ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА.

 

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса ( формулой Бейеса ). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как - априорными вероятностями.

 

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

 

13 – ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.

 

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: , где .

Доказательство

Так как в результате независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие наступает с вероятностью , следовательно противоположное ему событие с вероятностью .

Обозначим — наступление события в испытании с номером . Так как условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в результате опытов событие наступает раз, тогда остальные раз это событие не наступает. Событие может появиться раз в испытаниях в различных комбинациях, число которых равноколичеству сочетаний из элементов по . Это количество сочетаний находится по формуле:

.

При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:

.

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим окончательную Формулу Бернулли:

, где .

 

14 – ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА.

Реальное содержание понятия « случайная величина » может быть выражено с помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать буквами

Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина , если указано конечное или счетное множество чисел

и каждому из этих чисел поставлено в соответствие некоторое положительное число , причем

Числа называются возможными значениями случайной величины , а числа - вероятностями этих значений ( ).

Таблица

называется законом распределения дискретной случайной величины .

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины .

Если возможными значениями дискретной случайной величины являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

X	x1	x2	...	xn
P	p1	p2	...	pn

Пример 2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 тыс. тенге и десять выигрышей по 1тыс. тенге. Найти закон распределения случайных величин Х- стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение: Напишем возможные значения х: х₁=50, х₂=1, х₃=0. Вероятности этих возможных значений таковы: Р₁=1/100=0, 01, Р₂=10/100=0, 1, Р₃=89/100=0, 89. Напишем искомый закон распределения:

X
P	0.01	0.1	0.89

Контроль: 0, 01+0, 1+0, 89=1.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: