Операции над нечеткими множествами

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 8Следующая ⇒

Включение. Пусть A и B – нечеткие множества на уни-версальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если " x Î E m_A(x) > m_B(x). Обозначение: A Ì B.

Равенство. A и B равны, если " xÎ E m_A(x) = m_B(x). Обозначение: A = B.

Дополнение. Пусть M = [0, 1], A и B – нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если
" xÎ E m_A(x) = 1 – m_B(x). Обозначение: B = или A = . Очевид-но, что . (Дополнение определено для M = [0, 1], но оче-видно, его можно определить для любого упорядоченного M).

Пересечение. A Ç B – наибольшее нечеткое подмно-жество, содержащееся одновременно в A и B;

m _A_Ç_B (x) = min{m_A(x), m_B(x)}.

Объединение.А È В – наименьшее нечеткое подмно-жество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности

m _A_È_B (x) = max {(m_A(x), m_B(x)}.

Разность. А \ B= А Ç с функцией принадлежности:

m_A\B(x) = min { m_A(x), 1 – m_B(x)}.

Например.

Пусть: A = 0, 4/ x₁È 0, 2/ x₂È 0/ x₃È 1/ x₄;

B = 0, 7/ x₁È 0, 9/ x₂ È 0, 1/ x₃È 1/ x₄;
C = 0, 1/ x₁ È 1/ x₂ È 0, 2/ x₃È 0, 9/ x₄.

Здесь:

1. A Ì B, т.е. A содержится в B, С несравнимо ни с A, ни с B.

2. A ¹ B ¹ C.

3. = 0, 6/ x₁ È 0, 8/ x₂ È 1/ x₃ È 0/ x₄;
= 0, 3/ x₁ È 0, 1/ x₂ È 0, 9/ x₃ È 0/ x₄.

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения m_A(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Рис. 1. Рис. 2

Рис. 3. Рис. 4.

На рис. 1 темная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. На Рис. 2 – 4 даны , A Ç , AÈ , соответственно.

Свойства операций È и Ç.

Пусть А, В, С – нечеткие множества, тогда выполняются следующие соотношения:

а) – коммутативность;

б) – ассоциативность;

в) – идемпотентность;

г) – дистрибутивность;

д) AÈ Æ = A, где Æ – пустое множество, т.е. m_Æ(x) = 0" xÎ E;

AÇ Æ = Æ;

AÇ E = A, где E – универсальное множество;

AÈ E = E;

е) – теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае AÇ Æ, AÈ ¹ E, что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств.

Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение A и B обозначается A× B и определяется так:

" xÎ E m_A_×_B (x) = m_A(x)m_B(x).

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А + В и определяется так:

" xÎ E m_A+В(x) = m _A(x) + m_B(x)-m_A(x)m_B(x).

Для операций {×, +} выполняются свойства:

· – коммутативность;

· – ассоциативность;

· A× Æ = Æ, A+Æ = A, A× E = A, A+E = E;

· – законы де Моргана.

Не выполняются:

· – идемпотентность;

· – дистрибутивность;

· а также A× = Æ, A+ = E.

Докажем первый закон де Моргана. Обозначим m_A(x) через a, m_B(x) через b. Тогда в левой части равенства для каждого элемента х имеем: 1– ab, а в правой, согласно формуле алгебраического сложения: (1– a) + (1– b) – (1 – a)(1 – b) = 1 – ab.

Докажем, что первое свойство дистрибутивности не выполня-ется, т.е. A× (B + C) ¹ (A× B) + (A× C). Для левой части имеем: a(b+c – bc) = ab + ac – abc; для правой: ab + ac – (ab)(ac) = ab + ac + a²bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a¹ a².

Замечание. При совместном использовании операций {È, Ç, +, × } выполняются свойства:

· А× (B È C) = (A× B) È (A × C);

· А× (B Ç C) = (A× B) Ç (A× C);

· А+(B È C) = (A+B) È (A+C);

· А+ (B Ç C) = (A+B) Ç (A+C).

Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A₁, A₂, ..., A_n – нечеткие подмножества универсальных множеств E₁, E₂, ..., E_n соответственно. Декартово произведение A = A₁´ A₂ ´ ...´ A_n является нечетким подмножеством множества E = E₁´ E₂ ´... ´ E_n с функцией принадлежности:

m_A(x₁, x₁, ..., x_n) = min{ m_A1(x₁), m_A2(x₂), ..., m_Ai(x_n) }.

Принцип обобщения

Принцип обобщения – одна из основных идей теории нечетких множеств – носит эвристический характер и используется для расширения области применения нечетких множеств на отображения. Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на множестве X со значением в множестве Y, если она каждому элементу xÎ X ставит в соответствие элемент yÎ Y со степенью принадлежности m_f(x, y). Нечеткая функция f определяет нечеткое отображение f: X Y.

Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком f: X®Y или нечетком f: X Y отображении для любого нечеткого множества А, заданного на Х, определяется нечеткое множество f(A) на Y, являющееся образом A.

Пусть f: X®Y заданное четкое отображение, а A = {m_A(x)/х}– нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:

m_f(A)(y) = ; yÎ Y,

где f^–1(y)={x | f(x) = y}.

В случае нечеткого отображения f: X Y, когда для любых xÎ X и yÎ Y определена двуместная функция принадлежности m_f(x, y), образом нечеткого множества А, заданного на Х, являет-ся нечеткое множество f( A ) на Y с функцией принадлежности m_f₍_A₎(y) = { min(m_A(x), m _f (x, y) }.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Пусть: A = 0, 4/ x₁È 0, 2/ x₂È 0/ x₃È 1/ x₄;

B = 0, 7/ x₁È 0, 9/ x₂ È 0, 1/ x₃È 1/ x₄;
C = 0, 1/ x₁ È 1/ x₂ È 0, 2/ x₃È 0, 9/ x₄.

Построить множества: а) AÇ B;

б) АÈ В;

в) А \ В; В \ А.

2. Для универсального множества E = {Запорожец, Жигули, Мерседес, Феррари} прямым методом построить нечеткие множества: а) “скоростные”;

б) “средние”;

в) “тихоходные”.

3. Пусть E = {1, 2, 3, ..., 100} и соответствует понятию “возраст“. Прямым методом построить нечеткие множества

а) “пожилой”;

б) “пора замуж”;

в) “призывник”,

и построить аппроксимирующую формулу для соответсивующих функций принадлежности.

4. В условиях задачи 2 построить нечеткие множества а) – в) косвенным методом на основе парных сравнений элементов Е.

ГЛАВА 2. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

И ФУНКЦИЯ ВЫБОРА

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 Следующая ⇒