Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Понятие множества. Логическая символика
Множество – любая совокупность объектов, называемых элементами множества. Примеры множеств – множество студентов академии, факультета, набор трех уравнений, множество всех целых чисел. Множества обозначаются заглавными буквами, а элементы – строчными; – х элемент множества X; – x не является элементом множества X. – множество Х состоит их элементов . Пусть Х и Y – два множества. Если они состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают, то есть Х=Y. Если каждый элемент множества Х является элементом множества Y, то (Х содержится в Y) и Х – подмножество Y. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым . Пусть Х – множество, имеющее свойство Р(х), тогда обозначает совокупность тех элементов Х, которые обладают свойством Р(х). Объединением множеств А и В называется множество . Пересечением множеств А и В называется множество . Разностью множеств А и В называется множество .
Верхняя и нижняя границы множества.
Говорят, что множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число С такое, что для любого выполнено . С – верхняя (нижняя) грань множества Х. С=sup X – верхняя, C=inf X – нижняя.
Логическая символика. Пусть - некоторые утверждения. Тогда – не , то есть отрицание утверждения . - из следует ; – эквивалентно ; - и - конъюнкция; – или – дизъюнкция; для всякого элемента истинно утверждение . ( – квантор всеобщности); существует элемент такой, что для него истинно утверждение . ( – квантор существования). Принцип математической индукции: .
Числа. Натуральные числа 1, 2, 3, …- N. Целые числа – Z, Z0 –множество всех неотрицательных чисел (и 0). Q – множество рациональных чисел, x = m/n. I – множество иррациональных чисел R – множество действительных (вещественных) чисел, числовая прямая. Модуль: . Если , то ; это называются – окрестностью точки .
Понятие функции. Основные свойства функции
Часто приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. При изменении движения путь рассматривается как переменная, изменяющаяся в зависимости от времени. Путь – функция времени. Если радиус круга R принимает различные значения, то площадь тоже будет принимать различные значения. S – функция R. Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие определенный элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция . х – независимая переменная, y—зависимая переменная. Частные значения получаются, если аргументу х придавать частные значения. Пусть у = х2, при х=2 будет у=4, при х = –0, 6 у=0, 36 и так далее. Запись у(х)=4; у(-0, 6)=0, 36. Множество X – область определения (существования) функции, множество Y – область значений функции.
Способы задания функции
Три основных способа – аналитический, табличный, графический.
1. Аналитический способ состоит в том, что зависимость задается в виде формулы, указывающей, какие действия надо выполнить, чтобы получить значение функции . 2. Табличный способ заключается в том, что в определенном порядке записываются значения х и соответствующие значения у. Конечное число аргументов. 3. Графический способ часто используется в практике физических измерений. Аргументы – абсциссы, функция – ординаты. Следовательно, график F(x) – множество точек плоскости. Рассмотрим основные свойства функции 1. –функция чётная, – функция нечётная. Если функция не является ни чётной, ни нечётной, то говорят, что функция общего вида. 2. Монотонность. Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента из множества X соответствует большее значение функции ( , то ). Функция убывающая, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции ( , то ). 3. Ограниченность. Функция f(x) называется ограниченной на множестве X, если существует такое положительное число , что для любого . 4. Периодичность. Функция f(x) называется периодической с периодом , если выполняется равенство . Основные элементарные функции 1. Степенная. , где - действительное число. 2. Показательная: . 3. Логарифмическая: . 4. Тригонометрические: ; 5. Обратные тригонометрические функции: . 6. Сложная функция—функция вида , где . |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 436; Нарушение авторского права страницы