Множества мощности континуума и выше

Стр 1 из 8Следующая ⇒

Для мощности множества вещественных чисел R есть специальное обозначение – с. Любое множество имеющее такую мощность называется континуумом (от английского continue – продолжаться).

Введение понятия мощность континуума порождает два вопроса.

1. Существует ли множество мощностью больше чем с?

2. Существует ли множество промежуточной мощности между счетным и континуумом?

На первый взгляд множеством мощности больше с является любая плоская фигура, например, квадрат. Однако, это не так и справедлива

ТЕОРЕМА. Открытый единичный квадрат на плоскости имеет мощность равную с.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим отображение f точек квадрата на его сторону. Возьмем любую точку внутри квадрата с координатами (x, y). Пусть в десятичном представлении x = 0, a₁a₂a₃..., а y = 0, b₁b₂b₃.... Образуем число z = f(x, y) = = 0, a₁b₁a₂b₂a₃b₃..., которое является координатой точки на стороне квадрата. Таким образом, мы отобразим точки квадрата на его сторону. Ясно что это отображение инъективно, т.е. если мы берем точки А = (x₁, y₁) и B = (x₂, y₂), такие, что А ¹ В, и определим z_A = f(A), z_B = f(B), то получим z_A ¹ z_B, т.е. две разные точки A и B квадрата отображаются в две разные точки на отрезке прямой. Действительно, пусть А ¹ В. Значит x₁¹ x₂ или y₁¹ y₂, а раз так, то эти числа отличаются хотя бы одним десятичным знаком, и значит z_A ¹ z_B.

Инъективность означает, что точек в квадрате не больше, чем на отрезке. С другой стороны, их не может быть меньше, поскольку отрезок является подмножеством квадрата. Следовательно, построенное отображение f взаимно-однозначно.

Тем не менее, множества мощности выше континуума существуют, более того, справедлива

ТЕОРЕМА. Для любого множества А существует множество В большей мощности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть имеется множество А. Рассмотрим множество В, являющееся множеством всех функций, определенных в точках множества А и равных 0 или 1 в этих точках. Покажем, что мощность множества В больше мощности А.

Рассмотрим на множестве А функцию из B, определенную по правилу

где aÎ А. Поставим каждой точке аÎ А в соответствие функция f_a(x)Î В и рассмотрим полученное множество

B₁ = { f_a(x)Î B | aÎ A }Ì B.

Очевидно, что нами установлено взаимно однозначное отображение А « В₁. Следовательно, | A | = | B₁|, а значит | A | £ | B₁|.

Покажем, что | A | ¹ | B₁|. Это эквивалентно тому, что не существует взаимно однозначного отображения А на все В. Предположим противное, что существует биективное отображение j: А ® В, которое каждому аÎ А ставит в соответствие элемент bÎ В и каждой функции из B – элемент множества A. Обозначим j(a) = f⁽^a⁾(x), и рассмотрим функцию

g(x) = 1 – f^(а)(x).

По свойствам элементов множества В имеем, что значение f^(а)(x) равно 0 или 1, тогда это свойство выполнено и для функции g(x). Следовательно, g(x)Î В. Значит, по предположению, существует такая точка bÎ А, что ей однозначно соответствует g(x), т.е. g(x) = f⁽^b⁾(x). Возьмем х = b, тогда получим

g(b) = 1 – f^(b)(b) = f^(b)(b).

Отсюда f⁽^b⁾(b)=1/2, что противоречит условию принадлежности функции f⁽^b⁾(x) множеству В. Поэтому, такого отображения j не существует. Значит, мощность В строго больше мощности А.

Из теоремы следует, что множества самой большой мощности не существует.

Эквивалентный способ построения множества большей мощности получим, если определим B как множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества A. Множество всех подмножеств некоторого множества A называется булеаном и обозначается 2^A (2^A={ C | C Í A}). Тогда m(2^A) = 2^|^A^|.

Множество, мощность которого равна 2^c, называется множеством мощности гиперконтинуума.

Что касается проблемы существования множества промежуточной мощности, то оказалось, что это утверждение невозможно доказать на основе аксиом теории множеств, но оно и не противоречит им.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Определить мощности следующих множеств:

а) множество всех треугольников на плоскости, координаты вершин которых выражаются рациональными числами;

б) множество корней многочленов с целыми коэффициентами;

в) множество вещественных чисел от 0 до 1, в десятичном представлении которых 7 стоит на 3-м месте (т.е. числа вида 0.ab7cd...).

2. На числовой прямой задано неограниченное счетное множество Е. Доказать, что всегда существует вещественное число z, что сдвинув множество Е на z вправо, получим новое множество Е₁, которое будет иметь пустое пересечение с Е.

3*. Доказать, что множество всех непрерывных функций на отрезке [a, b] имеет мощность континуума.

4. Какова мощность множества всех функций, определенных на отрезке [a, b] и разрывных хотя бы в одной точке этого отрезка?

5. Какова мощность множества всех строго возрастающих непрерывных функций, заданных на отрезке [a, b]?

6. Какова мощность множества всех монотонных функций на отрезке [a, b]?

7. Показать, что множество всех перестановок натурального ряда N имеет мощность континуума.

8. Какова мощность множества всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел?

9. Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел?

Примеры решения

Задача 3.

Рассмотрим множество Q всех рациональных точек отрезка [a, b], занумерованных произвольным образом, т.е. Q= = {r₁, r₂, ...}. Поставим в соответствие каждой непрерывной на [a, b] функции f последовательность действительных чисел f(r₁), f(r₂), ... Так как непрерывная функция на [a, b] полностью определяется своими значениями в точках множества Q, то тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех непрерывных функций на [a, b] и частью множества всех последовательностей действительных чисел. Значит, в силу результатов задач 11–13 п. 4, мощность множества всех непрерывных функций на [a, b] не больше мощности континуума. С другой стороны, она не может быть меньше мощности континуума, так как все функции, постоянные на [a, b], уже образуют множество мощности континуума. Для завершения доказательcтва остается применить теорему Кантора-Бернштейна.

Нечеткие множества. Основные понятия

Классическая теория множеств зародилась в начале XX века в трудах Кантора, а в 1965 году профессор Калифорнийского университера (Беркли) Лотфи А. Заде опубликовал работу “Нечеткие множества” (" Fuzzy Sets" ), в которой он расширил классическое понятие множества и заложил основы моделирования ин-теллектуальной деятельности человека.

Во многих прикладных задачах, решаемых с помощью теории множеств, бывает сложно однозначно и четко ограничить набор элементов, принадлежащих данному множеству, т.к. возникает противоречие между формальной природой математики и привычкой человека мыслить неопределенными, расплывчатыми погятиями. (Куча камней это сколько штук? 5 слонов – это много, 10 муравьев – это мало и т.д.). Заде удалось в определенной мере преодолеть это противоречие.

Дальнейшие работы профессора Л. Заде и его последователей заложили прочный фундамент новой теории и создали предпосылки для внедрения методов нечеткого управления в инженерную практику. Уже к 1990 году по этой проблематике опубликовано свыше 10000 работ, а число исследователей достигло 10000, причем в США, Европе и СССР по 200 - 300 человек, около 1000 – в Японии, 2000 - 3000 – в Индии и около 5000 исследователей в Китае. В последние 5 – 7 лет началось использование новых методов и моделей в промышленности. И хотя первые применения нечетких систем управления состоялись в Европе, наиболее интенсивно внедряются такие системы в Японии. Спектр приложений их широк: от управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена, управления грузовыми лифтами и доменной печью до стиральных машин, пылесосов и СВЧ-печей. При этом нечеткие системы позволяют повысить качество продукции при уменьшении ресурсов и энергозатрат и обеспечивают более высокую устойчивость к воздействию мешающих факторов по сравнению с традиционными системами автоматического управления.

Другими словами, новые подходы позволяют расширить сферу приложения систем автоматизации за пределы применимости классической теории. В этом плане любопытна точка зрения Л. Заде: " Я считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. В результате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Для того чтобы сказать что-либо существенное для проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований точности и допустить результаты, которые являются несколько размытыми или неопределенными".

Смещение центра исследований нечетких систем в сторону практических приложений привело к постановке целого ряда проблем таких, как новые архитектуры компьютеров для нечетких вычислений, элементная база нечетких компьютеров и контроллеров, инструментальные средства разработки, инженерные методы расчета и разработки нечетких систем управления и многое другое.

Пусть Е – универсальное множество, x – элемент E, а Р – некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству Р, определяется как множество упорядоченных пар A = {m_A(х) / х }, где m_A(х) – характеристическая функция, прини-мающая значение 1, если x удовлетворяет свойству Р, и 0 – в про-тивном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа “да-нет” относительно свойства Р. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A = {m_A(х) /х}, где m_A(х) – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [ 0, 1 ] ). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = { 0, 1 }, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E= {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M = [ 0, 1 ]; A – нечеткое множество, для которого m_A(x₁)=0, 3; m_A(x₂)=0; m_A(x₃)=1; m_A(x₄)=0, 5; m_A(x₅)=0, 9. Тогда A можно представить в виде:
A = { 0, 3 / x₁; 0 / x₂; 1 / x₃; 0, 5 / x₄; 0, 9 / x₅ } или
A = 0, 3/x₁ È 0/x₂ È 1/x₃ È 0, 5/x₄ È 0, 9/x₅, или

A =

x₁	x₂	x₃	x₄	x₅
0, 3			0, 5	0, 9

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒