ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

 

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид .

Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях и является решением этого уравнения.

Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Уравнение будем называть линейным неоднородным уравнением.

Определение. Уравнение , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.

Известно, что квадратное уравнение имеет решение, зависящее от дискриминанта : , т.е. если , то корни и - действительные различные числа. Если , то . Если же , т.е. , то будет мнимым числом, а корни и - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Дискриминант этого квадратного уравнения , поэтому .

Покажем, как по виду корней характеристического уравнения найти общее решение однородного линейного уравнения второго порядка.

Если - действительные корни характеристического уравнения, то .

Если корни характеристического уравнения одинаковы, т.е. , то общее решение дифференциального уравнения ищут по формуле или .

Если же характеристическое уравнение имеет комплексные корни , то .

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: . Его корни , действительны и различны. Поэтому общее решение .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение или имеет корни . Так что .

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение данного однородного линейного уравнения мы уже решили выше в примере 4. Корни этого уравнения , поэтому общее решение линейного однородного уравнения находим по формуле , где , . Итак, .

Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнения вида , записывается в виде , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, а - какое-либо частное решение неоднородного уравнения.

Укажем способ, позволяющий найти частное решение неоднородного уравнения по виду правой части. Заметим, что это возможно лишь в случаях, когда правая часть уравнения является функцией определенного вида.

1. Пусть , где - некоторое число, не равное нулю. Тогда

если, , , то частное решение уравнения ищут в виде , где - неизвестное число, которое находят, подставляя в неоднородное уравнение;

если , а , то в этом случае частное решение ищут в виде ;

наконец, если и и , т.е. , то .

2. Если , где – многочлен степени , то

при , решение ищут, просто «передразнивая» правую часть, т.е. , как и правая часть, должна представлять собой произведение многочлена той же степени, что и в правой части уравнения, но с неопределенными коэффициентами, и , т.е. . В частности, если , то ;

при , частное решение ищут в виде ;

при находим по формуле .

2. Пусть теперь , т.е. в правой части уравнения находится многочлен некоторой степени или некоторое число (если степень многочлена нулевая). Тогда мы можем воспользоваться формулами, рассмотренными выше, полагая в них . (Действительно и, очевидно, ).

Таким образом, имеем:

если , , то ;

если , , то ;

если , то .

Пример 8. Решить уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение соответствующего данному уравнению однородного уравнения : . Корни этого уравнения и действительны и различны, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид . Составим частное решение неоднородного уравнения по виду правой части: . Среди корней характеристического уравнения нет равных числу . Поэтому ищем частное решение в виде , где - неопределенный коэффициент, который находим, подставляя в исходное уравнение. Найдем , и подставим , и в уравнение. Имеем . Далее соберем подобные в левой части уравнения и разделим обе части уравнения на : , откуда . Подставим найденное в . Тогда .

Складывая общее решение однородного уравнения и найденное частное решение неоднородного уравнения, получим : .

Пример 9. Решить уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения . Получим квадратное уравнение .

Его корни , , так что общее решение однородного уравнения получим в виде .

Правая часть уравнения представляет собой многочлен нулевой степени или число, равное трем. В этом случае, «передразнивая» правую часть, мы должны и решение неоднородного уравнения искать в виде числа. Но среди корней характеристического уравнения имеется , поэтому .

Найдем неизвестный коэффициент , подставляя в уравнение. Для этого найдем и : , . Тогда получим и , а общее решение неоднородного уравнения получим, складывая и . Окончательно .

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: