Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

или

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Заметим, что в данных дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных.

Для решения такого дифференциального уравнения необходимо домножить или разделить обе части дифференциального уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили только функции от и , в другую часть уравнения - только функции от , . Затем в полученном дифференциальном уравнении надо проинтегрировать обе части:

Следует заметить, что при делении обеих частей дифференциального уравнения на выражение, содержащее неизвестные и , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль.

Обратим внимание, что дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к интегрированию. В общем случае получаем получаем два неопределенных интеграла.

Пример 1 - решить дифференциальное уравнение

Заметим, что в дифференциальном уравнении можно разделить переменные, т.е. получаем, дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

 

Однородные!

 

Решить дифференциальное уравнение

Решение:
Что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.

В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т.д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя .

Возникает вопрос – как же решить этот диффур?

Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:

В исходное уравнение:

вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем:

Буква лямбда – это некоторый абстрактный числовой параметр, дело не в самих лямбдах, и не в их значениях, а дело вот в чём:

Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «лямбды» (т.е. получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение является однородным.

Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:

Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:

Обе части уравнения можно сократить на эту самую лямбду:

В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.

Вывод: Данное уравнение является однородным

Поначалу рекомендую проводить рассмотренную проверку на черновике, хотя очень скоро она будет получаться и мысленно.

В 19-ти случаях из 20-ти решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла.

Ответ: общий интеграл:

 

ОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ.

6-

 

Элементарное событие

В теории вероятностей элементарные события или события-атомы — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Множество всех элементарных событий обычно обозначается .

Всякое подмножество множества элементарных событий называется случайным событием. Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом .

В определении вероятностного пространства на множестве случайных событий вводится сигма-аддитивная конечная мера, называемая вероятностью.

Элементарные события могут иметь вероятности, которые строго положительны, нули, неопределенны, или любая комбинация из этих вариантов. Например, любое дискретноевероятностное распределение определяется вероятностями того, что может быть названо элементарными событиями. Напротив, все элементарные события имеют вероятность нуль длянепрерывного распределения. Смешанные распределения, не будучи ни непрерывными, ни дискретными, могут содержать атомы, которые могут мыслиться как элементарные (то естьсобытия-атомы) события с ненулевой вероятностью. В теории меры в определении вероятностного пространства вероятность произвольного элементарного события не могла быть определена до тех пор, пока математики не увидели различие между пространством исходов S и событиями, которые представляют интерес, и которые определяются как элементы σ -алгебры событий из S.

Формально говоря, элементарное событие — это подмножество пространства исходов случайного эксперимента, которое состоит только из одного элемента; то есть элементарное событие — это всё ещё множество, но не сам элемент. Однако элементарные события обычно записываются как элементы, а не как множества с целью упрощения, когда это не может вызвать недоразумения.

Примеры

Примеры пространств исходов эксперимента, , и элементарных событий:

§ Если объекты счётны, а пространство исходов (натуральные числа), то элементарные события — это любые множества , где .

§ Если монета бросается дважды, , для орла, а для решки, то элементарные события: , , и .

§ Если — это нормально распределенные случайные величины, , реальные числа, то элементарные события — любые множества , где . Этот пример показывает, что непрерывное вероятностное распределение не определяется вероятностями событий-атомов, поскольку здесь вероятности всех элементарных событий равны нулю.

Случа́ йное собы́ тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате случайного эксперимента, называется невозможным и обозначается символом . Случайное событие, которое всегда реализуется в результате случайного эксперимента, называется достоверным и обозначается символом .

Аксиоматическое определение вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий Е и каждому событию А Е поставлено в соответствие единственное число Р ( А ) такое, что:

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события А.

Аксиоматическое определение вероятности.

Def: говорят, что на алгебре событий F задана вероятность. Распределение вероятностей, если каждому событию поставлено в соответствие число Р(А), называют вероятностью события А так, что выполнены аксиомы:

1)

2)

3) Если A1…Ak попарно несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей.

Поскольку , то .

Следовательно, .

Доказательство

Так как в результате независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие наступает с вероятностью , следовательно противоположное ему событие с вероятностью .

Обозначим — наступление события в испытании с номером . Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате опытов событие наступает раз, тогда остальные раз это событие не наступает. Событие может появиться раз в испытаниях в различных комбинациях, число которых равноколичеству сочетаний из элементов по . Это количество сочетаний находится по формуле:

.

При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

.

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:

, где .

 

14 – ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА.

Реальное содержание понятия « случайная величина » может быть выражено с помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать буквами

Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина , если указано конечное или счетное множество чисел

и каждому из этих чисел поставлено в соответствие некоторое положительное число , причем

Числа называются возможными значениями случайной величины , а числа - вероятностями этих значений ( ).

Таблица

называется законом распределения дискретной случайной величины .

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины .

Если возможными значениями дискретной случайной величины являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

X	x1	x2	...	xn
P	p1	p2	...	pn

Пример 2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 тыс. тенге и десять выигрышей по 1тыс. тенге. Найти закон распределения случайных величин Х- стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение: Напишем возможные значения х: х₁=50, х₂=1, х₃=0. Вероятности этих возможных значений таковы: Р₁=1/100=0, 01, Р₂=10/100=0, 1, Р₃=89/100=0, 89. Напишем искомый закон распределения:

X
P	0.01	0.1	0.89

Контроль: 0, 01+0, 1+0, 89=1.

НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА

 

Рассмотрим сначала вспомогательные теоремы: лемму и неравенство Чебышева, с помощью которых легко доказывается закон больших чисел в форме Чебышева.

Лемма (Чебышев).

Если среди значений случайной величины Х нет отрицательных, то вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, превосходящее положительное число А, не больше дроби, числитель которой — математическое ожидание случайной величины, а знаменатель - число А:

.

Доказательство. Пусть известен закон распределения случайной величины Х:

(i = 1, 2, ..., ), причем значения случайной величины мы считаем расположенными в возрастающем порядке.

По отношению к числу А значения случайной величины разбиваются на две группы: одни не превосходят А, а другие больше А. Предположим, что к первой группе относятся первые значений случайной величины ( ).

 

Так как , то все члены суммы неотрицательны. Поэтому, отбрасывая первые слагаемых в выражении получим неравенство:

Поскольку

,

то

Далее,

что и требовалось доказать.

Случайные величины могут иметь различные распределения при одинаковых математических ожиданиях. Однако для них лемма Чебышева даст одинаковую оценку вероятности того или иного результата испытания. Этот недостаток леммы связан с ее общностью: добиться лучшей оценки сразу для всех случайных величин невозможно.

 

Неравенство Чебышева.

Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания превзойдет по абсолютной величине положительное число , не больше дроби, числитель которой - дисперсия случайной величины, а знаменатель - квадрат

Доказательство. Поскольку случайная величина, которая не принимает отрицательных значений, то применим неравенство из леммы Чебышева для случайной величины при :

 

Далее:

что и требовалось доказать.

 

Следствие. Поскольку

,

и

,

то

- другая форма неравенства Чебышева

Примем без доказательства факт, что лемма и неравенство Чебышева верны и для непрерывных случайных величин.

Неравенство Чебышева лежит в основе качественных и количественных утверждений закона больших чисел. Оно определяет верхнюю границу вероятности того, что отклонение значения случайной величины от ее математического ожидания больше некоторого заданного числа. Замечательно, что неравенство Чебышева дает оценку вероятности события для случайной величины, распределение которой неизвестно, известны лишь ее математическое ожидание и дисперсия.

 

Теорема. (Закон больших чисел в форме Чебышева)

Если дисперсии независимых случайных величин ограничены одной константой С, а число их достаточно велико, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдет по абсолютной величине данного положительного числа , каким бы малым оно ни было:

.

Теорему примем без доказательства.

Следствие 1. Если независимые случайные величины имеют одинаковые, равные , математические ожидания, дисперсии их ограничены одной и той же постоянной С, а число их достаточно велико, то, сколько бы мало на было данное положительное число , как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от не превзойдет по абсолютной величине .

 

То, что за приближенное значение неизвестной величины принимают среднюю арифметическую результатов достаточно большого числа ее измерений, произведенных в одних и тех же условиях, можно обосновать этой теоремой. Действительно, результаты измерений являются случайными, так как на них действует очень много случайных факторов. Отсутствие систематических ошибок означает, что математические ожидания отдельных результатов измерений одинаковые и равны . Следовательно, по закону больших чисел средняя арифметическая достаточно большого числа измерений практически будет как угодно мало отличаться от истинного значения искомой величины.

(Напомним, что ошибки называются систематическими, если они искажают результат измерения в одну и ту же сторону по более или менее ясному закону. К ним относятся ошибки, появляющиеся в результате несовершенства инструментов (инструментальные ошибки), вследствие личных особенностей наблюдателя (личные ошибки) и др.)

 

Следствие 2. (Теорема Бернулли.)

Если вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний постоянна, а их число достаточно велико, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что частота появления события как угодно мало отличается от вероятности его появления:

Теорема Бернулли, утверждает, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

 

На практике сравнительно редко встречаются опыты, в которых вероятность появления события в любом опыте неизменна, чаще она разная в разных опытах. К схеме испытаний такого типа относится теорема Пуассона:

Следствие 3. (Теорема Пуассона.)

Если вероятность появления события в -ом испытании не меняется, когда становятся известными результаты предыдущих испытаний, а их число достаточно велико, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что частота появления события как угодно мало отличается от средней арифметической вероятностей :

Теорема Пуассона утверждает, что частота события в серии независимых испытаний стремится к среднему арифметическому его вероятностей и перестает быть случайной.

В заключение заметим, что ни одна из рассмотренных теорем не дает ни точного, ни даже приближенного значения искомой вероятности, а указывается лишь нижняя или верхняя граница ее. Поэтому, если требуется установить точное или хотя бы приближенное значение вероятностей соответствующих событий, возможности этих теорем весьма ограничены.

Приближенные значения вероятностей при больших значениях можно получить только с помощью предельных теорем. В них или на случайные величины налагаются дополнительные ограничения (как это имеет место, например, в теореме Ляпунова), или рассматриваются случайные величины определенного вида (например, в интегральной теореме Муавра—Лапласа).

Теоретическое значение теоремы Чебышева, являющейся весьма общей формулировкой закона больших чисел, велико. Однако если мы будем применять ее при решении вопроса о возможности применить закон больших чисел к последовательности независимых случайных величин, то при утвердительном ответе теорема часто будет требовать, чтобы случайных величин было гораздо больше, чем необходимо для вступления в силу закона больших чисел. Указанный недостаток теоремы Чебышева объясняется общим характером ее. Поэтому желательно иметь теоремы, которые точнее указывали бы нижнюю (или верхнюю) границу искомой вероятности. Их можно получить, если наложить на случайные величины некоторые дополнительные ограничения, которые для встречающихся на практике случайных величин обычно выполняются.

 

26 – ВЫБОРОЧНАЯ СРЕДНЯЯ И ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ

Иногда исследователь ставит перед собой более конкретную проблему: как, основываясь на выборке, оценить интересующие его числовые характеристики неизвестного распределения, не прибегая к приближению этого распределения как такового, то есть без построения выборочных функций распределения, гистограмм и т.п.

В данном параграфе мы обсудим простые (но, как увидим в дальнейшем, весьма хорошие) выборочные аппроксимации для математического ожидания и дисперсии. Замечательно то, что они применимы в очень общей ситуации. Мы будем предполагать, что независимая выборка взята из неизвестного распределения, у которого существует математическое ожидание и дисперсия (обозначим эти неизвестные значения через и соответственно).

Определение 6.2

Величины, вычисляемые по выборке,

(29)

и

(30)

называются выборочным средним и выборочной дисперсией.

Следует особо подчеркнуть, что определенные выше величины зависят только от выборки. Следующее предложение объясняет, почему естественно считать выборочным аналогом математического ожидания, а -- выборочным аналогом дисперсии.

Предложение 6.1

Математические ожидания и совпадают с оцениваемыми неизвестными величинами:

(31)

Дисперсия стремится к нулю при росте объема выборки.

Доказательство.

Используя линейность математического ожидания, получим

Так как выборка независимая, то . Следовательно, при .

Покажем теперь, что . Первое замечание состоит в том, что не зависит от сдвига всех элементов выборки на одну и ту же константу, то есть, значения выражения (30) для выборок и одинаковы. Поэтому без ограничения общности мы будем считать, что . При этом предположении

Теперь, проводя очевидные преобразования и применяя свойства математического ожидания, легко получаем необходимое утверждение

			(32)

Это утверждение свидетельствует о том, что и являются ``качественными приближениями'' для неизвестных величин и . Свойство (31) называетсянесмещенностью. Тот факт, что дисперсия исчезает с увеличением объема выборки дает основание для вывода о том, что, чем больше данных измерений мы возьмем для статистической обработки, тем точнее будут наши выводы.

Замечание 6.4

Для оценивания дисперсии по выборке может быть использована также функция

Формально ее можно получить, заменив в определении дисперсии оператор математического ожидания средним арифметическим. Ясно, что величина в отличие от является смещенной: . Хотя для больших выборок эта смещенность не очень существенна.

Предложение 6.2

При росте объема выборки

Доказательство.

Как и при доказательстве Предложения 6.1 без ограничения общности будем считать, что . При этом предположении . Из (32) вытекает, что

(33)

Применяя закон больших чисел в форме Хинчина к последовательности , имеем

В силу предположения по закону больших чисел при . Следовательно (см. Упражнение 2.10), . Отсюда вытекает, что .

Замечание 6.5

Здесь мы воспроизводим замечание о вычислениях, приведенное в [12, с. 116]. Из соотношения (33) вытекает следующее представление для :

(34)

Математически формулы (30) и (34) дают одно и то же значение. Но, если нам необходимовручную вычислить выборочную дисперсию, то следует это делать только по формуле (30), так как вычисления по формуле (34) потребовали бы учета намного большего числа значащих цифр, чем в случае применения формулы (30).

Имеется большое число практически важных приемов, призванных облегчить вычислительную работу с конкретными числовыми выборками. Для знакомства с ними рекомендуем читателю обратиться к книге [11].

В настоящее время существует много прикладных компьютерных программ, которые можно и нужно использовать для обработки числовых данных. С некоторыми наиболее популярными специализированными статистическими пакетами (Stadia, StatGraphics) можно познакомиться по книге [13], к которой также приводится их сравнение. Для статистической обработки небольших массивов данных вполне подойдет любой хороший универсальный математический пакет (Mathematica, Maple, Matlab).

Пример 6.5

Вычислим выборочное среднее и выборочную дисперсию для числовых данных Примера 6.4 на странице . Подставив данные в формулы (29) и (30), найдем для выборки

и для выборки

Полезной величиной является также корень из выборочной дисперсии как оценка среднеквадратичного уклонения:

27 – Интервальная оценка параметров распределения. Доверительный интервал.

Сущность задачи интервального оценивания параметров

Интервальный метод оценивания параметров распределения случайных величин заключается в определении интервала (а не единичного значения), в котором с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра. Интервальная оценка характеризуется двумя числами – концами интервала, внутри которого предположительно находится истинное значение параметра. Иначе говоря, вместо отдельной точки для оцениваемого параметра можно установить интервал значений, одна из точек которого является своего рода " лучшей" оценкой. Интервальные оценки являются более полными и надежными по сравнению с точечными, они применяются как для больших, так и для малых выборок. Совокупность методов определения промежутка, в котором лежит значение параметра Т, получила название методов интервального оценивания. К их числу принадлежит метод Неймана.

Постановка задачи интервальной оценки параметров заключается в следующем [3, 11].

Имеется: выборка наблюдений (x₁, x₂, …, x_n) за случайной величиной Х. Объем выборки n фиксирован.

Необходимо с доверительной вероятностью g = 1– a определить интервал t₀ – t₁ (t₀ < t₁), который накрывает истинное значение неизвестного скалярного параметра Т(здесь, как и ранее, величина Т является постоянной, поэтому некорректно говорить, что значение Т попадает в заданный интервал).

Ограничения: выборка представительная, ее объем достаточен для оценки границ интервала.

123456Следующая ⇒

Поделиться: