого будут следующими:

x = r × l; y = r × m; z = r × n.

Исключая из (10.6) направляющие косину­сы, получим

s_v × r ² = s_x × x ² + s_y × y ² + s_z × z ² + 2 t_yz× y z + 2 t_xy× x y + 2 t_xz× x z. (10.7)

Принимая обозначение

,

где k - произвольная постоянная, из (10.6) получим:

s_x × x ² + s_y × y ² + s_z × z ² + 2 t_yz× y z + 2 t_xy× x y + 2 t_xz× x z = k. (10.8)

Из курса аналитической геометрии известно, что (10.8) пред­ставляет собой уравнение поверхности второго порядка в системе координат x, y, z. Следовательно путем поворота системы коорди­нат уравнение (10.8) можно преобразовать таким образом, чтобы попарные произведения исчезли, или иначе говоря коэффициенты попарных произведений принимали нулевые значения.

Это значит, что в произвольной точке напряженного тела суще­ствует такое положение системы координат x, y, z, в которой каса­тельные напряжения t_xy, t_xz, t_yz равны нулю.

Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них - главными напряжениями. Принимаются такие обозначения: s₁ ³ s₂ ³ s₃.

Рис. 10.2

Если в окрестнос­ти рассматриваемой точки определены по­ложение главных пло­щадок и главные на­пряжения, то сущест­венно упрощается си­стема уравнений (10.4). Они принимают вид:

X = s₁ × l; Y = s₂ × m;
Z = s₃ × n.

Так как l ² + m ² + + n ² =1, то получим:

.

Рис. 10.3

Следовательно, гео­метрическое место концов вектора пол­ного напряжения Р (X, Y, Z) об­разует эллипсоид, полуосям ко­торого являются главные напря­жения s₁, s₂, s₃ (рис. 10.3). Полученный эллипсоид носит название эллипсоида напря­жений. В случае равенства двух главных напряжений эллипсоид принимает форму тела враще­ния. Тогда каждая плоскость, проходящая через ось вращения становится главной. В случае, если все три главных на­пряжения равны между собой, то эллипсоид принимает форму сферы и в исследуемой точке все плоскости являются главными.

Рассмотрим как определяются величины главных напряжений через заданные значения шести компонентов напряжений s_x , s_y , s_z , t_xy , t_xz , t_yz в произвольной системе координат x, y, z. Воз­вращаясь к рис. 10.2, предполагаем, что наклонная площадка явля­ется главной.

Обозначая полное напряжение на этой площадке через S можем записать:

X = S× l; Y = S× m; Z = S× n. (10.9)

Соотношения (10.4) преобразуются к виду:

S × l =s_x × l + t_yx × m + t_zx × n;

S × m = t_yx × l + s_y × m + t_zy × n; (10.10)

S × n = t_zx × l + t_zy × m + s_z × n;

или

(s_x - S) × l + t_yx × m + t_zx × n = 0;

t_yx × l + (s_y - S) × m + t_zy × n = 0; (10.11)

t_zx × l + t_zy × m + (s_z - S) × n = 0.

Так как, l ² + m ² + n ² = 1, следовательно, l, m, n одновременно не могут быть равны нулю. Для того, чтобы система однородных уравнений (10.11) относительно l, m, n имела бы решение, отлич­ное от нулевого, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю.

. (10.12)

Отсюда

S ³ - S ² I₁ + S I₂ - I₃ = 0, (10.13)

где

I₁ = s_x + s_y + s_z ;

I₂ = s_y s_z + s_z s_x + s_x s_y - t_yx ² + t_yz ² + t_xz ²;

. (10.14)

Все три корня уравнения (10.13) являются вещественными и определяют значения главных напряжений s₁, s₂, s₃. Коэффи­циенты I₁, I₂, I₃ называются инвариантами напряженного состояния и их значения не зависят от выбранной системы координат x, y, z.

Для определения положения главных площадок необходимо вычислить значения направляющих косинусов следующим образом. В два из трех уравнений системы (10.11) подставляются значения главных напряжений s₁, s₂, s₃, а в качестве третьего используется равенство l ² + m ² + n ² = 1.

Если I₃ = 0 очевидно, что один из корней уравнения (10.7) также будет равен нулю. В этом случае напряженное состояние является плоским или двухосным. В частности, напряженное со­стояние чистого сдвига представляет собой двухосное напряженное состояние, для которого имеется s₁ = -s₃ , s₂ = 0.

Рис. 10.4

Если I₂ = I₃ = 0 то из уравнения (10.13) очевидно, что имеет место два нулевых корня и только одно из главных на­пряжений отлично от нуля. Напряженное состояние в этом случае называется од­ноосным. Данное обстоя­тельство имеет место при простом сжатии или растя­жении бруса или при чис­том изгибе.

На практике, если име­ется сложное напряженное состояние, для выполнения расчетов на прочность не­обходимо выразить напря­жения, действующие на произвольной площадке, проходящей через данную точку, через главные напря­жения. С этой целью рас­смотрим равновесие призмы, показанной на рис. 10.4.

Проецируя все силы, действующие на призму, на оси, совпа­дающие с векторами s и t (рис. 10.4), получим:

;

.

Эти выражения можно преобразовать к виду:

(10.15)

Рассматривая совместно полученные выражения для s и t, можно получить следующее выражение:

.

В системе координат s, t это уравнение окружности. Получен­ный круг называется кругом Мора или круговой диаграммой на­пряженного состояния. В заключение заметим, что при имеет место:

.

Деформированное состояние в точке.
Геометрические уравнения и уравнения

Неразрывности

Происходящие при нагружении тела перемещения его точек можно задать при помощи совокупности трех функций (см. п.1.5): u (x, y, z), v (x, y, z) и w (x, y, z), определяющих перемещения вдоль коорди­натных осей x, y и z, соответственно. Достаточно просто можно показать, что деформации (линейные и угловые) выражаются через функции перемещений, (в случае малых перемещений, которые рассматриваются в сопротивлении материалов):

(10.16)

где e_i - линейная деформация вдоль i-той оси координат, g_ij -уг­ловая деформация в плоскости i 0j (i, j = x, y, z) (см. рис. 10.1).

Правило знаков принимается следующее: для линейных дефор­маций - растяжению соответствует положительная деформация; для угловых деформаций положительное ее значение соответствует уменьшению прямого угла между положительными направлениями осей. По аналогии с напряженным состоянием, здесь также имеют­ся главные деформации и главные площадки деформирования, которые являются инвариантами, независящими от осей коорди­нат.

Принятая в механике деформируемого тела гипотеза о сплош­ности среды, выражающаяся, в частности, в том, что в одну и ту же точку пространства не могут прийти две материальные точки, рав­но, как и не допускается разрывов среды, находит свое воплощение в уравнениях неразрывности деформаций. Как видно из (10.16), шесть компонентов деформаций выражаются через три функции перемещений - следовательно между ними существует определен­ная связь в виде:

;

;

; (10.17)

 

 

;

 

;

.

Убедиться в верности (10.17) можно просто - достаточно под­ставить в них выражения (10.16). В случае плоской задачи, за исключением первого уравнения системы (10.17), остальные уравнения превращаются в тождество.

В заключение заметим, что в каждой точке среды деформируе­мого тела всегда существуют три взаимно перпендикулярные плос­кости, которые не испытывают сдвигов. Координатные оси, кото­рые образуют эти плоскости, называются главными осями деформируемого состояния.

Линейные деформации по главным осям называются глав­ными деформациями и нормируются в порядке e₁ > e₂ > e₃ с учетом их знака, причем знак “плюс” относится к тем деформаци­ям, которые вызваны в результате растяжения, и наоборот, знак “минус” относится к деформациям сжатия.

Заметим, что для изотропного тела, свойства которого не зави­сят от направлений координатных осей, главные оси напряжений и деформаций совпадают.

Физические уравнения теории упругости для
изотропного тела. Обобщенный закон Гука

Для получения полной системы уравнений, описывающих на­пряженное и деформированное состояние тела, необходимо распо­лагать равенствами, связывающими напряжения и деформации. В эти равенства должны входить параметры, характеризующие физи­ческие свойства материалов. Поэтому они называются физически­ми уравнениями механики сплошной среды.

Составим аналитическое выражение обобщенного закона Гука, справедливого для идеально упругого изотропного тела. Для этого воспользуемся принципом независимости действия сил. Рассмот­рим раздельно силы, возникающие на гранях элементарного парал­лелепипеда (рис. 10.1). При малых деформациях, действие каса­тельных напряжений вызывает только формоизменение, а от дейст­вия нормальных напряжений происходит изменение линейных раз­меров выделенного элемента. Учитывая данное обстоятельство, для трех угловых деформаций получаем:

, (10.18)

где G - модуль сдвига материала.

Линейная деформация по оси x, обусловленная напряжением s_х, будет равна . Напряжениям s_y, s_z соответствуют дефор­мации по оси x обратного знака, равные и , соот­ветственно (здесь m - коэффициент Пуассона). Следовательно

.

Аналогично можно определить относительные удлинения ребер параллелепипеда (рис. 10.1), перпендикулярных осям y и z. Запи­сывая для e_y и e_z аналогичные уравнения окончательно получим:

(10.19)

Отсюда, получим выражение для объемной деформации

. (10.20)

Полученные соотношения (10.18 - 10.19) являются аналитиче­ским выражением обобщенного закона Гука для упругого изотроп­ного тела.

⇐ Предыдущая12345

Поделиться:

Популярное:

1. CAL – выход генератора калибровочного напряжения,
2. Exercise 17. Поставьте предложения в отрицательную и вопросительную форму.
3. I) Получение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы, по возмущению относительно выходной величины, по задающему воздействию относительно рассогласования .
4. I-1. Определение объёма гранта
5. I.Поставьте предложения в вопросительную и отрицательную формы.
6. II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ГРАНИЦ МОРФОЛОГИЧЕСКОГО ПОЛЯ ЧЕЛОВЕКА
7. II. Определение площади зоны заражения АХОВ.
8. Ill. Самоопределение к деятельности
9. IV.3. Определение преобладания типа темперамента
10. V) Построение переходного процесса исходной замкнутой системы и определение ее прямых показателей качества
11. XVI. Об относительности добрых и злых дел
12. Абсолютная и относительная адресация