Интервалы монотонности. Признаки экстремума

Множество точек (х; у)координатной плоскости ХОУ, координаты которых связаны уравнением , называется графиком данной функции.

По производной функции можно судить о возрастании (убывании) самой функции. Напомним, что f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если для любых х₁ и х₂ из этого интервала из неравенства х₂> х₁ следует неравенство f(x₂)> f(x₁). Убывающей: х₂> x₁ => f(x₂)< f(x₁).

Теорема. Пусть f(x) определена на отрезке [а, b] и имеет непрерывную производную f’(x) внутри отрезка. Чтобы f(x) была возрастающей (убывающей), достаточно f’(x)> 0 (f’(x)< 0).

Рассмотрим возрастание. Возьмем два значения х₁ и х₂ ( ) из [a, b] и применим формулу Лагранжа: . Так как f’(c)> 0, и х₂> х₁, то f(x₂)> f(x₁) – возрастающая. Аналогично – убывающая.

Геометрический смысл – производная – угловой коэффициент касательной. Значение коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз.

 

Экстремумы функции

Функция f(x) имеет в т. х₀ максимум, если , где – достаточно малая по величине. Функция f(x) имеет в т. х₀ минимум, если .

Если в т. х₀ f(x) имеет max или min, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум.

Необходимое условие экстремума. Если существует конечная производная, то по теореме Ферма f’(x)=0.

Экстремумы необходимо искать в тех точках, где f’(x)=0или не существует. Такие точки называются стационарными (критическими).

Если допустить, что в отдельных точках нет конечной производной, то следует отнести к критическим и эти точки. Критические точки следует проверить, в них необязательно экстремум (у=х³, y’=3x², x=0, нет экстремума).

 

Первый достаточный признак экстремума.

Пусть т. х₀ является критической для f(x) , а f(x) непрерывна и дифференцируема во всех точках некоторого интервала, содержащего эту точку (за исключением, возможно, самой точки х₀). Тогда возможно:

1) при х< x₀ и при x> x₀, то есть производная при переходе через т. х₀ меняет знак с «+» на «–». Тогда при x< x₀ f(x) возрастает, а при x> x₀(в данном интервале) убывает, значит, значение f(x₀) будет наибольшим – в т. х₀f(x) имеет max.

2) при x< x₀, при x> x₀, то есть с «–» на «+» – min.

3) f’(x) не меняет знак при переходе через х₀. Тогда f(x) либо возрастает, либо убывает, экстремума нет.

Второй достаточный признак экстремума.

Пусть х₀ – критическая точка и , f(x) имеет вторую производную в интервале и в самой т. х₀. Тогда, если – max, – min.

По определению производной: . Если , то дробь > 0. При x< x₀ знаменатель < 0, (убывает) и при x> x₀ знаменатель > 0 (возрастает) – min по первому признаку. Аналогично – max, если .

Исследования по второму признаку производят редко.

 

 

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает max и min значения. Этих значений f(x) достигает или в критических точках или на концах отрезка.

Правило. Чтобы определить наибольшее и наименьшее значения f(x) на отрезке, надо:

1. Определить критические точки, принадлежащие ;

2. Вычислить значение функции в этих критических точках и на концах отрезка;

3. Выбрать наибольшее и наименьшее значения из полученных чисел.

 

Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

Кривая обращена выпуклостью вниз, если на интервале(a, b) она лежит выше касательной, проведенной в любой точке (вверх, если ниже касательной).

Дуги кривой, называют выпуклыми на интервале (a, b), если они лежат ниже касательной, проведенной в любой точке (a, b).Дуги кривой называют вогнутыми на (b, c), если они лежат выше касательных.

Правило. Интервалы, в которых кривая выпуклая, определяются из неравенства f’’(x)< 0, а интервалы, в которых вогнутая из неравенства f’’(x)> 0.

Точка перегиба – точка, отделяющая ее выпуклую дугу от вогнутой. Точки перегиба следует искать среди точек, в которых f’’(x)=0, f’’= или f’’ не существует.

При х=х₀ перегиб будет в том случае, когда при переходе через эту точку f’’(x) меняет знак.

 

Асимптоты графика функции

Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние d от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении т. М в бесконечность (от начала координат) стремится к нулю.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

1) Вертикальная: кривая имеет вертикальную асимптоту x=a, если . Необходимо отыскать те значения аргумента, при которых f(x) .

2) Наклонные: ищем асимптоту в виде y=kx+b. Найдем k и b.

Очевидно, что =0, или , так как , то , но , тогда , . Необходимо рассматривать случай (и Лопиталь). Если предел не существует, то асимптот нет. Иногда существует две асимптоты: и и аналогично b₁ и b₂.

 

Общий план исследования функции и построения графика.

1) Определение области существования функции.

2) Четность, нечетность функции.

3) Точки пересечения с осями, интервалы знакопостоянства.

4) Асимптоты.

5) Интервалы возрастания и убывания.

6) Экстремумы.

7) Интервалы выпуклости и вогнутости.

8) Точки перегиба.

 

Пример 1. у=16х³ + 12х² – 5

1. область существования – весь интервал .

2. f(-x)=16(-x)³+12(-x)²-5- общего вида [f(x) ]

3. точек разрыва нет.

4. асимптоты - нет.

5. y’=48x²+24x=24x(2x+1) убывает возрастает.

6. при переходе через х = –1/2 y’ меняет знак с «+» на «-» – max. y(–1/2)=–4, x=0 – min.

7. y’’=4x+1. y’’=0, x=-1/4. y’’< 0 при – выпуклая,

y’’> 0 при – вогнутая.

 

 

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться: