Элементарные функции. Классификация функций.

Элементарные функции – все функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью:

а) алгебраических действий и так далее;

б) операцией образования сложной функции.

Неэлементарные функции: ; (антье) целая часть числа х. [2, 3]=2; [–2, 5]=–3.

Элементарные функции можно разделить на алгебраические и трансцендентные (неалгебраические).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом производится конечное число алгебраических действий:

а) многочлен ;

б) дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов;

в) иррациональная функция (если есть корни).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной. К числу трансцендентных относиться тригонометрические, показательные, логарифмические и т.д.

 

 

Глава 6. Пределы и непрерывность

6.1. Предел числовой последовательности

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность . Числа – члены последовательности, – n-й член последовательности.

Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого числа найдётся такой номер N, что для всех членов последовательности с будет выполняться неравенство или .

Пусть , тогда . и т.д. С ростом n члены последовательности стремятся к 1, и величина разности становится все меньше. Тогда .

 

Предел функции в бесконечности и в точке

Предел функции в бесконечности

Число А называется пределом функции у= f(x) при х, стремящемся кбесконечности, если для любого, даже сколь угодно малогоположительного числа > 0, найдется такое положительное число , что для всех х таких, что > S, верно неравенство: и обозначается .

Рассмотрим предел функции в точке. Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к x₀, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа > 0, найдется такое положительное число > 0 , что для всех х, не равных x₀ и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство и обозначается . Если и , то это предел слева ; если и , то это предел справа .

 

 

Бесконечно малые величины

Функция называется бесконечно малой величиной при , если её предел равен 0, т.е. . Например, ; , если : .

Теорема. Если , то где – бесконечно малая при .

По условию . Это значит, что для любого , что для всех и удовлетворяющих верно . Обозначив , получим . Это означает, что – бесконечно малая при .

Обратная теорема. Если (бесконечно малой), то .

По условию . Т.к. - бесконечно малая при , то , что для всех и удовлетворяющих верно .

это означает, что .

Свойства бесконечно малых величин:

1. Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на константу есть величина бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от 0, есть величина бесконечно малая.

Замечание. Пусть и две бесконечно малые величины. В этом случае их отношение называется неопределенностью и требует дальнейших вычислений.

Сравнение бесконечных малых.

Пусть имеется несколько бесконечно малых величин α (х), β (х), γ (х).

1. Если β /a имеет конечный и не равный нулю предел, т.е. lim β /α =A≠ 0 и lim α /β ≠ 0, то бесконечно малые β и α называются бесконечно малыми одного порядка малости.

Пример. 2, x и sin2x – бесконечно малые одного порядка.

.

2. Если β / α → 0, то есть lim β / α =0 (а lim α /β = ∞ ), то β называют бесконечно малой величиной высшего порядка малости, чем бесконечно малая α , α – бесконечно малая низшего порядка, чем β . Запись – есть 0 малое от .

Пример. Α = х, β = , n> 1 x→ 0 = =0, – бесконечно малая величина высшего порядка, чем х.

3. Если β /α =А≠ 0, то β – бесконечно малая k-го порядка относительно бесконечно малой α .

Пример. есть бесконечно малая 3 порядка относительно х, т.к.

1.

4. Если lim 1, то α и β называются эквивалентными (равносильными) бесконечно малыми, .

, х ~ sin x при х→ 0. tgx~х; ln(1+x)~x.

Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если члены отношения заменить равносильными им величинами.

Пример. ;

3;

Несколько замечаний

1. a )если пределы существуют (≠ ∞, Lim x ≠ 1), то ответ очевиден.

Пример. ; ;

б ) ,

в )Если Lim x 1, а Lim y +∞, то необходимо применить второй замечательный предел

Пример.

2. и существует.

 

Пример.

.

 

Бесконечно большие величины

 

Функция ƒ (x) → при , то есть является бесконечно большой величиной при , если для каждого M > 0, как бы велико оно не было, можно найти такое δ > 0, что для всех , удовлетворяющих неравенству имеет место |ƒ (x)|> M. Запись: .

Свойства:

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

 

Замечание 1. Если и – бесконечно большие величины при , то – неопределенность . – неопределенность .

Теорема. Если – бесконечно малая при , то величина – бесконечно большая при и наоборот.

 

Основные теоремы о пределах

1. Предел алгебраической суммы конечного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных.

.

2. Предел произведения конечного числа переменных равен произведению пределов этих переменных.

.

Следствие.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел делителя отличен от нуля, , если .

4. Если , , то предел сложной функции .

5. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) , то .

6. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при , то функция имеет тот же предел.

Во всех этих теоремах предполагается существование пределов этих функций.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: