Производная сложной и обратной функций

Сложная функция

Пусть задана функция и функция , тогда называется сложной функцией.

Пример. ; ; ; ; ; и т.д.

Пусть эти функции – дифференцируемые. Пусть x получил приращение , тогда функции и получают приращение и . Рассмотрим . Перейдем к пределу (если , то ): .

 

Обратная функция

Пусть , будем считать y за аргумент, а x – за функцию. Тогда – обратная функция, может быть многозначной.

-обратная, – двузначная функция и т.д.

Если – монотонная функция, то существует непрерывная обратная функция . . Перейдя к пределу: или .

 

Геометрический смысл

 

 

(и оси OX)

(и оси OY)

,

 

 

Производные тригонометрических функций

а) y = sin x.

Воспользуемся схемой нахождения производной:

y=sin(x+ x) – sin x = 2 sin cos(x+ ). =

y'= .

(учли первый замечательный предел и непрерывность функции cos х).

Итак, и

б) y = cos x. .

и

в)

, т.е.

и

г) ; .

; .

 

Производная обратных тригонометрических функций

а) , где и .

Обратная функция имеет вид , причем , если .

Используем правила дифференцирования обратной функции

.

При производная не существует.

Итак, и .

б) . Поскольку , то ; .

Аналогично, ; .

; .

Производная показательной, логарифмической и степенной функций

Производная показательной функции

а) у = е^х.

Прологарифмируем обе части равенства по основанию е, получим ln у = х. Дифференцируя обе части по переменной х и учитывая, что ln у – сложная функция, получим (ln y)'=x ' или =1, откуда у' = у, т.е. (е^х)' = е^х и (е^u)' = е^u · и'.

Заметим, что кривая у= е^х, называемая экспонентой, обладает отличающим только ее свойством: в каждой точке х ордината кривой у=е^х равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к кривой в этой точке: e^х = tgα .

 

б) y=а^x.

y'=(a^х)'=[(e^{ln a})^х]'=(e^{x· ln a})' и по правилу дифференцирования сложной функции .

Итак, (a^х)'= а^х· lп а и (a^u)' = а^u· lп а· и'.

в) ; = . .

г) Производная степенной функции

Теперь мы можем доказать формулу производной степенной функции у = хⁿ длялюбого n. Действительно, ln y= n· ln х. Дифференцируя обе части равенства, получим , откуда у'=пу =пхⁿ =nх^n-1, (хⁿ)' = пх^n-1и (иⁿ)' = пи^n-1· и'.

 

Таблица производных

№ п/п	Функция у	Производная	№ п/п	Функция у	Производная

 

Производная гиперболических функций

 

Гиперболический синус:

Гиперболический косинус:

Гиперболический тангенс:

Гиперболический котангенс:

 

 

 

и т.д. аналогия с тригоном.

 

1. 
2. 
3. 
4. 

 

 

Логарифмическая производная. Производная неявной и параметрической функции

Логарифмическая производная

 

Производная степенно-показательной функции

. Найдем ln y=φ (x) ln f(x). Дифференцируя, получим

= φ '(х) ln f(x)+ φ (x)[1n f (x)]' = φ '(х) ln f (х) + .

Учитывая, что , получим после преобразований

.

Замечание . Производная логарифмической функции (ln y)’= называется логарифмической производной. Ее удобно использовать для нахождения производных функций, выражения которых существенно упрощаются при логарифмировании.

Пример 1. Вычислить .

Пример 2. .

Логарифмируем:

 

Производная неявной функции

Если задана неявная функция , то для вычисления производной надо взять производные от правой и левой частей, помня, что .

Например, .

.

 

Параметрическое задание функции

Пусть даны два уравнения .

Каждому значению t соответствует x и y на плоскости. Если , то эта точка описывает кривую на плоскости – кривая задана параметрически, t – параметр. , то .

Такое задание определяет , y от x задается параметрически. Используется в механике.

Производная. Ищем производную сложной функции:

- производная обратной функции.

Пример. . .

 

Дифференциал функции

Пусть и аргумент х получил приращение ∆ х. Тогда дифференциалом называется величина , но , поэтому – отношение дифференциалов.

Вычисление дифференциала функции называется ее дифференцированием, при этом вычисляется производная, поэтому процесс вычисления производной часто называется дифференцированием.

Дифференциал – главная линейная часть приращения функции.

Функция, обладающая дифференциалом, называется дифференцируемой.

У дифференцируемой функции производная должна быть конечной.

Свойства дифференциала

1. ;

2. ;

3. .

Найдем выражение для дифференциала сложной функции: , где . По правилу дифференцирования сложной функции: , то есть - инвариантность дифференциала – дифференциал сложной функции имеет такой же вид, как и для простой переменной.

Дифференциал широко применяется в приближенных вычислениях.

Дифференциал , если .

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: