Операции над классами. Объединение (сложение), пересечение (умножение), разность (вычитание), дополнение (отрицание) классов. Представление в соответствующих формулах и схемах.

Классом - называется определенная совокуп­ность предметов, имеющих некоторые общие признаки.

Из двух и более классов с помощью определенных операций можно образовать новый класс. Основными операциями над классами являются объединение классов (сложение), пересечение классов (умножение), образование дополнения к классу (отрицание) и вычитание класса (разность).

При рассмотрении операций над классами вводятся следующие обозначения:

А, В, С… - произвольные классы;

1 – универсальный класс;

0 – пустой класс;

– знак объединения классов (сложения);

∩ - знак пересечения классов (умножения);

А´ (не А) – дополнение к классу А.

Операции над классами иллюстрируются круговыми схемами, универсальный класс обозначается прямоугольником.

Объединением классов называется логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из таких объектов, каждый из которых является элементом, по крайней мере, одного из слагаемых классов. Полученный в результате сложения класс А В называется суммой.

А – класс депутатов Государственной Думы.

В – класс юристов.

А В – класс, содержащий всех депутатов Госдумы и всех юристов.

 

Пересечение классов (умножение) – логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из общих умножаемым классам элементов. Класс А ∩ В, полученный в результате умножения, называется произведением.

Например, произведением классов «студент» (А) и «шахматист» (В) является новый класс «студент-шахматист».

При умножении множеств, находящихся в отношении несовместимости, получается нулевой класс. Например, умножение классов «гуси» и «утки» дает пустое множество, так как нет таких объектов, которые одновременно были бы и гусями и утками.

Вычитание классов – логическая операция, в результате которой образуется новый класс, состоящий из элементов уменьшаемого класса, не принадлежащих вычитаемому классу.

А-В

А – класс «химический элемент»

В – класс «металл»

В результате вычитания получается класс, состоящий из химических элементов, не являющихся металлами.

Образование дополнения к классу (отрицание) – логическая операция, состоящая в образовании нового класса, не А (А´ ) который состоит из элементов универсального класса, не принадлежащих дополняемому классу А. Универсальный класс символически обозначается 1; графически – прямоугольником.

Чтобы образовать дополнение, нужно класс А исключить из универсального класса: 1-А=А´. Например, чтобы образовать дополнение к классу «студент», надо подвергнуть этот класс отрицанию. Полученный класс «не-студент» является дополнением к классу «студент». Класс студентов, сложенный с классом «не-студентов», образует универсальный класс учащихся.

10. Законы логики классов: определения, формулы.

Операции над классами подчиняются определенным законам. Обоснование отдельных законов производится с помощью круговых схем; при этом каждому классу на круговой схеме соответствует определенная плоскость. Результат операции, выполняемой в первую очередь, на схемах заштриховывается горизонтальной линией, последующие – вертикальной.

Законы сложения и умножения

1. Закон подобия (идемпотентности) – класс, сложенный сам с собою, или умноженный на себя, равен самому себе.

A A=A (сложение)

А ∩ А=А (умножение) Пример: класс счастливчиков; класс студентов.

2. Закон коммутативности – результат сложения и умножения двух классовне зависит от того, в каком порядке берутся эти классы.

A В= В A

А ∩ В= В ∩ А

3. Закон ассоциативности – результат сложения и умножения более чем двух классов не зависит от порядка выполнения действий.

A (В С)= (А В) С

А ∩ (В ∩ С)= (А ∩ В) ∩ С.

4а. Закон поглащения (элиминации) для сложения относительно умножения – сумма какого-либо класса и произведения двух классов, одним из сомножителей которого является этот класс, равна этому классу.

A (А ∩ В) = А

 

= А

 

4б. Закон поглащения (элиминации) для умножения относительно сложения – произведение какого-либо класса и суммы двух других классов, одним из слагаемых которой является этот класс, равно умножаемому классу.

А ∩ (А В) = А.

 

 

= А

 

5а. Закон дистрибутивности (между тремя классами) умножения относительно сложения.

А ∩ (В С) = (А ∩ В) (А ∩ С).

 

=

 

5б. Закон дистрибутивности сложения относительно умножения

A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C)

 

=

 

Законы дополнения

Законы дополнения вытекают из свойств противоречащих понятий, каковыми являются дополнение и дополняемое понятие.

1.

Сумма класса и его дополнения равна универсальному классу А A' = 1.

2. Сумма дополняемого класса и универсума равна универсальному классу

А 1=1.

3.

Произведение дополняемого класса и универсума равно дополняемому классу А ∩ 1 = А.

4. Произведение класса и его дополнение является пустым классом

А ∩ A' = 0. (нет общих элементов)

5. Дополнением универсума является пустой класс 1' = 0.

6. Дополнением дополнения является дополняемый класс (A') ' = A.

(Например: вооруженный и небезоружный)

 

 

11. Определение (дефиниция) понятий. Виды и правила определения. Ошибки в определениях. Алгоритм определения понятия.

Определение понятий – логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Суждение, раскрывающее содержание понятия, называют дефиницией. Понятие, содержание которого раскрывается, называется определяемым (definiendum), сокращенно Dfd; понятие, раскрывающее содержание определяемого понятия – определяющим (definience) или Dfn.

Виды определения

Определения делятся на:

1) номинальные и реальные

2) явные и неявные.

Деление определений на реальные и номинальные зависит от того, что определяется – содержание понятия или значение термина.

Реальное – это определение, посредством которого раскрывается содержание понятия, т.с. определяемый предмет выделяется из класса сходных предметов по специфическим признакам.

Номинальное – определение, посредством которого раскрывается значение вводимого термина (объясняется значение слова)

Явное – определение, в котором выражаются существенные признаки определяемого предмета и имеющие вид Dfd = Dfn.

Неявное – определение, в котором содержание понятия выводится из отношения к другим понятиям. К неявным определениямотносятся контекстуальные (определение понятий через совокупность терминов), аксиоматические (определение понятий через аксиомы) и др.

Наиболее распространенным видом является явное определение через род и видовое отличие и его разновидность генетическое определение.

Определение через род и видовое отличие состоит из двух понятий - определяемого и определяющего, а сама операция включает в себя два приема:

1) подведение определяемого понятия под более широкое по объему родовое понятие (род);

2) указание видового отличия, т.е. специфического признака, отличающего определяемый предмет от других предметов. Например, в определении «барометр – это метеорологический прибор для измерения величины атмосферного давления» определяемое понятие «барометр» подводится под более общее родовое понятие «метеорологический прибор» и указывается существенный специфический признак «измерять величину атмосферного давления», посредством которого барометр отделяется от других метеорологических приборов.

Генетическое определение – указывает на происхождение предмета, на способ его образования. Например, «круг – это фигура, образованная вращением отрезка прямой вокруг неподвижного центра». Как разновидность определения через ближайший род и видовое отличие, оно имеет ту же логическую структуру и подчиняется тем же правилам.

Правила определения

1. Определение должно быть соразмерным-объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего, т.е. Dfd = Dfn.

Нарушение этого правила ведет к двоякого рода ошибке:

1) слишком широкое определение, когда объем определяющего понятия шире объема определяемого понятия. Например, «Логика – это наука о мышлении». Здесь не указан специфический признак логики как науки о мышлении, отличающей ее от других наук, изучающих мышление;

2) слишком узкое определение, когда в качестве видового отличия берется отличительный признак не вида, а подвида. Например, «Остров – часть суши, ограниченная со всех сторон морем».

2. Определение не должно заключать в себе круга, т.е., понятие не должно определяться через самого себя. Ошибка, которая получается вследствие нарушения этого правила, называется порочным кругом. Она встречается в двух разновидностях: круг в определении и тавтология.

Круг в определении означает, что при определении понятия прибегают к другому понятию, которое в свою очередь, определяется при помощи первого. Например, «логика – это наука о правильном мышлении, а правильное мышление – это мышление в соответствии с правилами логики». Понятие «логика» определяется через понятие «правильное мышление», а последнее определяется через понятие «логика».

Тавтология – это ошибочное определение, в котором определяемое и определяющее понятия выражены одинаковыми терминами. Например, «Агитатор – человек занимающийся агитацией».

3. Определение должно быть ясным (точным), т.е. должно быть сформулировано в однозначно определенных терминах. Логическая ошибка, связанная с нарушением этого правила – «неясное определение». Например, «Общество есть дополненная или расширенная личность, а личность – сжатое или сосредоточенное общество» (В. Соловьев).

4. Определение не должно содержать художественно-образных средств и оценок. Например, «Артиллерия – бог войны».

5. Нельзя определять понятия через такие термины, которые сами нуждаются в определениях. Ошибка подобного рода называется определением неизвестного через неизвестное. Например, «Агностицизм это разновидность скептицизма».

6. Определение не должно быть отрицательным, т.к. оно не будет раскрывать понятие. Например, «Роза – не верблюд». Данное определение не указывает на существенный признак, характеризующий предмет и отличающий его от других предметов.

Определение понятий в триодической схеме : универсум (фрукты), класс (яблоки), дополнение (остальные элементы универсума, не имеющиеся признаков класса; не яблоки).

Для определения класса используются:

1. Необходимые условия – условия, которому отвечают все элементы класса

и, возможно, некоторые элементы дополнения

2. Достаточные условия – условия, которому отвечают некоторые, а, может

быть, и все элементы класса, но ни один элемент дополнения.

Алгоритм определения:

1. опр-емые понятия соотносим с классом;

2. находим универсум как ближайшее родовое понятие;

3. устанавливаем дополнения;

4. находим необходимые условия;

5. проверяем необходимые условия на достаточность;

6. формулируем определения, где обязательно выделяем класс,

универсум, необходимое и, если требуется, достаточное условие.

Пр.: Понятие «Чётные числа». Универсум – натуральные числа. Дополнение – нечётные числа. Необходимое условие – деление на 2 без остатка. Проверяем на достаточность. Основание достаточно. Пишем опр-ие:

чётные числа – это множество натуральных чисел, отвечающих условию делиться на 2 без остатка.

Пр.: Понятие «Шоколадные конфеты». Универсум – конфеты. Дополнение – не шоколадные конфеты. Необходимое условие – наличие шоколада.

Пр.: Понятие «Человек». Универсум – человекообразный (примат). Дополнение- не человек. Необходимое понятие – рождённость женщиной.

Платон определил человека как беспёрое двуногое.

Жак Элюль: человек – существо, рождённое женщиной.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: