ОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ.

6-

 

ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

Пространство элементарных событий — множество всех различных исходов случайного эксперимента.

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий , элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых вконечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

§ алгебра конечных подмножеств ;

§ сигма-алгебра счётных подмножеств ;

§ алгебра подмножеств , образованная конечными объединениями интервалов;

§ сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства , то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества ;

§ алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.

Элементарное событие

В теории вероятностей элементарные события или события-атомы — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Множество всех элементарных событий обычно обозначается .

Всякое подмножество множества элементарных событий называется случайным событием. Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом .

В определении вероятностного пространства на множестве случайных событий вводится сигма-аддитивная конечная мера, называемая вероятностью.

Элементарные события могут иметь вероятности, которые строго положительны, нули, неопределенны, или любая комбинация из этих вариантов. Например, любое дискретноевероятностное распределение определяется вероятностями того, что может быть названо элементарными событиями. Напротив, все элементарные события имеют вероятность нуль длянепрерывного распределения. Смешанные распределения, не будучи ни непрерывными, ни дискретными, могут содержать атомы, которые могут мыслиться как элементарные (то естьсобытия-атомы) события с ненулевой вероятностью. В теории меры в определении вероятностного пространства вероятность произвольного элементарного события не могла быть определена до тех пор, пока математики не увидели различие между пространством исходов S и событиями, которые представляют интерес, и которые определяются как элементы σ -алгебры событий из S.

Формально говоря, элементарное событие — это подмножество пространства исходов случайного эксперимента, которое состоит только из одного элемента; то есть элементарное событие — это всё ещё множество, но не сам элемент. Однако элементарные события обычно записываются как элементы, а не как множества с целью упрощения, когда это не может вызвать недоразумения.

Примеры

Примеры пространств исходов эксперимента, , и элементарных событий:

§ Если объекты счётны, а пространство исходов (натуральные числа), то элементарные события — это любые множества , где .

§ Если монета бросается дважды, , для орла, а для решки, то элементарные события: , , и .

§ Если — это нормально распределенные случайные величины, , реальные числа, то элементарные события — любые множества , где . Этот пример показывает, что непрерывное вероятностное распределение не определяется вероятностями событий-атомов, поскольку здесь вероятности всех элементарных событий равны нулю.

Случа́ йное собы́ тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате случайного эксперимента, называется невозможным и обозначается символом . Случайное событие, которое всегда реализуется в результате случайного эксперимента, называется достоверным и обозначается символом .

Аксиоматическое определение вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий Е и каждому событию А Е поставлено в соответствие единственное число Р ( А ) такое, что:

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события А.

Аксиоматическое определение вероятности.

Def: говорят, что на алгебре событий F задана вероятность. Распределение вероятностей, если каждому событию поставлено в соответствие число Р(А), называют вероятностью события А так, что выполнены аксиомы:

1)

2)

3) Если A1…Ak попарно несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей.

Поскольку , то .

Следовательно, .

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: