Как обрабатывают двойные измерения?

При определении точности способов измерений и исследовании инструментов часто применяют метод двойных измерений, сущность которого заключается в том, что одну и ту же величину измеряют дважды, а результаты измерений обрабатывают с применением формул для истинных ошибок.

Пусть даны результаты двух рядов двойных равноточных измерений:

l_1, l_2, l₃, …, l_i

l´ ₁, l´ ₂, l´ ₃ , …, l´ _i, (i = 1, 2, 3, …n).

Обозначив разности двойных измерений через d₁, имеем

l´ ₁ - l₁ = d₁

l´ ₂ - l₂ = d₂

……….

l´ _n - l_n = d_n

Если бы все измерения были безошибочны, то разности d были бы равны нулю. Следовательно, разности двойных измерений можно рассматривать как истинные ошибки. Поэтому средняя квадратическая ошибка разности двойных измерений выразится как

 

Но

где m_l и m´ _l – средние квадратические ошибки l_i и l´ _i при i = 1, 2, …, n.

Полагая m_l = m´ _l = m, получим

 

или

 

 

Подставляя выражение (1) в (3), получим

 

Формула (4) дает выражение средней квадратической ошибки отдельного измерения из n двойных измерений при отсутствии систематических ошибок.

Если разности двойных измерений содержат постоянную ошибку, то ее необходимо предварительно исключить.

Если d₁, d₂, … d_n – истинные ошибки, то их сумма при значительном их количестве будет суммой постоянных ошибок разностей двойных измерений.

Обозначим среднюю величину из d_l через d₀, тогда

 

Случайную часть ошибок разностей двойных измерений обозначим через δ _i (i = 1, 2, 3, ….n); имеем

; (5)

 

δ _l в уравнениях (5) – вероятнейшие ошибки разностей, поэтому в соответствии с формулой Бесселя имеем

или

 

Чему равна абсолютная погрешность измерения линии длиной 80 м, если относительная погрешность равна 1/2000?

Относительная линейная невязка хода (сумма длин сторон хода) выражается простой дробью с единицей в числителе.

Она вычисляется по формуле:

 

В какой последовательности уравнивают превышения при обработке теодолитно-высотного хода?

Вычисляют средние значения h_ср прямых и обратных превышений по сторонам хода

h_{ср =} (h_{пр +} h_обр) / 2

 

Определяем сумму ∑ h_ср полученных превышений

Вычисляют теоретическое значение суммы превышений, равное разности известных отметок конечной и начальной точек хода, т.е

∑ h_т = Н_кон – Н_нач

 

Находят невязку хода

f_h = ∑ h_cр - ∑ h_т

и ее допустимое значение f_hдоп

 

Вычисляют поправки в превышения пропорционально длинам сторон хода d.

Находят исправленные превышения h_испр = h _ср + соответствующие поправки

 

Задание 2

Задача 1

Дано:

Дирекционный угол α _АВ = 48˚ 36, 2'

Правый угол при точке В (между сторонами АВ и ВС) β ₁ = 189˚ 59, 2'

Правый угол при точке С (между сторонами ВС и СD) β ₂ = 159˚ 28, 0'

Вычислить дирекционные углы линий ВС и СD.

 

Рисунок 1

 

Решение:

Дирекционные углы вычисляют по правилу: дирекционный угол последующей стороны равен дирекционному предыдущей стороны плюс 180˚ и минус горизонтальный угол, справа по ходу лежащий. Следовательно,

 

α _ВС = α _АВ + 180˚ - β ₁; α _CD = α _BC + 180˚ - β ₂;

 

α _АВ …….…… 48˚ 36, 2'

+ 180˚

__________

228˚ 36, 2'

- 189˚ 59, 2'

____________

α _BC ….…..… 38˚ 37, 0'

+ 180˚

____________

218˚ 37, 0'

- 159˚ 28, 0'

_____________

α _CD…………59˚ 09, 0'

 

Ответ: α _BC = 38˚ 37, 0' α _CD = 59˚ 09, 0'

 

 

Задача 2

Найти координатыХ_С и Y_С точки С (рис.1), если известны координаты Х_В и Y_В точки В, длина (горизонтальное проложение) d_BC линии ВС и дирекционный угол α _BC этой линии.

Дано:

Х_В = – 14, 02 м,

Y_В = + 627, 98 м,

d_BC = 239, 14 м

α _BC = 38˚ 37, 0'

 

Таблица 1. Перевод дирекционных углов в румбы. Знаки приращений координат

четверть	Значение дирекционного угла	Название румба	Формула перевода	Знаки приращений координат
∆ Х	∆ У
I	0˚ - 90˚	CВ	r = α	+	+
II	90˚ - 180˚	ЮВ	r = 180˚ - α	-	+
III	180˚ - 270˚	ЮЗ	r = α -180˚	-	-
IV	270˚ - 360˚	СЗ	r = 360˚ - α	+	-

 

Знаки вычисленных приращений координат определяют по названию румба, руководствуясь таблицей 1.

 

Решение:

 

Координаты токи С вычисляются по формулам:

Х_С = Х_В + ∆ Х_ВС; Y_С = Y_В + ∆ Y_ВС,

 

где ∆ Х_ВС и ∆ Y_ВС приращения координат, вычисляемые

 

∆ X_ВС = d_BC ∙ cos α _BC; ∆ X_ВС = 239, 14 ∙ cos 38˚ 37, 0' = 239, 14 * (+ 0, 781) = + 186, 85 м

 

∆ Y_ВС = d_BC ∙ sin α _BC; ∆ Y_ВС = 239, 14 ∙ sin 38˚ 37, 0' = 239, 14 * (+ 0, 624) = + 149, 25 м

 

Проверка полученных результатов: d_BC = √ ∆ X_ВС² + ∆ Y_ВС² = √ 186, 85² + 149, 25² = 239, 14

 

Приращения координат линии ВС найдены верно.

 

Находим координаты точки С:

 

– 14, 02 627, 98

Х_С = + 186, 85 Yс = + 149, 25

________ ________

+ 172, 83 + 777, 23

 

Ответ: Координаты точки С Х_С = + 172, 83 Yс = + 777, 23

 

Задание 3

 

По данным полевых измерений составить и вычертить топографический план строительной площадки в масштабе 1: 2000 с высотой сечения рельефа 1 м.

 

 

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

1. Для съемки участка на местности между двумя пунктами полигонометрии ПЗ8 и ПЗ 19 был проложен теодолитно-высотный ход. В нем измерены длины всех сторон (рис. 2), а на каждой точке хода – правый по ходу горизонтальный угол и углы наклона на предыдущую и последующую точки.

Рисунок 2 Схема теодолитно-высотного хода съемочного обоснования

 

Таблица 2. Результаты измерений углов и длин сторон хода

 

Номера точек хода	Измеренные углы (правые)	Длины сторон (горизонтальные проложения), м
˚	'
ПЗ8		59, 2	263, 02
I		58, 5
239, 21
II		20, 0
269, 80
III		02, 8
192, 98
ПЗ19		08, 2

 

Измерение углов производилось оптическим теодолитом 2Т30 с точностью отсчетов по шкаловому микроскопу 0, 5 '.

 

Координаты полигонометрических знаков ПЗ8 и ПЗ19 (т.е. начальной и конечной точек хода):

Х_ПЗ8 = – 14, 02 м,

Y_ПЗ8 = + 627, 98 м

Х_ПЗ19 = Х_С = + 172, 83

Y_ПЗ19 = Y_С = + 777, 23

Дирекционный угол направления ПЗ 7 – ПЗ 8 – α ₀ = α _АВ = 48˚ 36, 2'

Дирекционный угол стороны ПЗ 19 – ПЗ 20 – α _n = α _CD = 59˚ 09, 0'

Отметка ПЗ 8 – 148, 148

Отметка ПЗ 19 – 151, 430

 

 

Рисунок 3 Абрисы съемки зданий

 

 

Увязка углов хода.

Значения измеренных углов (из таблицы 2) записываем в графу 2 ведомости вычисления координат (табл. 3). В графе 4 записываем и подчеркиваем исходный дирекционный угол α ₀ (на верхней строке) и конечный дирекционный угол α _n (на нижней строке).

Вычисление координат точек теодолитного хода производим в следующей последовательности:

1. Вычисляем сумму измеренных углов Sb_пр.

Sb_пр. = ^β ПЗ 8 + ^β I + ^β II + ^β III + ^β ПЗ 19 =

330˚ 59, 2' + 50˚ 58, 5' +161˚ 20, 0' +79˚ 02, 8' + 267˚ 08, 2' = 889˚ 28, 7'

Результат записываем в графу 2.

 

 

2. Определяем теоретическую сумму углов:

Sb_теор = a₀ - a + 180°(n +1) – для правых по ходу углов;

где a_н и a_n – дирекционные углы начальной и конечной сторон хода;

n – число сторон хода = 5.

 

Sb_теор = α ₀ - α _n + 180^˚ · n = 48˚ 36, 2' - 59˚ 09, 0' +180 ^˚ · 5 = 889˚ 27, 2'

Результат записываем в графу 2.

 

3. Находим угловую невязку хода f_b по формуле

f_b = Sb_пр - Sb_теор,

где Sb_теор – теоретическое значение суммы углов хода.

f_b = 889˚ 28, 7' - 889˚ 27, 2' = 0˚ 01, 5'

Результат записываем в графу 2.

 

4. Вычисляем допустимую угловую невязку f_bдоп. по формуле

 

5. Если полученная угловая невязка ½ f_b½ £ f_bдоп, то ее распределяют с противоположным знаком поровну на все измеренные углы в виде поправки d_b = - f_b/n, округляя до 0, 1¢, в нашем случае

d_b = - 0˚ 01, 5' / 5= - 0, 3'

Если f_b не делится без остатка на n, то большую по абсолютной величине поправку вводят в углы с самыми короткими сторонами. Для контроля подсчитывают сумму поправок в углы. Она должна быть точно равна невязке f_b, взятой с обратным знаком.

 

6. По формуле b_испр = b_изм + d_b вычисляем исправленные углы.

^bиспрПЗ 8 = 330˚ 59, 2' + (- 0, 3') = 330˚ 58, 9'

^bиспр I = 50˚ 58, 5' + (- 0, 3') = 50˚ 58, 2'

^bиспр II = 161˚ 20, 0' + (- 0, 3') = 161˚ 19, 7'

^bиспр III = 79˚ 02, 8' + (- 0, 3') = 79˚ 02, 5'

^bиспрПЗ 19 = 267˚ 08, 2' + (- 0, 3') = 267˚ 07, 9'

 

Исправленные углы записываем в графу 3 ведомости.

 

7. Сумма исправленных углов Sb_испр должна точно равняться теоретической сумме углов хода Sb_теор:

Sb_испр = Sb_теор.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A. Какой заголовок подходит к данному тексту?
2. BIM как частный случай PLM. Жизненный цикл продукта, жизненный цикл строительного проекта.
3. I) индивидуальная монополистическая деятельность, которая проявляется как злоупотребление со стороны хозяйствующего субъекта своим доминирующим положением на рынке.
4. I. Какое из данных утверждений выражает основную идею текста?
5. I. Логистика как системный инструмент.
6. I. Понятие как форма мышления
7. I. Предмет, метод и специфика административного права как отрасли права
8. I. Теоретические основы использования палочек Кюизенера как средство математического развития дошкольников.
9. I. Флагелляция как метод БДСМ
10. II. В каком абзаце есть ответ на поставленный вопрос.
11. II. КАК ВЫЗДОРОВЕТЬ ОТ НЕИЗЛЕЧИМОЙ БОЛЕЗНИ ЗА ОДИН ДЕНЬ.
12. II. Суждение как форма мышления